📝 고3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 항등식 $(1+x)^5 (1+x)^5 = (1+x)^{10}$의 양변을 이항정리로 전개한다. 좌변의 $x^5$항의 계수는 $\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}\binom{5}{5-k}$이고, $\binom{5}{5-k} = \binom{5}{k}$이므로 이는 $\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}^2$과 같다.
2단계: 우변의 $x^5$항의 계수는 $\binom{10}{5}$.
3단계: $\displaystyle\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}^2 = \binom{10}{5} = \dfrac{10!}{5!\cdot 5!} = 252$.

📖 풀이:
1단계: 사건 $D$를 '임의의 제품이 불량품'이라 하자. 각 기계에서 불량품이 생산되는 결합확률은 $P(M_1 \cap D) = 0.3 \cdot 0.02 = 0.006$, $P(M_2 \cap D) = 0.4 \cdot 0.01 = 0.004$, $P(M_3 \cap D) = 0.3 \cdot 0.03 = 0.009$.
2단계: 전확률 공식으로 $P(D) = 0.006 + 0.004 + 0.009 = 0.019$.
3단계: $P(M_3 | D) = \dfrac{P(M_3 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0.009}{0.019} = \dfrac{9}{19}$.

📖 풀이:
1단계: 이항분포의 평균은 $E(X) = np = 36 \cdot \dfrac{1}{3} = 12$, 분산은 $V(X) = np(1-p) = 36 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = 8$.
2단계: $V(X) = E(X^2) - \bigl(E(X)\bigr)^2$이므로 $E(X^2) = V(X) + E(X)^2 = 8 + 144 = 152$.
3단계: 기댓값의 선형성에 의해 $E(X^2 + 3X) = E(X^2) + 3E(X) = 152 + 3 \cdot 12 = 188$.

📖 풀이:
1단계: 쌍곡선의 방정식에서 $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$. 쌍곡선의 정의에 의해 $|\overline{PF} - \overline{PF'}| = 2a = 6$. 점 $P$가 제1사분면에 있으므로 $P$는 오른쪽 가지 위에 있고 $\overline{PF'} > \overline{PF}$, 따라서 $\overline{PF'} = \overline{PF} + 6 = 10$.
2단계: 삼각형 $PFF'$의 세 변은 $\overline{PF}=4$, $\overline{PF'}=10$, $\overline{FF'}=10$. 헤론의 공식에서 $s = \dfrac{4+10+10}{2}=12$.
3단계: 넓이 $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{12 \cdot 8 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{384} = 8\sqrt{6}$.

📖 풀이:
1단계: $\vec{AB} = (1, 1, -2)$, $\vec{AC} = (-1, 3, -1)$. 크기는 $|\vec{AB}| = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$, $|\vec{AC}| = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$.
2단계: 내적 $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1)(-1) + (1)(3) + (-2)(-1) = -1 + 3 + 2 = 4$. 두 벡터의 사잇각 $\theta$에 대해 $\cos\theta = \dfrac{4}{\sqrt{6}\sqrt{11}} = \dfrac{4}{\sqrt{66}}$, 따라서 $\sin^2\theta = 1 - \dfrac{16}{66} = \dfrac{50}{66}$.
3단계: 삼각형의 넓이 $= \dfrac{1}{2}|\vec{AB}||\vec{AC}|\sin\theta = \dfrac{1}{2}\sqrt{6}\sqrt{11}\sqrt{\dfrac{50}{66}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{66 \cdot \dfrac{50}{66}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{50} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.

📖 풀이:
1) 분자를 분모와 맞춰 정리하면 $\dfrac{n^2+2n+3}{n^2+1}=1+\dfrac{2n+2}{n^2+1}$. 2) $a_n=\dfrac{2n+2}{n^2+1}$이라 두면 $n\to\infty$에서 $a_n\to 0$이고 $n\cdot a_n=\dfrac{2n^2+2n}{n^2+1}\to 2$. 3) 따라서 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+a_n)^n=\lim_{n\to\infty}\exp(n\cdot a_n\cdot\frac{\ln(1+a_n)}{a_n})=e^2$.

