📝 고3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 부분적분을 적용한다. $u=x$, $dv=e^{2x}dx$로 두면 $du=dx$, $v=\frac{1}{2}e^{2x}$. 2단계: $\int xe^{2x}dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\int \frac{1}{2}e^{2x}dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+C$. 3단계: 정적분 계산. $[\frac{x}{2}e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}]_0^1=(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4})-(0-\frac{1}{4})=\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^2+1}{4}$.

📖 풀이:
1단계: 회전체 부피 공식 $V=\pi\int_1^e (\ln x)^2 dx$를 세운다. 2단계: $(\ln x)^2$의 부정적분을 부분적분으로 구한다. $u=(\ln x)^2$, $dv=dx$로 두면 $du=\frac{2\ln x}{x}dx$, $v=x$. 따라서 $\int (\ln x)^2 dx=x(\ln x)^2 - 2\int \ln x dx=x(\ln x)^2 - 2(x\ln x - x)+C=x(\ln x)^2-2x\ln x+2x+C$. 3단계: $[x(\ln x)^2-2x\ln x+2x]_1^e=(e\cdot 1 - 2e + 2e)-(0-0+2)=e-2$이므로 $V=\pi(e-2)$.

📖 풀이:
1단계: $X$에서 $Y$로의 전체 함수의 개수는 $3^4=81$이다. 2단계: 포함-배제의 원리. $A_i$를 'Y의 $i$번째 원소가 치역에 포함되지 않는 함수들의 집합'이라 하면, $|A_i|=2^4=16$, $|A_i\cap A_j|=1^4=1$, $|A_1\cap A_2\cap A_3|=0$이다. 3단계: 전사함수의 수는 $3^4 - \binom{3}{1}\cdot 2^4 + \binom{3}{2}\cdot 1^4 - \binom{3}{3}\cdot 0^4 = 81 - 48 + 3 - 0 = 36$이다.

📖 풀이:
1단계: 같은 것이 있는 6개의 순열 전체 수는 $\frac{6!}{2!\,2!\,2!}=90$이다. 2단계: 포함-배제. $A$=$aa$가 인접, $B$=$bb$ 인접, $C$=$cc$ 인접이라 두면, $|A|=\frac{5!}{2!\,2!}=30$ ($aa$ 묶음 한 덩어리 + $b,b,c,c$). 같은 방식으로 $|B|=|C|=30$. $|A\cap B|=\frac{4!}{2!}=12$ ($aa, bb$ 두 덩어리 + $c,c$), $|A\cap C|=|B\cap C|=12$. $|A\cap B\cap C|=3!=6$. 3단계: $|A\cup B\cup C|=3\cdot 30 - 3\cdot 12 + 6=60$이고, 따라서 인접하지 않는 경우는 $90-60=30$이다.

📖 풀이:
1단계: 사건 정의. $D$: 환자, $D^c$: 비환자, $+$: 양성판정. $P(D)=0.01$, $P(D^c)=0.99$, $P(+|D)=0.99$, $P(+|D^c)=1-0.91=0.09$. 2단계: 베이즈 정리 $P(D|+)=\frac{P(+|D)P(D)}{P(+|D)P(D)+P(+|D^c)P(D^c)}$를 적용한다. 3단계: 분모 $=0.99\cdot 0.01 + 0.09 \cdot 0.99 = 0.99(0.01+0.09)=0.99\cdot 0.10$, 분자 $=0.99\cdot 0.01$. 따라서 $P(D|+)=\frac{0.99\cdot 0.01}{0.99\cdot 0.10}=\frac{0.01}{0.10}=\frac{1}{10}$.

📖 풀이:
1단계: 불량품의 개수 $X\sim B(400, 0.1)$이다. 평균 $\mu=np=400\cdot 0.1=40$, 분산 $\sigma^2=npq=400\cdot 0.1\cdot 0.9=36$이므로 표준편차 $\sigma=6$이다. 2단계: $n$이 충분히 크므로 $X$를 정규분포 $N(40, 36)$으로 근사한다. 표준화하면 $Z=\frac{X-40}{6}$이고, $X\ge 52 \Leftrightarrow Z\ge \frac{52-40}{6}=2$. 3단계: $P(X\ge 52)\approx P(Z\ge 2)=0.5-P(0\le Z\le 2)=0.5-0.4772=0.0228$.

