📝 고3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 항등식 $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$이므로 $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2 = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{n}{n-k}$.
2단계: 방데르몽드 항등식 $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{n}{n-k} = \binom{2n}{n}$을 이용하면 합 $= \binom{16}{8}$.
3단계: $\binom{16}{8} = \frac{16!}{8!\,8!} = \frac{16\cdot 15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{8!} = 12870$.

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1단계: 첫 번째 던지기는 비교 대상이 없어 항상 진행된다. 네 번째에서 멈추려면 2번째, 3번째는 '직전과 다른 눈'이고 4번째는 '직전과 같은 눈'이어야 한다.
2단계: 2번째가 1번째와 다를 확률 $= \frac{5}{6}$. 3번째가 2번째와 다를 확률 $= \frac{5}{6}$ (이전 조건과 독립적으로 $5/6$).
3단계: 4번째가 3번째와 같을 확률 $= \frac{1}{6}$. 따라서 총 확률 $= \frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{25}{216}$.

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1단계: 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 길이 $= 2 \cdot 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2 \cdot 1.96 \cdot \frac{20}{\sqrt{n}} = \frac{78.4}{\sqrt{n}}$.
2단계: $\frac{78.4}{\sqrt{n}} = 7.84$에서 $\sqrt{n} = 10$, 즉 $n = 100$.
3단계: 신뢰도 $99\%$의 신뢰구간 길이 $= 2 \cdot 2.58 \cdot \frac{20}{\sqrt{100}} = 2 \cdot 2.58 \cdot 2 = 10.32$.

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1단계: 포물선 $y^2 = 4ax$ ($a = 2$)의 초점현 성질 $\frac{1}{|AF|} + \frac{1}{|BF|} = \frac{1}{a} = \frac{1}{2}$. $|AF| = 2k$, $|BF| = k$로 놓으면 $\frac{1}{2k} + \frac{1}{k} = \frac{3}{2k} = \frac{1}{2}$이므로 $k = 3$. 즉 $|AF| = 6$, $|BF| = 3$.
2단계: 준선이 $x = -2$이므로 $x_A = |AF| - 2 = 4$, $x_B = |BF| - 2 = 1$. $y_A^2 = 8\cdot 4 = 32$에서 $y_A = 4\sqrt{2}$로 놓으면 초점현의 두 점의 $y$좌표 부호가 반대이므로 $y_B = -2\sqrt{2}$.
3단계: $\triangle OAB = \frac{1}{2}|x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2}|4\cdot(-2\sqrt{2}) - 1 \cdot 4\sqrt{2}| = \frac{1}{2}\cdot 12\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

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1단계: 외부점 P에서 반지름 $r = 1$, 중심 O인 원에 그은 두 접선의 사잇각 $\theta$에 대하여, 반각 $\alpha = \theta/2$는 직각삼각형에서 $\sin\alpha = \frac{r}{|OP|} = \frac{1}{|OP|}$.
2단계: $\cos\theta = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - \frac{2}{|OP|^2}$. $\cos\theta$를 최대화하려면 $|OP|^2 = x^2 + y^2$을 최대화해야 한다.
3단계: P는 타원 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 위의 점. $x = 5\cos t$, $y = 3\sin t$로 두면 $x^2 + y^2 = 25\cos^2 t + 9\sin^2 t = 9 + 16\cos^2 t$. 최댓값 $25$ (장축 끝점 $(\pm 5, 0)$에서). 따라서 $\cos\theta$의 최댓값 $= 1 - \frac{2}{25} = \frac{23}{25}$.

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1단계: A, B의 평면 $\alpha$로부터의 (부호 있는) 거리는 $\frac{2+1+3}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$, $\frac{4+3+5}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$. 두 점 모두 평면의 같은 쪽에 있다.
2단계: 같은 쪽 경우, 점 P를 평면 위에서 움직일 때 $\overline{AP}+\overline{PB}$의 최솟값은 A를 평면에 대해 대칭이동한 점 A'에 대해 $\overline{A'B}$와 같다. 평면의 법선 방향 단위벡터가 $\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$이므로 $A' = A - 2\cdot\frac{6}{3}(1,1,1) = (2,1,3) - (4,4,4) = (-2, -3, -1)$.
3단계: $\overline{A'B} = \sqrt{(4-(-2))^2 + (3-(-3))^2 + (5-(-1))^2} = \sqrt{36+36+36} = 6\sqrt{3}$.