📖 풀이:
1) $\dfrac{dx}{d\theta}=1-\cos\theta$, $\dfrac{dy}{d\theta}=\sin\theta$이므로 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}$. 2) $\dfrac{d}{d\theta}\!\left(\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\right)=\dfrac{\cos\theta(1-\cos\theta)-\sin\theta\cdot\sin\theta}{(1-\cos\theta)^2}=\dfrac{\cos\theta-1}{(1-\cos\theta)^2}=\dfrac{-1}{1-\cos\theta}$. 3) $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d(dy/dx)/d\theta}{dx/d\theta}=\dfrac{-1}{(1-\cos\theta)^2}$. $\theta=\pi/2$ 대입 시 $\dfrac{-1}{(1-0)^2}=-1$.

📖 풀이:
1) $y'=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$이므로 $1+(y')^2=1+\dfrac{(e^x-e^{-x})^2}{4}=\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}=\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2$. 2) 따라서 $\sqrt{1+(y')^2}=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$. 3) 길이 $L=\displaystyle\int_0^{\ln 2}\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}dx=\left[\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right]_0^{\ln 2}=\dfrac{2-1/2}{2}-0=\dfrac{3}{4}$.

📖 풀이:
1) 항등식 $(1+x)^5(1+x)^5=(1+x)^{10}$의 양변에서 $x^5$의 계수를 비교한다. 2) 좌변의 $x^5$ 계수는 $\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}\binom{5}{5-k}=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}^2$ (이항계수 대칭성 $\binom{5}{5-k}=\binom{5}{k}$ 사용). 3) 우변의 $x^5$ 계수는 $\binom{10}{5}=252$. 따라서 주어진 합은 $252$.

📖 풀이:
1) 1~10을 3으로 나눈 나머지로 분류한다. 0류 $\{3,6,9\}$ (3개), 1류 $\{1,4,7,10\}$ (4개), 2류 $\{2,5,8\}$ (3개). 2) 세 수의 합이 3의 배수가 되는 경우는 (i) 세 수 모두 같은 잉여류에서: $\binom{3}{3}+\binom{4}{3}+\binom{3}{3}=1+4+1=6$, (ii) 각 잉여류에서 한 개씩: $3\cdot 4\cdot 3=36$. 3) 유리한 경우 수 $6+36=42$, 전체 $\binom{10}{3}=120$. 확률 $=\dfrac{42}{120}=\dfrac{7}{20}$.

📖 풀이:
1) 표본평균의 분포는 $\bar X\sim N\!\left(50,\;\dfrac{10^2}{25}\right)=N(50,\,2^2)$. 즉 평균 50, 표준편차 2이다. 2) 표준화 $Z=\dfrac{\bar X-50}{2}$로 두면 $\bar X\geq 52\iff Z\geq 1$. 3) $P(Z\geq 1)=0.5-P(0\leq Z\leq 1)=0.5-0.3413=0.1587$.

📖 풀이:
1) $y^2=8x$는 $y^2=4ax$ 꼴에서 $a=2$. 초점 $F(2,0)$, 준선 $x=-2$. 포물선의 정의에 의해 위 점 $P$에서 초점까지 거리는 $P$의 $x$좌표에 $2$를 더한 값이다. 2) $A$의 $x$좌표가 $1$이므로 $|AF|=1+2=3$. 초점현 성질 $\dfrac{1}{|AF|}+\dfrac{1}{|BF|}=\dfrac{1}{a}$에서 $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{|BF|}=\dfrac{1}{2}$이므로 $|BF|=6$. 3) 따라서 $|AB|=|AF|+|BF|=3+6=9$.

📖 풀이:
1) 타원 위 점 $(x_0,y_0)$에서의 접선 공식은 $\dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1$. $P$를 대입하면 접선 $\dfrac{(3\sqrt 3/2)x}{9}+\dfrac{(\sqrt 5/2)y}{5}=1$, 정리하면 $\dfrac{\sqrt 3\,x}{6}+\dfrac{y}{2\sqrt 5}=1$. 2) $y=0$일 때 $x=2\sqrt 3$이므로 $A(2\sqrt 3,0)$. $x=0$일 때 $y=2\sqrt 5$이므로 $B(0,2\sqrt 5)$. 3) $\triangle OAB=\dfrac{1}{2}|OA||OB|=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt 3\cdot 2\sqrt 5=2\sqrt{15}$.