📖 풀이:
1단계: $y^2=8x=4\cdot 2 \cdot x$이므로 $a=2$이고 초점 F$(2, 0)$, 준선은 $x=-2$이다. 포물선 위 점의 초점거리는 $r = x+2$이다. 2단계: $\overline{PF}=6$이므로 $x_P+2=6$, $x_P=4$, $y_P=\pm 4\sqrt{2}$. P$(4, 4\sqrt{2})$로 두면 직선 PF의 기울기는 $\frac{4\sqrt{2}}{4-2}=2\sqrt{2}$이다. 3단계: 직선 $y=2\sqrt{2}(x-2)$를 $y^2=8x$에 대입하면 $8(x-2)^2=8x \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow x=1$ 또는 $x=4$. Q의 $x$좌표는 $1$이므로 $\overline{QF}=1+2=3$이다. (초점현 공식 $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}=\frac{1}{a}$로도 확인 가능.)

📖 풀이:
1단계: 평면의 법선벡터는 $\vec{n}=(1, 2, 2)$이고 $|\vec{n}|=\sqrt{1+4+4}=3$. 직선의 방향벡터는 $\vec{d}=(1, 1, -1)$이고 $|\vec{d}|=\sqrt{3}$. 2단계: 법선벡터와 방향벡터가 이루는 각을 $\alpha$라 하면 $\cos\alpha=\frac{\vec{n}\cdot\vec{d}}{|\vec{n}|\,|\vec{d}|}=\frac{1+2-2}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}$. 직선과 평면이 이루는 각 $\theta$는 $\alpha$의 여각이므로 $\sin\theta=|\cos\alpha|$. 3단계: $\sin\theta=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$.

📖 풀이:
1단계: $x$좌표는 동·서 이동만의 합이다. 동쪽 이동 $+1, +\frac{1}{16}, +\frac{1}{256}, \ldots$, 서쪽 이동 $-\frac{1}{4}, -\frac{1}{64}, \ldots$. 부호를 정리하면 $x_\infty = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + \cdots$이다. 2단계: 이는 첫째항 $1$, 공비 $-\frac{1}{4}$인 무한등비급수이므로 $x_\infty = \frac{1}{1-(-\frac{1}{4})} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$. 3단계: 같은 방식으로 $y_\infty = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{32} - \cdots = \frac{1/2}{1+1/4} = \frac{2}{5}$. 따라서 수렴점은 $(\frac{4}{5}, \frac{2}{5})$.

📖 풀이:
1단계: $f(x)=\frac{e^x}{x}$의 도함수는 $f'(x)=\frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$. P$(t, \frac{e^t}{t})$에서의 접선의 기울기는 $\frac{e^t(t-1)}{t^2}$이다. 2단계: P에서의 접선의 방정식은 $y - \frac{e^t}{t} = \frac{e^t(t-1)}{t^2}(x-t)$. 이 직선이 원점 $(0, 0)$을 지나므로 $-\frac{e^t}{t} = \frac{e^t(t-1)}{t^2}\cdot(-t) = -\frac{e^t(t-1)}{t}$. 3단계: $\frac{e^t}{t} = \frac{e^t(t-1)}{t}$에서 $e^t/t \ne 0$이므로 양변을 나누면 $1 = t-1$, 즉 $t=2$이다. 따라서 P의 $x$좌표는 $2$이다.

📖 풀이:
1단계: $x=\tan\theta$로 치환. $dx=\sec^2\theta\,d\theta$, $1+x^2=\sec^2\theta$. 적분 범위는 $\theta:0\to\pi/4$.
2단계: 피적분함수 변형: $\frac{\tan^2\theta}{\sec^4\theta}\cdot\sec^2\theta\,d\theta = \tan^2\theta\cos^2\theta\,d\theta = \sin^2\theta\,d\theta$.
3단계: 반각공식 $\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}$로 계산. $\int_0^{\pi/4}\frac{1-\cos 2\theta}{2}d\theta = \left[\frac{\theta}{2}-\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}=\frac{\pi-2}{8}$.

📖 풀이:
1단계: $X\to Y$ 전체 함수 수는 $3^4=81$.
2단계: 포함배제 원리 적용. $Y$의 특정 한 원소가 치역에 빠진 함수는 $C(3,1)\cdot 2^4=48$, 두 원소가 빠진 함수는 $C(3,2)\cdot 1^4=3$.
3단계: 전사함수 수 $= 81 - 48 + 3 = 36$.

