📝 고3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 사건 정의와 확률. $A$: 질병 걸림, $B$: 양성 판정. $P(A)=0.1$, $P(A^c)=0.9$, $P(B|A)=0.9$, $P(B|A^c)=0.2$. 2단계: 전확률 공식으로 $P(B)$. $P(B)=P(A)P(B|A)+P(A^c)P(B|A^c)=0.1\cdot 0.9+0.9\cdot 0.2=0.09+0.18=0.27$. 3단계: 베이즈 정리. $P(A|B)=\dfrac{P(A)P(B|A)}{P(B)}=\dfrac{0.09}{0.27}=\dfrac{1}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 구의 중심과 반지름. 중심 $O(0,0,0)$, 반지름 $R=5$. 2단계: 중심과 평면 사이 거리. 평면을 $2x-y+2z-9=0$으로 정리하면 $d=\dfrac{|2\cdot 0-0+2\cdot 0-9|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\dfrac{9}{3}=3$. 3단계: 교원의 반지름. 구의 중심에서 교원 위의 점까지는 구 반지름 $R$, 교원의 평면까지 수선 길이는 $d$이므로 피타고라스 정리에 의해 교원의 반지름 $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}=4$. 넓이 $=\pi r^2=16\pi$.

📖 풀이:
1단계: 부분적분으로 점화식. $u=e^x$, $dv=x^n dx$로 두면 $du=e^x dx$, $v=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$. $a_n=\left[\dfrac{x^{n+1}e^x}{n+1}\right]_0^1-\dfrac{1}{n+1}\int_0^1 x^{n+1}e^x dx=\dfrac{e}{n+1}-\dfrac{a_{n+1}}{n+1}$. 정리하면 $(n+1)a_n=e-a_{n+1}$. 2단계: $a_n\to 0$ 확인. $0\leq a_n\leq e\int_0^1 x^n dx=\dfrac{e}{n+1}\to 0$이므로 $a_n\to 0$, 동일하게 $a_{n+1}\to 0$. 3단계: 극한 계산. $(n+1)a_n=e-a_{n+1}\to e$이고, $n\cdot a_n=(n+1)a_n-a_n\to e-0=e$.

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1단계: 1차 부분적분. $u=x^2$, $dv=e^{-x}dx$, $du=2x\,dx$, $v=-e^{-x}$. $\int x^2 e^{-x}dx=-x^2 e^{-x}+\int 2xe^{-x}dx$. 2단계: 2차 부분적분. $u=2x$, $dv=e^{-x}dx$, $du=2\,dx$, $v=-e^{-x}$. $\int 2x e^{-x}dx=-2xe^{-x}+\int 2e^{-x}dx=-2xe^{-x}-2e^{-x}+C$. 종합하면 원시함수 $F(x)=-(x^2+2x+2)e^{-x}$. 3단계: 정적분 계산. $F(1)-F(0)=-(1+2+2)e^{-1}-(-(0+0+2)\cdot 1)=-\dfrac{5}{e}+2=2-\dfrac{5}{e}$.

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1단계: 부분분수 분해. 항등식 $\dfrac{1}{n(n+1)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{(n+2)-n}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{2}{n(n+1)(n+2)}$이므로 $\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{2}\!\left[\dfrac{1}{n(n+1)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$. 2단계: 부분합 텔레스코핑. $S_N=\dfrac{1}{2}\!\left[\dfrac{1}{1\cdot 2}-\dfrac{1}{(N+1)(N+2)}\right]$. 3단계: 극한. $N\to\infty$일 때 $\dfrac{1}{(N+1)(N+2)}\to 0$이므로 합 $=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$.

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1단계: 전체 경우의 수. $10$개 중 $4$개를 택하는 방법 수 $\binom{10}{4}=210$. 2단계: '최댓값이 $7$'의 경우의 수. $7$을 반드시 포함하고 나머지 $3$개는 $1\sim 6$에서 택해야 하므로 $\binom{6}{3}=20$. 3단계: 확률. $P=\dfrac{20}{210}=\dfrac{2}{21}$. (검산: '최댓값 $\leq 7$' 경우 수 $\binom{7}{4}=35$, '최댓값 $\leq 6$' 경우 수 $\binom{6}{4}=15$이므로 차 $35-15=20$으로 일치.)

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1단계: 신뢰구간 길이 공식은 $\text{길이}=2 z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 이므로 원래 $L = 2\cdot 1.96 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 3.92 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$이다. 2단계: 새 조건에서 $z=2.58$이고 표본의 크기가 $4n$이므로 새 길이 $L' = 2\cdot 2.58 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{4n}} = 2.58 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. 3단계: 비율 $\dfrac{L'}{L} = \dfrac{2.58}{3.92}$. 함정: ④는 $\sqrt{4}=2$ 대신 $4$로 나눈 오류, ①은 표본 크기 변화를 무시, ②는 신뢰도 변화를 무시한 오답.

