📝 고3 수학 심화

📖 풀이:
1단계) $u=t^2$ 치환. $du=2t\,dt$이므로 $t\,dt=\frac{1}{2}du$. $t=0$일 때 $u=0$, $t=x$일 때 $u=x^2$. 2단계) $F(x)=\int_0^{x^2}\frac{1}{2}e^{-u}\,du=\frac{1}{2}[-e^{-u}]_0^{x^2}=\frac{1}{2}(1-e^{-x^2})$. 3단계) $x=\sqrt{\ln 4}$이면 $x^2=\ln 4$, $e^{-\ln 4}=\frac{1}{4}$. 따라서 $F=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$.

📖 풀이:
1단계) $a, b$를 반드시 포함하므로 나머지 두 자리에는 $\{c,d,e,f\}$ 중 2개를 선택: $\binom{4}{2}=6$가지. 2단계) 선택된 4개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $4!=24$. 그 중 $a, b$가 이웃하는 경우는 $a, b$를 한 묶음(2가지 순서)으로 보고 3개를 나열: $3! \times 2!=12$. 따라서 이웃하지 않는 배열은 $24-12=12$. 3단계) 총 경우의 수는 $6 \times 12=72$.

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1단계) 사건 $A_k$: 주사위에서 $k$번 던지는 결과가 나옴 ($k=2,3,4$). $P(A_k)=\frac{1}{3}$. 사건 $B$: 앞면이 정확히 2번. 조건부확률: $P(B|A_2)=\binom{2}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$, $P(B|A_3)=\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{8}$, $P(B|A_4)=\binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$. 2단계) 전확률 정리: $P(B)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{2+3+3}{8}=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}$. 3단계) 베이즈정리: $P(A_3|B)=\frac{P(B|A_3)P(A_3)}{P(B)}=\frac{(3/8)(1/3)}{1/3}=\frac{3}{8}$.

📖 풀이:
1단계) 확률밀도함수 조건 $\int_0^2 f(x)dx=1$로부터 $a$ 결정. $\int_0^2 a(2x-x^2)dx=a\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=a\left(4-\frac{8}{3}\right)=\frac{4a}{3}=1$, 따라서 $a=\frac{3}{4}$. 2단계) $P(0.5 \leq X \leq 1.5)=\frac{3}{4}\int_{0.5}^{1.5}(2x-x^2)dx=\frac{3}{4}\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_{0.5}^{1.5}$. 3단계) 위끝: $\frac{9}{4}-\frac{27}{24}=\frac{54-27}{24}=\frac{27}{24}$. 아래끝: $\frac{1}{4}-\frac{1}{24}=\frac{6-1}{24}=\frac{5}{24}$. 차: $\frac{22}{24}=\frac{11}{12}$. 따라서 $P=\frac{3}{4}\cdot\frac{11}{12}=\frac{33}{48}=\frac{11}{16}$.

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1단계) 타원 식에서 $a=5, b=3$이므로 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9}=4$. 두 초점 $F(4,0), F'(-4,0)$이고 $|FF'|=2c=8$. 2단계) 타원의 정의에 의해 $|PF|+|PF'|=2a=10$. $\angle FPF'=90°$이므로 피타고라스에 의해 $|PF|^2+|PF'|^2=|FF'|^2=64$. 3단계) 항등식 $(|PF|+|PF'|)^2=|PF|^2+|PF'|^2+2|PF||PF'|$에 대입하면 $100=64+2|PF||PF'|$, 따라서 $|PF||PF'|=\frac{36}{2}=18$.

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1단계) 구의 중심은 원점 $O(0,0,0)$, 반지름 $R=\sqrt{13}$. 원점에서 평면 $x+2y+2z=9$까지의 거리는 $d=\frac{|0+0+0-9|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{9}{\sqrt{9}}=\frac{9}{3}=3$. 2단계) 교선 원의 중심은 평면에 내린 수선의 발이며, 구 중심·교선 원 중심·교선 원 위 임의의 점이 직각삼각형을 이룬다. 빗변이 구의 반지름 $R$, 한 변이 $d$, 다른 변이 교선 원의 반지름 $r$. 3단계) 피타고라스 정리에 의해 $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{13-9}=\sqrt{4}=2$.