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1단계: 대각선 벡터로 표현. $\vec{AG} = G - A = (1, 1, 1)$, $\vec{BH} = H - B = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$.
2단계: 내적 $\vec{AG} \cdot \vec{BH} = (1)(-1) + (1)(1) + (1)(1) = 1$.
3단계: 크기 $|\vec{AG}| = |\vec{BH}| = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$. 두 대각선 사이 각($0 < \theta \leq \pi/2$)의 코사인은 $\cos\theta = \frac{|\vec{AG}\cdot\vec{BH}|}{|\vec{AG}||\vec{BH}|} = \frac{1}{3}$.

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1단계: $\ln x = \ln(4-x)$에서 $x = 2$이고 이때 $y = \ln 2$, $y = \ln x$는 $(1, 0)$에서, $y = \ln(4-x)$는 $(3, 0)$에서 $x$축을 만난다. 영역은 $1 \leq x \leq 2$에서 $y=\ln x$와 $x$축 사이, $2 \leq x \leq 3$에서 $y=\ln(4-x)$와 $x$축 사이로 나뉜다.
2단계: $S = \displaystyle\int_1^2 \ln x\,dx + \int_2^3 \ln(4-x)\,dx$. 부분적분으로 $\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$. $\int_1^2 \ln x\,dx = (2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1$.
3단계: $u = 4 - x$로 치환하면 $\int_2^3 \ln(4-x)\,dx = \int_1^2 \ln u\,du = 2\ln 2 - 1$ (대칭성). 따라서 $S = 2(2\ln 2 - 1) = 4\ln 2 - 2$.

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1단계: 직선 $y=x+2$는 곡선 $y=\ln x$와 만나지 않는다. ($x>0$에서 $x-\ln x\ge 1$이므로 $x-\ln x+2\ge 3>0$, 즉 항상 $\ln x<x+2$.) 곡선이 직선의 한쪽에만 있으므로 거리가 최소가 되는 점은 그 점에서의 접선이 직선과 평행한 점이다.
2단계: $y=\ln x$에서 $y'=\dfrac{1}{x}$. 직선 $y=x+2$의 기울기는 $1$이므로 $\dfrac{1}{x}=1$, 즉 $x=1$.
3단계: 검증. 점 $(1,\,0)$에서 직선 $x-y+2=0$까지의 거리는 $\dfrac{|1-0+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$이다. 거리함수 $d(x)=\dfrac{x-\ln x+2}{\sqrt{2}}$는 $d'(x)=\dfrac{1-1/x}{\sqrt{2}}$가 $x=1$ 전후로 음에서 양으로 바뀌므로 $x=1$에서 최소이다.

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1단계: 적분변수 $t$에 대해 $x$를 상수로 보고 분리하면 $f(x)=x\displaystyle\int_0^x \sin t\,dt-\displaystyle\int_0^x t\sin t\,dt$.\n2단계: $x$에 대해 미분한다. 곱의 미분과 미적분의 기본정리를 함께 쓰면 $f'(x)=\displaystyle\int_0^x \sin t\,dt+x\sin x-x\sin x=\displaystyle\int_0^x \sin t\,dt=1-\cos x$.\n3단계: 한 번 더 미분하면 $f''(x)=\sin x$이므로 $f''\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

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1단계: $v(t)=3(t-1)(t-3)$이므로 $[0,1]$에서 $v>0$, $[1,3]$에서 $v<0$, $[3,4]$에서 $v>0$. 움직인 거리는 $\displaystyle\int_0^4|v(t)|dt$.\n2단계: 부정적분 $F(t)=t^3-6t^2+9t$라 하면 $F(0)=0,\ F(1)=4,\ F(3)=0,\ F(4)=4$.\n3단계: 구간별로 부호를 맞춰 합산: $(F(1)-F(0))-(F(3)-F(1))+(F(4)-F(3))=4-(0-4)+(4-0)=4+4+4=12$.

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1단계: 조건 $f(f(x))=f(x)$는, 임의의 $x$에 대하여 $y=f(x)$라 놓으면 $f(y)=y$임을 뜻한다. 즉 $f$의 치역 $S$에 속하는 모든 원소는 $f$의 고정점이다.\n2단계: $|S|=k$일 때, 치역을 고르는 방법 $\binom{5}{k}$가지, 치역 밖의 $5-k$개 원소 각각을 $S$의 어느 원소로 보낼지 $k^{5-k}$가지. $k=5$면 $k^0=1$로 약속.\n3단계: 총 개수 $\displaystyle\sum_{k=1}^{5}\binom{5}{k}k^{5-k}=5\cdot 1+10\cdot 8+10\cdot 9+5\cdot 4+1\cdot 1=5+80+90+20+1=196$.