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1단계: $\bar{X} = \dfrac{1}{n}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)$으로 쓸 수 있고, $V(aX)=a^2 V(X)$에 의해 $V(\bar{X}) = \dfrac{1}{n^2} V(X_1+\cdots+X_n)$. 2단계: 임의추출에 의해 $X_i$들은 서로 독립이므로 합의 분산은 분산들의 합: $V(X_1+\cdots+X_n) = n\sigma^2$. 3단계: 따라서 $V(\bar{X}) = \dfrac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2 = \dfrac{\sigma^2}{n}$. ②는 $V(aX)=aV(X)$라는 잘못된 공식, ①은 $E(\bar{X})$와 혼동, ④는 결과식 도출과 무관.

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1단계: 교선의 방향벡터는 두 평면 법선벡터의 외적으로 구한다. $\vec{n}_\alpha = (1,1,1)$, $\vec{n}_\beta = (1,-1,2)$. $\vec{d} = \vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta = (1\cdot 2 - 1\cdot(-1),\, 1\cdot 1 - 1\cdot 2,\, 1\cdot(-1)-1\cdot 1) = (3, -1, -2)$, $|\vec{d}|^2 = 9+1+4 = 14$. 2단계: 교선 위의 한 점을 찾는다. $z=0$을 대입하면 $x+y=1, x-y=3$에서 $Q(2, -1, 0)$. $\vec{PQ}=(1,-1,1)$, $|\vec{PQ}|^2 = 3$. 3단계: $\vec{PQ}\cdot\vec{d} = 3+1-2 = 2$. 점과 직선의 거리 제곱 공식 $d^2 = |\vec{PQ}|^2 - \dfrac{(\vec{PQ}\cdot\vec{d})^2}{|\vec{d}|^2} = 3 - \dfrac{2^2}{14} = 3 - \dfrac{4}{14} = 3 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{21-2}{7} = \dfrac{19}{7}$.

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1단계: $A$를 원점으로 두고 $\vec{b}=\overrightarrow{AB}, \vec{c}=\overrightarrow{AC}, \vec{d}=\overrightarrow{AD}$라 하면 정사면체 조건에서 $|\vec{b}|=|\vec{c}|=|\vec{d}|=1$이고 $\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{d}=\vec{b}\cdot\vec{d}=\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$이다. 2단계: $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})$, $\overrightarrow{AN} = \dfrac{1}{2}\vec{d}$ 이므로 $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\vec{d} - \dfrac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})$. 3단계: $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}\vec{d}\cdot\vec{b} - \dfrac{1}{2}(\vec{b}\cdot\vec{b} + \vec{c}\cdot\vec{b}) = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{2}$. 함정: ②는 $|\vec b|^2=1$을 누락, ③은 마주보는 모서리는 수직이라는 사실과 혼동.

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1단계: 일반항을 변형한다. $\dfrac{k}{n^2+k^2} = \dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{k/n}{1+(k/n)^2}$. 2단계: 따라서 합은 $\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n}\cdot f\!\left(\dfrac{k}{n}\right)$, 단 $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$. 구분구적법에 의해 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}$은 $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{1+x^2}\,dx$로 바뀐다. 3단계: $u=1+x^2$로 치환하면 $du=2x\,dx$, $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{1+x^2}dx = \dfrac{1}{2}\left[\ln(1+x^2)\right]_0^1 = \dfrac{1}{2}\ln 2$. 함정: ①은 $\dfrac{1}{2}$ 계수 누락, ③은 $\dfrac{1}{1+x^2}$와 혼동, ④는 수열의 각 항 크기를 기계적으로 어림한 오답.

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1단계: 수열 $\{a_n\}$은 첫째항 $r = \dfrac{2x-1}{3}$, 공비 $r$인 등비수열이다. 2단계: 등비급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty r^n$이 수렴할 조건은 $|r|<1$ (등호 불포함), 즉 $\left|\dfrac{2x-1}{3}\right| < 1$. 3단계: $-1 < \dfrac{2x-1}{3} < 1 \Leftrightarrow -3 < 2x-1 < 3 \Leftrightarrow -2 < 2x < 4 \Leftrightarrow -1 < x < 2$. 함정: ④는 경계값에서 $|r|=1$이므로 발산($r=1$) 또는 극한값이 $0$이 아니라 수렴 실패. 경계 포함 여부가 빈번한 실수 포인트.

