📝 고3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 사전확률 $P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}$, 조건부확률 $P(R|A)=\dfrac{3}{5},\ P(R|B)=\dfrac{1}{5}$로 정리한다. 2단계: 전체확률의 법칙에 의해 $P(R)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$. 3단계: 베이즈 정리로 $P(A|R)=\dfrac{P(R|A)P(A)}{P(R)}=\dfrac{3/10}{2/5}=\dfrac{3}{4}$. 함정 보기 ②는 단순히 $P(R|A)$를 답으로 착각한 경우이다.

📖 풀이:
1단계: 타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $(x_1,y_1)$에서의 접선 공식은 $\dfrac{x_1 x}{a^2}+\dfrac{y_1 y}{b^2}=1$이다. 2단계: $(x_1,y_1)=(4,9/5),\ a^2=25,\ b^2=9$를 대입하면 $\dfrac{4x}{25}+\dfrac{(9/5)y}{9}=1$, 정리하면 $\dfrac{4x}{25}+\dfrac{y}{5}=1$. 3단계: $x$축과의 교점을 구하려면 $y=0$을 대입, $\dfrac{4x}{25}=1$이므로 $x=\dfrac{25}{4}$. 점 $P$가 타원 위에 있는지 확인: $\dfrac{16}{25}+\dfrac{81/25}{9}=\dfrac{16}{25}+\dfrac{9}{25}=1$로 적합.

📖 풀이:
1단계: 초점을 지나고 기울기 $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$인 직선 $y=\dfrac{\sqrt{5}}{2}(x-3)$을 쌍곡선 방정식에 대입한다. 2단계: $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{5(x-3)^2}{4}=\dfrac{x^2-(x-3)^2}{4}=\dfrac{6x-9}{4}=1$. 3단계: $6x-9=4$이므로 $x=\dfrac{13}{6}$. $y=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\!\left(\dfrac{13}{6}-3\right)=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\cdot\left(-\dfrac{5}{6}\right)=-\dfrac{5\sqrt{5}}{12}$. 따라서 교점은 $\left(\dfrac{13}{6},\ -\dfrac{5\sqrt{5}}{12}\right)$ 유일하다. 함정 보기 ③은 부호 실수.

📖 풀이:
1단계: 직선 위의 점 $(1+t,\ 1-t,\ 1)$을 구의 방정식에 대입한다. $(1+t)^2+(1-t)^2+1=9$. 2단계: 좌변을 전개하면 $1+2t+t^2+1-2t+t^2+1=2t^2+3$이므로 $2t^2+3=9$, 즉 $t^2=3$이고 $t=\pm\sqrt{3}$. 3단계: 방향벡터 $(1,-1,0)$의 크기가 $\sqrt{2}$이므로 두 매개변수 값 사이의 거리는 $|t_1-t_2|\cdot|\vec{v}|=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{6}$. 함정 보기 ②는 방향벡터 크기 곱셈을 빠뜨린 경우.

📖 풀이:
1단계: $X$에서 $Y$로의 모든 함수의 개수는 $3^5=243$. 2단계: 치역이 $Y$의 진부분집합이 되는 경우를 포함배제 원리로 빼준다. $Y$에서 원소 하나를 뺀 $2$원소 집합으로만 보내는 함수는 $\binom{3}{1}\cdot 2^5=3\cdot 32=96$. 3단계: 두 원소를 뺀 경우(상수함수)는 $\binom{3}{2}\cdot 1^5=3$. 따라서 전사함수의 개수는 $3^5-\binom{3}{1}\cdot 2^5+\binom{3}{2}\cdot 1^5=243-96+3=150$. 함정 보기 ②는 가운데 항을 $2^4$로 착각한 경우이다.

📖 풀이:
1단계: 두 곡선은 $x=0$에서 $y=1$로 만나고, 구간 $[0,1]$에서 $e^x\ge e^{-x}$이다. 회전체 부피는 큰 반지름 회전체에서 작은 반지름 회전체를 뺀 와셔법으로 $V=\pi\displaystyle\int_0^1\{(e^x)^2-(e^{-x})^2\}\,dx=\pi\int_0^1(e^{2x}-e^{-2x})\,dx$이다. 2단계: 부정적분은 $\dfrac{e^{2x}}{2}+\dfrac{e^{-2x}}{2}$이므로 $V=\pi\left[\dfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}\right]_0^1=\pi\cdot\dfrac{e^2+e^{-2}-2}{2}$. 3단계: $e^2+e^{-2}-2=(e-e^{-1})^2$이므로 $V=\dfrac{\pi}{2}(e-e^{-1})^2$. 함정 보기 ①은 $-2$ 상수항을 빠뜨린 결과이다.