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1단계: 한 번 시행에서 꺼낸 빨간공이 1개일 확률: $\dfrac{\binom{3}{1}\binom{4}{2}}{\binom{7}{3}}=\dfrac{3\cdot 6}{35}=\dfrac{18}{35}$.\n2단계: 한 번 시행에서 꺼낸 빨간공이 3개일 확률: $\dfrac{\binom{3}{3}}{\binom{7}{3}}=\dfrac{1}{35}$. 따라서 한 번에 홀수개일 확률 $p=\dfrac{18+1}{35}=\dfrac{19}{35}$.\n3단계: 두 번의 시행이 독립이므로 두 번 모두 홀수개일 확률 $p^2=\left(\dfrac{19}{35}\right)^2=\dfrac{361}{1225}$.

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1단계: $X\sim N(70,10^2)$를 표준정규로 바꾸기 위해 $Z=\dfrac{X-70}{10}$로 표준화한다.\n2단계: $X=80\Rightarrow Z=1,\ X=90\Rightarrow Z=2$. 따라서 $P(80\le X\le 90)=P(1\le Z\le 2)$.\n3단계: $P(1\le Z\le 2)=P(0\le Z\le 2)-P(0\le Z\le 1)=0.4772-0.3413=0.1359$.

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1단계: 쌍곡선의 정의에 의해 $\big||\overline{PF_1}|-|\overline{PF_2}|\big|=2a=4$.\n2단계: $c^2=a^2+b^2=4+5=9$이므로 $c=3$, $|\overline{F_1F_2}|=6$. $\angle F_1PF_2=90^\circ$이므로 피타고라스 정리에서 $|\overline{PF_1}|^2+|\overline{PF_2}|^2=36$.\n3단계: $(|\overline{PF_1}|-|\overline{PF_2}|)^2=|\overline{PF_1}|^2-2|\overline{PF_1}||\overline{PF_2}|+|\overline{PF_2}|^2$. 즉 $16=36-2\cdot\overline{PF_1}\cdot\overline{PF_2}$이므로 $\overline{PF_1}\cdot\overline{PF_2}=10$.

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1단계: 정사면체에서 $|\vec{\text{OA}}|=|\vec{\text{OB}}|=|\vec{\text{OC}}|=\sqrt{2}$이고 두 모서리 사이의 각이 $60^\circ$이므로 $\vec{\text{OA}}\cdot\vec{\text{OB}}=\vec{\text{OB}}\cdot\vec{\text{OC}}=\vec{\text{OC}}\cdot\vec{\text{OA}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\cos 60^\circ=1$.\n2단계: 내적으로 전개한다. $|\vec{\text{OP}}|^2=\dfrac{1}{9}\cdot 2+\dfrac{1}{9}\cdot 2+t^2\cdot 2+\dfrac{2}{9}\cdot 1+\dfrac{2t}{3}\cdot 1+\dfrac{2t}{3}\cdot 1=2t^2+\dfrac{4}{3}t+\dfrac{2}{3}$.\n3단계: $t$에 대한 이차함수로 보면 $t=-\dfrac{1}{3}$에서 최솟값 $2\cdot\dfrac{1}{9}-\dfrac{4}{9}+\dfrac{6}{9}=\dfrac{4}{9}$.

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1단계: $t=0$을 대입하면 점 $(x,y)=(e^0\cos 0,\,e^0\sin 0)=(1,\,0)$.\n2단계: 매개변수 미분으로 접선의 기울기를 구한다. $\dfrac{dx}{dt}=e^t(\cos t-\sin t),\ \dfrac{dy}{dt}=e^t(\sin t+\cos t)$. $t=0$을 대입하면 $\dfrac{dx}{dt}=1,\ \dfrac{dy}{dt}=1$이므로 $\dfrac{dy}{dx}=1$.\n3단계: 점 $(1,\,0)$을 지나고 기울기 1인 직선은 $y-0=1\cdot(x-1)$, 즉 $y=x-1$.

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1단계: 꼭짓점 8개 중 3개를 뽑는 모든 경우의 수는 $\binom{8}{3}=56$.\n2단계: 정팔각형의 꼭짓점은 모두 외접원 위에 있으므로, 세 꼭짓점이 이루는 삼각형이 직각삼각형일 필요충분조건은 세 꼭짓점 중 두 점이 외접원의 '지름'을 이루는 것이다. 정팔각형에는 마주보는 꼭짓점 쌍으로 이루어진 지름이 4개 있다.\n3단계: 각 지름마다 나머지 6개의 꼭짓점 중 하나를 직각의 꼭짓점으로 삼으면 되므로 직각삼각형의 수는 $4\times 6=24$. 따라서 직각삼각형이 아닐 확률 $=\dfrac{56-24}{56}=\dfrac{32}{56}=\dfrac{4}{7}$.