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1단계) 이항정리 $(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k$에서 $x=2$ 대입을 시도한다. 2단계) $(1+2)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 2^k=\binom{n}{0}+2\binom{n}{1}+2^2\binom{n}{2}+\cdots+2^n\binom{n}{n}$이고 좌변은 $3^n$. 3단계) 따라서 주어진 합은 $3^n$이다. 검증: $n=2$일 때 $1+2 \cdot 2+4 \cdot 1=9=3^2$, $n=3$일 때 $1+6+12+8=27=3^3$.

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1단계) 사건 정의. $M$: $A$가 자기 자리에 앉지 않음. $N$: 정확히 2명이 자기 자리. 전체 경우의 수 $5!=120$. $A$가 자기 자리에 앉는 경우는 나머지 4명을 자유 배치하므로 $4!=24$, 따라서 $|M|=120-24=96$. 2단계) $|N|$ 계산. 자기 자리에 앉는 2명을 선택하는 방법 $\binom{5}{2}=10$, 나머지 3명은 모두 자기 자리에 앉지 않게(완전순열) 배치하는 경우의 수 $D_3=2$. 따라서 $|N|=10 \times 2=20$. 3단계) $|M \cap N|$ 계산. 정확히 2명 중 $A$가 포함되지 않으므로 $A$를 제외한 4명에서 자기 자리 2명 선택 $\binom{4}{2}=6$, 나머지 3명($A$ 포함)은 $D_3=2$로 배치되며 이때 $A$는 분란수 정의상 자동으로 자기 자리에 안 앉음. $|M \cap N|=6 \times 2=12$. 따라서 $P(N|M)=\frac{|M \cap N|}{|M|}=\frac{12}{96}=\frac{1}{8}$.

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1단계) 일반항을 쓴다. $T_{k+1}=\binom{9}{k}(2x)^{9-k}\left(-\frac{1}{x^2}\right)^k=\binom{9}{k} 2^{9-k}(-1)^k x^{9-k-2k}=\binom{9}{k} 2^{9-k}(-1)^k x^{9-3k}$. 2단계) 상수항이 되려면 $9-3k=0$, 즉 $k=3$. 3단계) 대입: $\binom{9}{3} \cdot 2^{9-3} \cdot (-1)^3=84 \cdot 64 \cdot (-1)=-5376$.

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1단계: 이항분포의 평균과 분산. $X \sim B(100, \tfrac{1}{2})$이므로 $E(X)=np=50$, $V(X)=npq=25$, 표준편차 $\sigma=5$.
2단계: 정규분포 근사. $n$이 충분히 크므로 $X$는 근사적으로 $N(50, 5^2)$를 따른다. 표준화 변수 $Z = \frac{X-50}{5}$.
3단계: 확률 계산. $P(X \ge 60) = P\left(Z \ge \frac{60-50}{5}\right) = P(Z \ge 2) = 0.5 - P(0 \le Z \le 2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$.

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1단계: 양변을 $x$에 대해 미분 (음함수 미분). $2x + y + x \cdot y' + 2y \cdot y' = 0$.
2단계: $y'$에 대해 정리. $(x + 2y) y' = -(2x + y)$이므로 $y' = -\dfrac{2x+y}{x+2y}$.
3단계: $(1, 2)$ 대입. $y' = -\dfrac{2 \cdot 1 + 2}{1 + 2 \cdot 2} = -\dfrac{4}{5}$. 접선은 $y - 2 = -\dfrac{4}{5}(x-1)$, 정리하면 $5y - 10 = -4x + 4$, 즉 $4x + 5y = 14$.

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1단계: 적분 안의 $x$를 밖으로. $t$가 적분변수이므로 $x$는 상수 취급한다. $f(x) = x \displaystyle \int_0^x \sin t \, dt - \int_0^x t \sin t \, dt$.
2단계: 두 적분 계산. $\displaystyle \int_0^x \sin t \, dt = 1 - \cos x$. 또 $\displaystyle \int_0^x t \sin t \, dt$는 부분적분 ($u=t$, $dv=\sin t\, dt$)으로 $-x \cos x + \sin x$.
3단계: 합치고 대입. $f(x) = x(1 - \cos x) - (-x\cos x + \sin x) = x - \sin x$. 따라서 $f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} - 1$.