📖 풀이:
1) 평면 $\pi$의 법선벡터는 $\vec n=(1,2,-2)$이며, $|\vec n|^2=1+4+4=9$. 수선의 발은 $P$에서 법선 방향으로 움직인 점이므로 $H=P+t\vec n=(1+t,\,2+2t,\,3-2t)$. 2) $H$가 평면 $\pi$ 위에 있어야 하므로 $(1+t)+2(2+2t)-2(3-2t)=6$. 정리하면 $-1+9t=6$이고 $t=\dfrac{7}{9}$. 3) 대입하면 $H=\left(1+\dfrac{7}{9},\,2+\dfrac{14}{9},\,3-\dfrac{14}{9}\right)=\left(\dfrac{16}{9},\dfrac{32}{9},\dfrac{13}{9}\right)$.

📖 풀이:
1) 직선 $l$의 방향벡터 $\vec d=(2,1,-2)$이므로 $|\vec d|=\sqrt{4+1+4}=3$. 평면 $\pi$의 법선벡터 $\vec n=(1,1,1)$이므로 $|\vec n|=\sqrt 3$. 2) 직선과 평면이 이루는 각 $\theta$에 대해 '법선과 직선이 이루는 각'을 $\alpha$라 하면 $\theta=\dfrac{\pi}{2}-\alpha$이고, $\sin\theta=\cos\alpha=\dfrac{|\vec d\cdot\vec n|}{|\vec d||\vec n|}$. 3) $\vec d\cdot\vec n=2+1-2=1$이므로 $\sin\theta=\dfrac{|1|}{3\cdot\sqrt 3}=\dfrac{1}{3\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 3}{9}$.

📖 풀이:
1단계: 곱의 미분으로 $f'(x) = (2x-3)e^x + (x^2-3x+1)e^x = (x^2-x-2)e^x = (x-2)(x+1)e^x$. 2단계: $e^x>0$이므로 $f'(x)=0$의 해는 $x=-1, x=2$. $x<-1$에서 $f'>0$, $-1<x<2$에서 $f'<0$, $x>2$에서 $f'>0$이다. 따라서 $x=-1$에서 극댓값, $x=2$에서 극솟값. 3단계: $f(-1) = (1+3+1)e^{-1} = \frac{5}{e}$, $f(2) = (4-6+1)e^2 = -e^2$. 합은 $\frac{5}{e} - e^2$이다.

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1단계: 곡선 길이 공식 $L = \int_a^b \sqrt{1+(y')^2}\, dx$를 이용한다. $y' = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$. 2단계: $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$이므로 $\sqrt{1+(y')^2} = |\sec x| = \sec x$ ($\cos x > 0$). 3단계: $L = \int_0^{\pi/3} \sec x\, dx = [\ln|\sec x + \tan x|]_0^{\pi/3} = \ln(2+\sqrt{3}) - \ln 1 = \ln(2+\sqrt{3})$이다.

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1단계(경로 분해): 사건 $R_A$를 'A에서 빨간 공', $R_B$를 'B에서 빨간 공'이라 하자. $P(R_A) = \frac{3}{5}$일 때 B는 빨간3+파란3이 되므로 $P(R_B|R_A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. $P(R_A^c) = \frac{2}{5}$일 때 B는 빨간2+파란4가 되어 $P(R_B|R_A^c) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. 2단계(전확률): $P(R_B) = \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2} + \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3} = \frac{3}{10} + \frac{2}{15} = \frac{9}{30} + \frac{4}{30} = \frac{13}{30}$. 3단계(베이즈): $P(R_A|R_B) = \dfrac{P(R_A \cap R_B)}{P(R_B)} = \dfrac{3/10}{13/30} = \dfrac{9}{13}$.

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1단계(표준오차): 표본평균 $\overline{X}$의 표준편차는 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{20}{\sqrt{100}} = 2$. 2단계(신뢰구간): 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간은 $\overline{X} - 1.96 \cdot 2 \le m \le \overline{X} + 1.96 \cdot 2$. 3단계(길이): 신뢰구간의 길이는 $2 \cdot 1.96 \cdot 2 = 7.84$이다.