📖 풀이:
1단계: $a_n = \frac{(n!)^{1/n}}{n} = \left(\frac{n!}{n^n}\right)^{1/n}$로 변형.
2단계: 로그 취하기: $\ln a_n = \frac{1}{n}\ln\frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln\frac{k}{n}$. 이는 $f(x)=\ln x$의 $[0,1]$에서의 리만합.
3단계: $\lim_{n\to\infty}\ln a_n = \int_0^1 \ln x\,dx = [x\ln x - x]_0^1 = -1$. 따라서 $a_n\to e^{-1}=\frac{1}{e}$.

📖 풀이:
1단계: 초점 계산: $c^2=4+5=9$, $c=3$. 직선: $y=2(x-3)$.
2단계: 쌍곡선 식에 대입, 양변 $\times 20$: $5x^2 - 16(x-3)^2 = 20$ → $-11x^2 + 96x - 164 = 0$ → $11x^2 - 96x + 164 = 0$.
3단계: 근과 계수: $x_1+x_2=\frac{96}{11}$, $x_1 x_2=\frac{164}{11}$. $(x_1-x_2)^2 = \left(\frac{96}{11}\right)^2 - 4\cdot\frac{164}{11} = \frac{9216-7216}{121}=\frac{2000}{121}$. $|x_1-x_2|=\frac{20\sqrt{5}}{11}$. 기울기 $m=2$이므로 $|AB|=\sqrt{1+m^2}|x_1-x_2|=\sqrt{5}\cdot\frac{20\sqrt{5}}{11}=\frac{100}{11}$.

📖 풀이:
1단계: 사면체 부피 공식 $V=\frac{1}{6}|\vec{OA}\cdot(\vec{OB}\times\vec{OC})|$ 적용.
2단계: 외적 $\vec{OB}\times\vec{OC} = (0,1,2)\times(2,0,1) = (1\cdot 1 - 2\cdot 0,\ 2\cdot 2 - 0\cdot 1,\ 0\cdot 0 - 1\cdot 2) = (1,4,-2)$.
3단계: 내적 $\vec{OA}\cdot(1,4,-2) = 1\cdot 1 + 2\cdot 4 + 0\cdot(-2) = 9$. 부피 $V = \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$.

📖 풀이:
1단계: 1부터 9까지를 3으로 나눈 나머지로 분류. 나머지 0인 수 $\{3,6,9\}$, 나머지 1인 수 $\{1,4,7\}$, 나머지 2인 수 $\{2,5,8\}$ 각 3개.
2단계: 세 수의 합이 3의 배수인 경우 분석. (나머지 0 세 개), (나머지 1 세 개), (나머지 2 세 개), (각 나머지 하나씩)의 네 가지. 경우의 수는 각각 $\binom{3}{3}=1,\ 1,\ 1,\ 3\cdot 3\cdot 3 = 27$.
3단계: 유리한 경우 수 $=1+1+1+27=30$. 전체 경우의 수 $=\binom{9}{3}=84$. 확률 $=\frac{30}{84}=\frac{5}{14}$.

📖 풀이:
1단계: $f(x)=\frac{(\ln x)^2}{x}$의 도함수 $f'(x)=\frac{\ln x(2-\ln x)}{x^2}$. 임계점 $x=1$, $x=e^2$.
2단계: 증감표: $(0,1)$에서 감소 ($+\infty\to 0$), $(1,e^2)$에서 증가 ($0\to 4/e^2$), $(e^2,\infty)$에서 감소 ($4/e^2\to 0$). 극소 $f(1)=0$, 극대 $f(e^2)=\frac{4}{e^2}$.
3단계: 수평선 $y=k$와의 교점 개수: $k<0$면 0개, $k=0$이면 1개, $0<k<\frac{4}{e^2}$면 3개, $k=\frac{4}{e^2}$이면 2개 (접하는 극대점 + 좌측 감소구간), $k>\frac{4}{e^2}$면 1개. 따라서 정확히 2개는 $k=\frac{4}{e^2}$.

📖 풀이:
1단계: 표본비율 $\hat{p}=\frac{40}{400}=0.1$, 표본 크기 $n=400$.
2단계: 표준오차 $\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0.1\cdot 0.9}{400}}=\sqrt{0.000225}=0.015$.
3단계: $95\%$ 신뢰구간 $= \hat{p}\pm 1.96\cdot 0.015 = 0.1\pm 0.0294 = [0.0706,\ 0.1294]$.