📖 풀이:
1단계: $\int_0^1 t\,f(t)\,dt$는 상수이므로 $A=\int_0^1 t\,f(t)\,dt$로 두면 $f(x)=e^x+A$. 2단계: $A$를 자기참조 식에 다시 대입하면 $A=\int_0^1 t(e^t+A)\,dt = \int_0^1 te^t\,dt + \frac{A}{2}$. 부분적분으로 $\int_0^1 te^t\,dt = [te^t]_0^1 - \int_0^1 e^t\,dt = e-(e-1)=1$. 3단계: $A=1+\frac{A}{2}$, 즉 $A=2$. 따라서 $f(x)=e^x+2$이고 $f(1)=e+2$.

📖 풀이:
1단계: $y'=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$이므로 $1+(y')^2 = 1+\frac{(e^x-e^{-x})^2}{4} = \frac{(e^x+e^{-x})^2}{4}$ (완전제곱). 2단계: 따라서 $\sqrt{1+(y')^2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ ($e^x+e^{-x}>0$). 3단계: $L=\int_0^{\ln 2}\frac{e^x+e^{-x}}{2}\,dx = \frac{1}{2}[e^x-e^{-x}]_0^{\ln 2} = \frac{1}{2}\left(2-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}$.

📖 풀이:
1단계: 모비율 95% 신뢰구간의 오차한계는 $E=z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$이고, $|\hat p - p|\le E$ 조건을 $E\le 0.04$로 두면 충분하다. 2단계: 가장 보수적으로 $\hat p(1-\hat p)\le \frac{1}{4}$이므로 $E\le 2\sqrt{\frac{1}{4n}} = \frac{1}{\sqrt n}$. 따라서 $\frac{1}{\sqrt n}\le 0.04$. 3단계: $\sqrt n\ge 25$이므로 $n\ge 625$. 최소 표본크기는 $625$.

📖 풀이:
1단계: 좌표 설정 A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0). $O$가 밑면의 중심 (1,1,0) 위 높이 $h$에 있고 $OA=2$이므로 $1+1+h^2=4$, $h=\sqrt 2$. 즉 $O(1,1,\sqrt 2)$. 2단계: 사면체 OABC의 부피를 두 가지로 표현. 밑면을 $\triangle ABC$(직각이등변, 넓이 $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$)로 보면 $V=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot\sqrt 2=\frac{2\sqrt 2}{3}$. 3단계: 밑면을 $\triangle OBC$(정삼각형, 변 2, 넓이 $\sqrt 3$)로 보면 $V=\frac{1}{3}\cdot\sqrt 3\cdot d$. 두 식을 같게 두면 $d=\frac{2\sqrt 2}{\sqrt 3}=\frac{2\sqrt 6}{3}$.

📖 풀이:
1단계: $a=4, b=3, c=\sqrt{16-9}=\sqrt 7$. 타원의 정의에 의해 $|PF|+|PF'|=2a=8$이고 $|FF'|=2c=2\sqrt 7$. 2단계: 코사인법칙: $|FF'|^2=|PF|^2+|PF'|^2-2|PF||PF'|\cos 60^\circ = (|PF|+|PF'|)^2 - 3|PF||PF'|$. 즉 $28=64-3|PF||PF'|$이므로 $|PF||PF'|=12$. 3단계: 삼각형 넓이 $=\frac{1}{2}|PF||PF'|\sin 60^\circ = \frac{1}{2}\cdot 12\cdot\frac{\sqrt 3}{2}=3\sqrt 3$.

📖 풀이:
1단계: 구분구적법에 의해 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(k/n)\to \int_0^1 f(x)\,dx$ (단 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$). 2단계: $y=\sqrt{1-x^2}$ ($0\le x\le 1$)은 단위원의 1사분면 부분이며 $\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx$는 사분원의 넓이와 같다. 3단계: 단위원 넓이 $\pi$의 1/4이므로 답은 $\frac{\pi}{4}$.