📖 풀이:
1단계(접선 방정식): 쌍곡선 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ 위의 점 $P(x_0, y_0)$에서의 접선은 $\frac{x x_0}{4} - \frac{y y_0}{5} = 1$이다. 2단계($A, B$ 좌표): 접선에서 $y=0$을 대입하면 $\frac{x x_0}{4} = 1$, 즉 $A\left(\frac{4}{x_0}, 0\right)$이므로 $\overline{OA} = \frac{4}{x_0}$. 수선의 발은 $B(x_0, 0)$이므로 $\overline{OB} = x_0$. 3단계(곱): $\overline{OA} \cdot \overline{OB} = \frac{4}{x_0} \cdot x_0 = 4$로 점 $P$의 위치와 무관한 상수이다.

📖 풀이:
1단계(평면 방정식): 절편형 평면 방정식에 의해 $\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{3} = 1$, 양변에 6을 곱하면 $6x + 3y + 2z = 6$이다. 2단계(거리 공식): 점 $(x_1, y_1, z_1)$에서 평면 $ax+by+cz+d=0$까지의 거리는 $\dfrac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. 여기서 평면을 $6x+3y+2z-6=0$로 두고 원점 $(0,0,0)$을 대입하면 분자 $=|{-6}|=6$. 3단계(계산): 분모 $=\sqrt{36+9+4}=\sqrt{49}=7$. 따라서 거리는 $\dfrac{6}{7}$이다.

📖 풀이:
1단계(반지름): $S_1$의 한 변이 $1$이므로 $C_1$의 반지름 $r_1 = \dfrac{1}{2}$. $C_1$의 지름 $1$이 $S_2$의 대각선이므로 $S_2$의 한 변은 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, 따라서 $r_2 = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$. 2단계(공비): $\dfrac{r_{n+1}^2}{r_n^2} = \dfrac{1}{2}$이므로 원 넓이 $\pi r_n^2$는 공비 $\dfrac{1}{2}$의 등비수열이다. 첫째항 $\pi r_1^2 = \dfrac{\pi}{4}$. 3단계(무한합): 무한등비급수 공식에서 합은 $\dfrac{\pi/4}{1 - 1/2} = \dfrac{\pi}{2}$.

📖 풀이:
1단계(부분적분 설정): $u = \ln x$, $dv = \dfrac{1}{x^2} dx$로 놓으면 $du = \dfrac{1}{x} dx$, $v = -\dfrac{1}{x}$. 2단계(대입): $\displaystyle\int_1^e \dfrac{\ln x}{x^2} dx = \left[-\dfrac{\ln x}{x}\right]_1^e + \int_1^e \dfrac{1}{x^2} dx = \left(-\dfrac{1}{e} + 0\right) + \left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^e$. 3단계(계산): $= -\dfrac{1}{e} + \left(-\dfrac{1}{e} + 1\right) = 1 - \dfrac{2}{e}$이다.

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1단계(도함수): 미적분의 기본정리에서 $g'(x) = (x-1)(x-3)e^x$. $e^x>0$이므로 부호는 $(x-1)(x-3)$이 결정한다. $x<1$에서 양, $1<x<3$에서 음, $x>3$에서 양. 따라서 $x=1$에서 극댓값 $M=g(1)$, $x=3$에서 극솟값 $m=g(3)$이다. 2단계(차이를 적분으로): $M - m = g(1) - g(3) = -\int_1^3 (t-1)(t-3)e^t\, dt$. 3단계(적분 계산): $(t-1)(t-3) = t^2-4t+3$이고, $\int (t^2-4t+3)e^t dt = (t^2-6t+9)e^t + C = (t-3)^2 e^t + C$ (반복 부분적분 공식 $\int P e^t = (P-P'+P'')e^t$ 적용). 따라서 $\int_1^3 (t-1)(t-3)e^t dt = [(t-3)^2 e^t]_1^3 = 0 - 4e = -4e$. $M - m = -(-4e) = 4e$이다.