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1단계: $y=e^{2x}$, $y' = 2e^{2x}$. 접점을 $(t, e^{2t})$라 하면 접선의 방정식은 $y - e^{2t} = 2e^{2t}(x - t)$. 2단계: 이 접선이 원점 $(0,0)$을 지나므로 $0 - e^{2t} = 2e^{2t}(0 - t)$ 즉 $-e^{2t} = -2t\, e^{2t}$. 3단계: $e^{2t}>0$이므로 양변을 $e^{2t}$로 나누면 $1 = 2t$. 따라서 $t = \dfrac{1}{2}$. 함정: ④는 $e^{2t}$를 $2$로 착각한 오류, ③은 접선식에서 $-1 = -2t$로 계산한 부호 오류.

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1단계: $f(x) = xe^{-x}$에 대해 $f'(x) = e^{-x}(1-x)$. $x<1$에서 $f'>0$, $x>1$에서 $f'<0$이므로 $x=1$에서 극대이며 $f(1) = \dfrac{1}{e}$. 2단계: 극한 분석. $x\to-\infty$일 때 $xe^{-x} \to -\infty$ (음수 $\times$ 매우 큰 양수), $x\to+\infty$일 때 $xe^{-x}\to 0^+$. 또한 $f(0)=0$이므로 $x<0$에서 $f(x)<0$, $x>0$에서 $f(x)>0$. 3단계: 직선 $y=k$와의 교점 개수. $k>\dfrac{1}{e}$이면 $0$개, $k=\dfrac{1}{e}$이면 $1$개(접함), $0<k<\dfrac{1}{e}$이면 $x\in(0,1)$과 $x\in(1,\infty)$에서 각 $1$개씩 총 $2$개, $k=0$이면 $1$개($x=0$), $k<0$이면 $x<0$에서 $1$개. 따라서 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 $0 < k < \dfrac{1}{e}$. 함정: ①은 음수 $k$에서의 근 개수 누락, ④는 경계에서 중근/단근 처리 오류.

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1단계: 부분적분법 적용. $u = \ln(1+x^2),\ dv = dx$로 놓으면 $du = \dfrac{2x}{1+x^2}dx,\ v = x$. 따라서 $\displaystyle\int_0^1 \ln(1+x^2)dx = \Big[x\ln(1+x^2)\Big]_0^1 - \int_0^1 \dfrac{2x^2}{1+x^2}dx = \ln 2 - \int_0^1 \dfrac{2x^2}{1+x^2}dx$. 2단계: 분자 처리. $\dfrac{2x^2}{1+x^2} = 2 - \dfrac{2}{1+x^2}$. 그러므로 $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2x^2}{1+x^2}dx = \int_0^1 2\, dx - \int_0^1 \dfrac{2}{1+x^2}dx = 2 - 2\left[\arctan x\right]_0^1 = 2 - 2\cdot\dfrac{\pi}{4} = 2 - \dfrac{\pi}{2}$. 3단계: 최종값 $\displaystyle\int_0^1 \ln(1+x^2)dx = \ln 2 - \left(2 - \dfrac{\pi}{2}\right) = \ln 2 - 2 + \dfrac{\pi}{2}$. 함정: ①은 $-\dfrac{2x^2}{1+x^2}$ 적분의 부호 오류, ④는 $[x\ln(1+x^2)]_0^1$에서 $\ln 2$ 누락.

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1단계: 매개변수 곡선 길이 공식은 $L = \displaystyle\int_a^b \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\, dt$. $\dfrac{dx}{dt} = 1 - \cos t,\ \dfrac{dy}{dt} = \sin t$. 2단계: $\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2 = (1-\cos t)^2 + \sin^2 t = 1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t = 2 - 2\cos t = 4\sin^2\!\dfrac{t}{2}$. 따라서 $\sqrt{\cdot} = 2\left|\sin\dfrac{t}{2}\right|$. 3단계: $0\le t\le 2\pi$에서 $\sin(t/2)\ge 0$이므로 $L = \displaystyle\int_0^{2\pi} 2\sin\dfrac{t}{2}\,dt = 2\cdot\left[-2\cos\dfrac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = 2(-2\cos\pi + 2\cos 0) = 2(2+2) = 8$. 함정: ④는 수평 이동거리($2\pi$)와 곡선 길이를 혼동, ①은 절댓값 처리 누락으로 인한 반 구간 계산.