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1단계: $\dfrac{dx}{dt}$, $\dfrac{dy}{dt}$ 계산. $\dfrac{dx}{dt} = e^t(\cos t - \sin t)$, $\dfrac{dy}{dt} = e^t(\sin t + \cos t)$.
2단계: 제곱의 합 정리. $\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2 = e^{2t}\{(\cos t - \sin t)^2 + (\sin t + \cos t)^2\} = e^{2t} \cdot 2 = 2e^{2t}$.
3단계: 길이 적분. $L = \displaystyle \int_0^\pi \sqrt{2e^{2t}}\, dt = \sqrt{2}\int_0^\pi e^t\, dt = \sqrt{2}\,[e^t]_0^\pi = \sqrt{2}(e^\pi - 1)$.

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1단계: 전체 함수와 빠진 원소의 관점. 전체 함수 개수는 $3^5 = 243$. 그중 치역이 $B$의 진부분집합이 되는(어떤 원소가 빠진) 함수를 빼야 한다.
2단계: 포함배제 원리. 1개 원소가 빠진 함수: $\binom{3}{1} \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96$. 그러나 2개가 동시에 빠진 함수를 두 번 뺀 것이므로 더해 줘야 한다: $\binom{3}{2} \cdot 1^5 = 3$.
3단계: 합산. 전사함수 개수 $= 3^5 - \binom{3}{1}\cdot 2^5 + \binom{3}{2}\cdot 1^5 = 243 - 96 + 3 = 150$.

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1단계: 각 조건부 확률 계산. 주머니 A에서 두 번 모두 흰 공: $P(W_2 \mid A) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}$. 주머니 B에서: $P(W_2 \mid B) = \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{15}$.
2단계: 두 주머니 모두 흰 공일 전체 확률. $P(W_2) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{15} = \dfrac{9}{60} + \dfrac{2}{60} = \dfrac{11}{60}$.
3단계: 베이즈 정리. $P(A \mid W_2) = \dfrac{P(A) \cdot P(W_2 \mid A)}{P(W_2)} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10}}{\frac{11}{60}} = \dfrac{\frac{3}{20}}{\frac{11}{60}} = \dfrac{3}{20} \cdot \dfrac{60}{11} = \dfrac{9}{11}$.

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1단계: 표본평균의 분포. 모집단이 $N(170, 6^2)$이고 $n=4$이므로 $\overline{X} \sim N\!\left(170, \dfrac{6^2}{4}\right) = N(170, 3^2)$. 표준편차는 $3$.
2단계: 표준화. $Z = \dfrac{\overline{X} - 170}{3}$. $\overline{X}=168$일 때 $Z = \dfrac{-2}{3} \approx -0.67$, $\overline{X}=173$일 때 $Z = 1$.
3단계: 확률 계산. $P(168 \le \overline{X} \le 173) = P(-0.67 \le Z \le 1) = P(0 \le Z \le 0.67) + P(0 \le Z \le 1) = 0.2486 + 0.3413 = 0.5899$.

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1단계: 타원의 정의로 $\overline{PF_2}$ 구하기. $a=5$이므로 $\overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2a = 10$. 따라서 $\overline{PF_2} = 10 - 7 = 3$.
2단계: 두 초점 사이 거리. $b^2 = 16$, $a^2 = 25$이므로 $c^2 = a^2 - b^2 = 9$, $c=3$. 따라서 $\overline{F_1 F_2} = 2c = 6$.
3단계: 삼각형 $PF_1 F_2$에 코사인법칙. $\overline{F_1 F_2}^2 = \overline{PF_1}^2 + \overline{PF_2}^2 - 2 \cdot \overline{PF_1} \cdot \overline{PF_2} \cdot \cos(\angle F_1 P F_2)$. 즉 $36 = 49 + 9 - 42 \cos\theta$이므로 $\cos\theta = \dfrac{22}{42} = \dfrac{11}{21}$.

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1단계: 구의 중심과 반지름. 구의 중심은 $O(0, 0, 0)$, 반지름 $R = 5$.
2단계: 중심에서 평면까지의 거리. 점 $O$에서 평면 $x + 2y + 2z - 9 = 0$까지의 거리는 $d = \dfrac{|0 + 0 + 0 - 9|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \dfrac{9}{3} = 3$.
3단계: 피타고라스로 단면 원의 반지름. 구의 중심에서 평면으로 내린 수선의 발을 $H$, 단면 원 위의 한 점을 $P$라 하면 $\triangle OHP$는 직각삼각형이므로 $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$.