📖 풀이:
1단계: $f(0)=e^0+0=1$이므로 $g(1)=0$. 2단계: 역함수 미분 공식 $g'(y)=\frac{1}{f'(g(y))}$. 3단계: $f'(x)=e^x+1$이므로 $f'(0)=2$, 따라서 $g'(1)=\frac{1}{2}$.

📖 풀이:
1단계: 부분적분 ($u=x^2,\ dv=\cos x\,dx$): $\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x - \int 2x\sin x\,dx$. 2단계: 다시 부분적분 ($u=2x,\ dv=\sin x\,dx$): $\int 2x\sin x\,dx = -2x\cos x + \int 2\cos x\,dx = -2x\cos x + 2\sin x$. 따라서 $\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$. 3단계: $0$에서 $\pi/2$까지 대입: $\left(\frac{\pi^2}{4}\cdot 1 + \pi\cdot 0 - 2\cdot 1\right) - 0 = \frac{\pi^2}{4}-2$.

📖 풀이:
1단계: 회전체 부피 공식 $V=\pi\int_1^e y^2\,dx = \pi\int_1^e x\ln^2 x\,dx$. 2단계: 부분적분 ($u=\ln^2 x,\ dv=x\,dx$): $\int x\ln^2 x\,dx = \frac{x^2\ln^2 x}{2} - \int x\ln x\,dx$. 또 부분적분으로 $\int x\ln x\,dx = \frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}$. 따라서 $\int x\ln^2 x\,dx = \frac{x^2\ln^2 x}{2}-\frac{x^2\ln x}{2}+\frac{x^2}{4}$. 3단계: $1$에서 $e$까지 대입: $\left(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{2}+\frac{e^2}{4}\right)-\left(0-0+\frac{1}{4}\right) = \frac{e^2-1}{4}$. 따라서 $V=\frac{\pi(e^2-1)}{4}$.

📖 풀이:
1단계) $S_1$의 한 변(길이 1)을 $1:2$로 내분한 점들로 만든 새 정사각형 $S_2$의 한 변의 길이는 직각삼각형 빗변으로 $\sqrt{(1/3)^2+(2/3)^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}$이다.
2단계) 닮음에 의해 일반항 $S_n$의 한 변은 $\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^{n-1}$, 둘레는 $4\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^{n-1}$이다.
3단계) 공비 $r=\frac{\sqrt{5}}{3}<1$인 무한등비급수의 합 $L=\dfrac{4}{1-\sqrt{5}/3}=\dfrac{12}{3-\sqrt{5}}=\dfrac{12(3+\sqrt{5})}{4}=9+3\sqrt{5}$.

📖 풀이:
1단계) 점 $(1,0)$ 대입: $1+0-0=1$이므로 곡선 위 점 확인.
2단계) 양변을 $x$로 음함수 미분: $3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}-3y-3x\frac{dy}{dx}=0$, 정리하면 $(y^2-x)\frac{dy}{dx}=y-x^2$.
3단계) $(1,0)$ 대입: $(0-1)\frac{dy}{dx}=0-1$이므로 $\frac{dy}{dx}=1$. 따라서 접선은 $y-0=1\cdot(x-1)$, 즉 $y=x-1$.

📖 풀이:
1단계) $u=\ln(1+x^2)$로 치환하면 $du=\dfrac{2x}{1+x^2}dx$이므로 $\dfrac{x}{1+x^2}dx=\dfrac{1}{2}du$.
2단계) 적분 구간 변환: $x=0$일 때 $u=0$, $x=1$일 때 $u=\ln 2$.
3단계) 변환된 적분: $\displaystyle\int_0^{\ln 2} u\cdot\dfrac{1}{2}du=\dfrac{u^2}{4}\Big|_0^{\ln 2}=\dfrac{(\ln 2)^2}{4}$.

📖 풀이:
1단계) 위치 $x$에서 단면의 정사각형의 한 변의 길이는 밑면의 높이 $\sqrt{x}$와 같다.
2단계) 단면적 $S(x)=(\sqrt{x})^2=x$.
3단계) 부피 $V=\displaystyle\int_0^4 S(x)\,dx=\int_0^4 x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\Big|_0^4=\dfrac{16}{2}=8$.