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1단계: 사건을 정의한다. $W_A$: $A$에서 꺼낸 공이 흰 공, $B_A$: $A$에서 꺼낸 공이 검은 공, $W$: $B$에서 꺼낸 공이 흰 공. $P(W_A) = \dfrac{3}{5}$, $P(B_A) = \dfrac{2}{5}$. 2단계: 조건부확률 계산. $W_A$ 후 $B$에는 흰 $3$, 검 $3$, 총 $6$개가 되어 $P(W \mid W_A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. $B_A$ 후 $B$에는 흰 $2$, 검 $4$, 총 $6$개가 되어 $P(W \mid B_A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. 3단계: 전체확률 $P(W) = \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{10}+\dfrac{2}{15} = \dfrac{9+4}{30} = \dfrac{13}{30}$. 베이즈 공식 $P(W_A\mid W) = \dfrac{P(W_A)P(W\mid W_A)}{P(W)} = \dfrac{3/10}{13/30} = \dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{30}{13} = \dfrac{9}{13}$. 함정: ③은 $P(W_A)=3/5$을 그대로 답으로 제시, ①은 분자를 $P(B_A)P(W\mid B_A) = 2/15$로 헷갈린 오답.

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1단계: 접선은 $y$축 위 점 $(0,3)$을 지나므로 $y = mx + 3$ 꼴. 이를 쌍곡선 방정식 $9x^2 - 4y^2 = 36$에 대입하면 $9x^2 - 4(mx+3)^2 = 36$, 전개 후 $(9 - 4m^2)x^2 - 24mx - 72 = 0$. 2단계: $9 - 4m^2 = 0$, 즉 $m = \pm\dfrac{3}{2}$일 경우 직선이 점근선과 평행하여 쌍곡선과 한 점에서만 만나지만 접선은 아니다(두 가지). 따라서 $9-4m^2\ne 0$을 가정하고 이차방정식의 접선 조건(판별식 $=0$)을 쓴다. $\dfrac{D}{4} = (12m)^2 - (9-4m^2)(-72) = 144m^2 + 72(9-4m^2) = 144m^2 + 648 - 288m^2 = -144m^2 + 648 = 0$. 3단계: $144 m^2 = 648 \Rightarrow m^2 = \dfrac{648}{144} = \dfrac{9}{2}$. 따라서 $m = \pm\dfrac{3}{\sqrt 2} = \pm\dfrac{3\sqrt 2}{2}$. 함정: ①은 '점근선 기울기 = 접선 기울기'로 오인한 대표 오답, ②,③은 판별식 계수 실수에서 나오는 가짜 답.

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1단계: 각 변수가 양의 정수이므로 $x'=x-1,\ y'=y-1,\ z'=z-1,\ w'=w-1$로 치환하면 $x',y',z',w' \geq 0$이고 $x'+y'+z'+w'=8$이 된다.
2단계: 음이 아닌 정수해의 개수는 중복조합으로 $\binom{8+3}{3} = \binom{11}{3}$.
3단계: $\binom{11}{3} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{6} = 165$.

📖 풀이:
1단계: 신뢰도 95%에서 모평균의 신뢰구간 길이는 $L = 2 \cdot 1.96 \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{2 \cdot 1.96 \cdot 6}{\sqrt{n}} = \dfrac{23.52}{\sqrt{n}}$.
2단계: $\dfrac{23.52}{\sqrt{n}} \leq 2.352$에서 $\sqrt{n} \geq 10$, 즉 $n \geq 100$.
3단계: 따라서 $n$의 최솟값은 $100$이다.

📖 풀이:
1단계: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{10}$.
2단계: $P(A^c \cap B) = P(A^c) \cdot P(B|A^c) = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{5}$. 전확률 공식으로 $P(B) = \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{10}$.
3단계: $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{1/10}{3/10} = \dfrac{1}{3}$.

📖 풀이:
1단계: $S = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2^n} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{8} + \cdots$로 두고, 공비 $\frac{1}{2}$를 양변에 곱하면 $\dfrac{S}{2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{8} + \dfrac{3}{16} + \cdots$.
2단계: 두 식을 변끼리 빼면 $S - \dfrac{S}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$로 공비가 $\frac{1}{2}$인 무한등비급수가 된다.
3단계: $\dfrac{S}{2} = \dfrac{1/2}{1 - 1/2} = 1$이므로 $S = 2$.

📖 풀이:
1단계: $f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2} + \sin\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + 1$이므로 $g\!\left(\dfrac{\pi}{2}+1\right) = \dfrac{\pi}{2}$.
2단계: $f'(x) = 1 + \cos x$이고 $f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 = 1$. 모든 실수 $x$에서 $f'(x) \geq 0$이고 등호는 고립점에서만 성립하므로 $f$는 실수 전체에서 순증가이며 역함수 $g$가 존재한다.
3단계: 역함수 미분 공식 $g'(y) = \dfrac{1}{f'(g(y))}$에 의해 $g'\!\left(\dfrac{\pi}{2}+1\right) = \dfrac{1}{f'(\pi/2)} = 1$.