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1단계: 부분합 $S$를 두 가지로 표현. $S = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \dfrac{3}{2^3} + \dfrac{4}{2^4} + \cdots$
2단계: 양변에 2를 곱하기. $2S = 1 + \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{2^2} + \dfrac{4}{2^3} + \cdots$
3단계: 차를 구해 등비급수로. $2S - S = 1 + \left(\dfrac{2}{2} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{3}{2^2} - \dfrac{2}{2^2}\right) + \cdots = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \cdots = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$. 따라서 $S = 2$.

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1단계: 도함수와 극값 후보. $f'(x) = 1 - 2\cos x$. $f'(x) = 0 \Rightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}$ ($[0, 2\pi]$ 내).
2단계: 이계도함수로 극대/극소 판정. $f''(x) = 2\sin x$. $f''\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} > 0$이므로 $x = \dfrac{\pi}{3}$에서 극소. $f''\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = 2 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3} < 0$이므로 $x = \dfrac{5\pi}{3}$에서 극대.
3단계: 극댓값 계산. $f\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) = \dfrac{5\pi}{3} - 2 \sin\dfrac{5\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3} - 2 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{5\pi}{3} + \sqrt{3}$.

📖 풀이:
1단계: 일반항을 부분분수로 분해한다. $\dfrac{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\dfrac{(k+1)^2-k^2}{k^2(k+1)^2}=\dfrac{1}{k^2}-\dfrac{1}{(k+1)^2}$. 2단계: 망원합(telescoping) 형태이므로 부분합은 $S_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k^2}-\dfrac{1}{(k+1)^2}\right)=1-\dfrac{1}{(n+1)^2}$. 3단계: $n\to\infty$에서 $\dfrac{1}{(n+1)^2}\to 0$이므로 극한값은 $1$.

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1단계: 정삼각형 한 변이 $a$이면 내접원 반지름은 $r=\dfrac{a}{2\sqrt{3}}$이고, 외접원 반지름이 $r$인 정삼각형의 한 변은 $r\sqrt{3}$이다. 따라서 $T_1\to C_1\to T_2$로 갈 때 정삼각형의 한 변은 $a\to a/2$로 절반으로 줄어든다. 2단계: 원 반지름은 $r_1=\sqrt{3},\ r_2=\sqrt{3}/2,\ r_3=\sqrt{3}/4,\cdots$이고 공비가 $1/2$이므로 넓이 $\pi r_n^2$의 공비는 $1/4$이다. 3단계: 첫 항 $\pi r_1^2=3\pi$, 공비 $1/4$인 무한등비급수의 합은 $\dfrac{3\pi}{1-1/4}=4\pi$.

📖 풀이:
1단계: $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$. 몫의 미분으로 $f''(x)=\dfrac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$. 2단계: $f''(x)=0$에서 $x=\pm 1$. 이때 $f''$의 부호가 바뀌므로 변곡점이 두 개 존재한다. 변곡점 좌표는 $(-1,\ln 2),\ (1,\ln 2)$. 3단계: 두 점은 $y$좌표가 같으므로 거리는 $|1-(-1)|=2$.

📖 풀이:
1단계: 정적분 $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$는 상수이므로 $c=\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$로 놓으면 $f(x)=x^2+2c$. 2단계: 양변을 $0\le x\le 1$에서 적분하면 $c=\displaystyle\int_0^1(t^2+2c)\,dt=\dfrac{1}{3}+2c$. 따라서 $-c=\dfrac{1}{3}$, 즉 $c=-\dfrac{1}{3}$. 3단계: $f(x)=x^2-\dfrac{2}{3}$이므로 $f(2)=4-\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}$.

📖 풀이:
1단계: $y'=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{1}{2x^2}$. 그러면 $1+(y')^2=1+\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4x^4}=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4x^4}=\left(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2x^2}\right)^2$. 2단계: 적분구간에서 안의 식은 양수이므로 $\sqrt{1+(y')^2}=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2x^2}$. 3단계: $L=\displaystyle\int_1^2\!\left(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{1}{2x^2}\right)dx=\left[\dfrac{x^3}{6}-\dfrac{1}{2x}\right]_1^2=\left(\dfrac{8}{6}-\dfrac{1}{4}\right)-\left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{7}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{12}$.