📖 풀이:
1단계: 부분분수 분해 $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)$. (공통분모로 놓으면 $(k+2)-k=2$, 양변이 일치.)
2단계: 부분합 $S_n=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$ (망원급수).
3단계: $n\to\infty$이면 $\frac{1}{(n+1)(n+2)}\to 0$, 따라서 $S_n\to\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

📖 풀이:
1단계: $\cos$의 차수가 홀수이므로 $\cos^3 x=\cos x(1-\sin^2 x)$로 분리.
2단계: $u=\sin x$, $du=\cos x\,dx$로 치환. $x:0\to\pi/2$이면 $u:0\to 1$.
3단계: $\int_0^1 u^2(1-u^2)du=\int_0^1(u^2-u^4)du=\left[\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}\right]_0^1=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2}{15}$.

📖 풀이:
1단계: 근호 차에 유리화를 적용한다. $\sqrt{n+2}-\sqrt{n-1}=\dfrac{(n+2)-(n-1)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{3}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-1}}$. 2단계: 원식에 대입하면 $\dfrac{3\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-1}}$. 분자·분모를 $\sqrt{n}$으로 나누면 $\dfrac{3}{\sqrt{1+2/n}+\sqrt{1-1/n}}$. 3단계: $n\to\infty$일 때 분모는 $1+1=2$이므로 극한값은 $\dfrac{3}{2}$. 함정 보기 $\sqrt{3}$은 제곱 실수를 유도한다.

📖 풀이:
1단계: $(1+x)^{10}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}x^k$를 미분하면 $10(1+x)^9=\sum k\binom{10}{k}x^{k-1}$. 양변에 $x$를 곱하면 $10x(1+x)^9=\sum k\binom{10}{k}x^k$. 2단계: 이를 다시 미분하면 $10(1+x)^9+90x(1+x)^8=\sum k^2\binom{10}{k}x^{k-1}$. 3단계: $x=1$을 대입하면 $10\cdot 2^9+90\cdot 2^8=5120+23040=28160$. 일반화된 공식 $\sum k^2\binom{n}{k}=n(n+1)\cdot 2^{n-2}$와도 일치한다 ($10\cdot 11\cdot 256=28160$).

📖 풀이:
1단계: 모분산이 알려져 있으므로 $\bar{X}\sim N(m,\ \sigma^2/n)$이고 $\sigma/\sqrt{n}=8/4=2$이다. 2단계: 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간은 $\bar{X}\pm z_{0.025}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=50\pm 1.96\times 2$. 3단계: $1.96\times 2=3.92$이므로 구간은 $[50-3.92,\ 50+3.92]=[46.08,\ 53.92]$. 함정 보기 ①은 $n=4$로 착각한 값이다.

📖 풀이:
1단계: $f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}$. 2단계: $f''(x)=(2-2x)e^{-x}-(2x-x^2)e^{-x}=(x^2-4x+2)e^{-x}$. 3단계: $e^{-x}>0$이므로 $f''(x)=0$은 $x^2-4x+2=0$과 동치이다. 근은 $x=2\pm\sqrt{2}$이고 $f''$의 부호가 두 점에서 각각 바뀌므로 둘 다 변곡점이다. 근과 계수의 관계로 두 근의 합은 $4$이다. (함정 보기 분석: ②$=2\sqrt{2}$는 두 근의 차 $(2+\sqrt{2})-(2-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$, 즉 판별식의 제곱근 $\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}$에 해당하고, ①$=2$는 두 근의 곱 $(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=2$에 해당한다. 구하는 값은 근의 합이므로 $4$이다.)

📖 풀이:
1단계: 정적분 $\displaystyle A=\int_0^{\pi/4} f(t)\sin t\,dt$는 상수이므로 $f(x)=\cos x+A$로 두고, $f(t)=\cos t+A$를 원식의 피적분함수에 대입한다. 2단계: $\displaystyle A=\int_0^{\pi/4}(\cos t+A)\sin t\,dt=\left[\dfrac{\sin^2 t}{2}\right]_0^{\pi/4}+A\,[-\cos t]_0^{\pi/4}=\dfrac{1}{4}+A\!\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$. 3단계: $A$에 관한 방정식을 정리하면 $A-A\!\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{1}{4}$, 즉 $A\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{4}$이므로 $A=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$. 따라서 $f(\pi/2)=\cos(\pi/2)+A=0+\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.