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1단계: $X\sim B(100,\tfrac{1}{2})$이므로 평균 $m=np=100\cdot\tfrac{1}{2}=50$, 분산 $\sigma^2=np(1-p)=25$, 표준편차 $\sigma=5$.\n2단계: $n=100$이 충분히 크므로 $X$는 근사적으로 정규분포 $N(50,\,5^2)$을 따른다. 표준화하면 $Z=\dfrac{X-50}{5}$. $X=45\Rightarrow Z=-1,\ X=60\Rightarrow Z=2$.\n3단계: $P(45\le X\le 60)\approx P(-1\le Z\le 2)=P(0\le Z\le 1)+P(0\le Z\le 2)=0.3413+0.4772=0.8185$.

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1단계: 두 벡터 성분 계산. $\vec{AB}=(2,2,-2)$, $\vec{AC}=(-1,1,2)$. 2단계: 내적과 크기. $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=-2+2-4=-4$, $|\vec{AC}|=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$. 3단계: 정사영 벡터 공식 적용. 정사영 벡터는 $\dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{|\vec{AC}|^2}\vec{AC}$이고 그 크기는 $\dfrac{|\vec{AB}\cdot\vec{AC}|}{|\vec{AC}|}=\dfrac{4}{\sqrt{6}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.

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1단계: 닮음비. 중점을 연결한 정삼각형의 한 변은 원래의 $\tfrac{1}{2}$이므로 $T_n$의 한 변은 $3\cdot(1/2)^{n-1}$. 2단계: 넓이 관계. $T_n$의 넓이 $A_n=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(3\cdot\tfrac{1}{2^{n-1}}\right)^2=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{1}{4^{n-1}}$이고, $S_n=A_n-A_{n+1}=A_n\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{27\sqrt{3}}{16}\cdot\dfrac{1}{4^{n-1}}$. 3단계: 무한등비급수. 첫째항 $\dfrac{27\sqrt{3}}{16}$, 공비 $\dfrac{1}{4}$이므로 합 $=\dfrac{27\sqrt{3}/16}{1-1/4}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$.

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1단계: 도함수 계산. $f'(x)=2xe^x+(x^2-3)e^x=e^x(x^2+2x-3)=e^x(x+3)(x-1)$. 2단계: 부호와 극값 판정. $e^x>0$이므로 부호는 $(x+3)(x-1)$로 결정. $x<-3$에서 $+$, $-3<x<1$에서 $-$, $x>1$에서 $+$. 따라서 $x=-3$에서 극대, $x=1$에서 극소. 3단계: 극값 대입. $M=f(-3)=(9-3)e^{-3}=6e^{-3}$, $m=f(1)=(1-3)e=-2e$. $M-m=6e^{-3}-(-2e)=2e+6e^{-3}$.

📖 풀이:
1단계: 하한 조건 치환. $x_1\geq 2$이므로 $y_1=x_1-2\geq 0$로 두면 방정식은 $y_1+x_2+x_3+x_4=8$. 비음정수해의 개수는 ${}_4H_8=\binom{11}{3}=165$. 2단계: 여사건 설정. $x_2\leq 3$의 여사건은 $x_2\geq 4$. $z_2=x_2-4$로 치환하면 $y_1+z_2+x_3+x_4=4$, 해의 개수 $\binom{7}{3}=35$. 3단계: 전체에서 여사건을 제외. 구하는 수 $=165-35=130$.

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1단계: 각 표본평균의 분포. 모분산 $\sigma^2=20$이므로 $\bar{X}\sim N(50,\,20/4)=N(50,5)$, $\bar{Y}\sim N(50,\,20/5)=N(50,4)$. 2단계: 차의 분포. 두 표본이 독립이므로 $E(\bar{X}-\bar{Y})=0$, $V(\bar{X}-\bar{Y})=5+4=9$. 따라서 $\bar{X}-\bar{Y}\sim N(0,9)$, 표준편차 $3$. 3단계: 표준화. $P(\bar{X}-\bar{Y}\geq 3)=P\!\left(Z\geq\dfrac{3-0}{3}\right)=P(Z\geq 1)=0.5-0.3413=0.1587$.

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1단계: $P$의 좌표 결정. 포물선 $y^2=4x$는 초점 $F(1,0)$, 준선 $x=-1$을 가지며 '포물선 위 점에서 초점까지 거리 = 준선까지 거리'. $P=(a,b)$라 하면 $a+1=5$이므로 $a=4$, $b^2=16$, $b>0$에서 $P=(4,4)$. 2단계: 원의 형태. 원이 $x$축에 접하고 $O(0,0)$을 지나면 $O$가 접점이 되므로 중심은 $y$축 위의 $(0,r)$, 반지름 $r$. 3단계: $P$ 조건. $(4-0)^2+(4-r)^2=r^2$에서 $16+16-8r=0$, $r=4$.