📖 풀이:
1단계) 각 사건을 정의: $M$=남학생, $F$=여학생, $G$=안경 착용. $P(M)=0.6, P(F)=0.4, P(G|M)=0.3, P(G|F)=0.5$.
2단계) 전체 안경 착용 확률(전체확률 정리): $P(G)=P(M)P(G|M)+P(F)P(G|F)=0.6\cdot 0.3+0.4\cdot 0.5=0.18+0.20=0.38$.
3단계) 베이즈 정리: $P(F|G)=\dfrac{P(F)P(G|F)}{P(G)}=\dfrac{0.20}{0.38}=\dfrac{20}{38}=\dfrac{10}{19}$.

📖 풀이:
1단계) 표본평균의 분포: $\bar{X}\sim N\left(m,\dfrac{\sigma^2}{9}\right)$이므로 표본평균의 표준편차는 $\dfrac{\sigma}{3}$.
2단계) 표준화: $Z=\dfrac{\bar{X}-m}{\sigma/3}$. 따라서 $|\bar{X}-m|\le \dfrac{\sigma}{2}$를 표준화하면 $|Z|\le \dfrac{\sigma/2}{\sigma/3}=\dfrac{3}{2}=1.5$.
3단계) 대칭성에 의해 $P(|Z|\le 1.5)=2\,P(0\le Z\le 1.5)=2\times 0.4332=0.8664$.

📖 풀이:
1단계) 쌍곡선의 정의에서 $a=3, b=4, c=\sqrt{9+16}=5$. 따라서 $\bigl||PF_1|-|PF_2|\bigr|=2a=6$, $|F_1F_2|=2c=10$.
2단계) $\angle F_1PF_2=90^\circ$이므로 피타고라스 정리에 의해 $|PF_1|^2+|PF_2|^2=|F_1F_2|^2=100$.
3단계) $(|PF_1|-|PF_2|)^2=|PF_1|^2+|PF_2|^2-2|PF_1||PF_2|=36$이므로 $100-2|PF_1||PF_2|=36$, 즉 $|PF_1||PF_2|=32$. 직각삼각형의 넓이$=\dfrac{1}{2}|PF_1||PF_2|=\dfrac{1}{2}\cdot 32=16$.

📖 풀이:
1단계) 정육면체에 좌표를 두면 $A(0,0,0), C(1,1,0), B(1,0,0), G(1,1,1)$. 따라서 방향벡터는 $\vec{AC}=(1,1,0), \vec{BG}=(0,1,1)$.
2단계) 내적과 크기: $\vec{AC}\cdot\vec{BG}=1\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot 1=1$, $|\vec{AC}|=|\vec{BG}|=\sqrt{2}$.
3단계) $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}$이므로 $\theta=60^\circ$.

📖 풀이:
1단계) 매개변수곡선 길이 공식 $L=\displaystyle\int_\alpha^\beta\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$. $\dfrac{dx}{dt}=2t,\ \dfrac{dy}{dt}=2t^2$.
2단계) 피적분함수 정리: $\sqrt{(2t)^2+(2t^2)^2}=\sqrt{4t^2(1+t^2)}=2t\sqrt{1+t^2}$ ($t\ge 0$이므로 절댓값 처리 불필요).
3단계) $u=1+t^2,\ du=2t\,dt$로 치환하면 $L=\displaystyle\int_1^4\sqrt{u}\,du=\dfrac{2}{3}u^{3/2}\Big|_1^4=\dfrac{2}{3}(8-1)=\dfrac{14}{3}$.

📖 풀이:
1단계) 제약 없이 $x_1+x_2+x_3=12,\ x_i\ge 0$의 해의 개수는 중복조합으로 $\binom{12+2}{2}=\binom{14}{2}=91$.
2단계) 어떤 한 변수, 예컨대 $x_1\ge 8$인 경우는 $y_1=x_1-8\ge 0$으로 치환하면 $y_1+x_2+x_3=4$이므로 $\binom{6}{2}=15$. 변수가 3개이므로 합은 $3\times 15=45$. 두 변수가 동시에 $\ge 8$이면 좌변 합이 음이 되므로 0개.
3단계) 포함과 배제 원리로 $91-45+0=46$.