📝 고3 수학 심화

📖 풀이:
1단계: $x=\tan\theta$로 치환. $dx=\sec^2\theta\,d\theta$, $1+x^2=\sec^2\theta$이므로 $(1+x^2)^{3/2}=\sec^3\theta$.
2단계: 적분이 $\int\dfrac{\sec^2\theta}{\sec^3\theta}d\theta=\int\cos\theta\,d\theta=\sin\theta+C$.
3단계: 원래 변수로 복귀. $\sin\theta=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$이므로 $\left[\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right]_0^1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

📖 풀이:
1단계: 미분하면 $y'=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{2}(x^2+2)^{1/2}\cdot 2x=x\sqrt{x^2+2}$.
2단계: $1+(y')^2=1+x^2(x^2+2)=x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2$이므로 $\sqrt{1+(y')^2}=x^2+1$ (양수).
3단계: $L=\displaystyle\int_0^2(x^2+1)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}+x\right]_0^2=\dfrac{8}{3}+2=\dfrac{14}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 다항정리 적용. 일반항은 $\dfrac{6!}{a!b!c!}x^a(2y)^b(-z)^c$이며 $a+b+c=6$.
2단계: $x^2y^3z$를 얻으려면 $a=2,b=3,c=1$. 다항계수는 $\dfrac{6!}{2!\,3!\,1!}=\dfrac{720}{2\cdot 6\cdot 1}=60$.
3단계: 부호·상수 반영. $(2)^3\cdot(-1)^1=-8$이므로 계수 $=60\times(-8)=-480$.

📖 풀이:
1단계: 사전확률과 조건확률 정리. $P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}$, $P(R|A)=\dfrac{3}{5}$, $P(R|B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
2단계: 전체 확률 $P(R)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{30}+\dfrac{5}{30}=\dfrac{14}{30}=\dfrac{7}{15}$.
3단계: 베이즈 정리. $P(A|R)=\dfrac{P(A)P(R|A)}{P(R)}=\dfrac{3/10}{7/15}=\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{15}{7}=\dfrac{9}{14}$.

📖 풀이:
1단계: 표 해석. $P(|Z|\le 2)=0.9544$이므로 $P(Z\le 2)=\dfrac{1+0.9544}{2}=0.9772$, $P(Z\le -2)=0.0228$. 즉 주어진 두 확률의 Z값은 각각 $-2$, $+2$.
2단계: 표준화로 연립. $\dfrac{40-m}{\sigma}=-2$, $\dfrac{70-m}{\sigma}=2$.
3단계: 두 식을 더하면 $\dfrac{110-2m}{\sigma}=0\Rightarrow m=55$. 다시 대입해 $\sigma=7.5$. 따라서 $m+\sigma=62.5$.

📖 풀이:
1단계: 점이 곡선 위에 있는지 확인. $\dfrac{16}{4}-\dfrac{15}{5}=4-3=1$ ✓.
2단계: 쌍곡선 접선 공식 $\dfrac{x_0 x}{a^2}-\dfrac{y_0 y}{b^2}=1$ 적용. $\dfrac{4x}{4}-\dfrac{\sqrt{15}y}{5}=1$, 즉 $x-\dfrac{\sqrt{15}}{5}y=1$. $A=(1,0)$, $B=\left(0,-\dfrac{5}{\sqrt{15}}\right)=\left(0,-\dfrac{\sqrt{15}}{3}\right)$.
3단계: 넓이 $=\dfrac{1}{2}\cdot|OA|\cdot|OB|=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{3}=\dfrac{\sqrt{15}}{6}$.

📖 풀이:
1단계: 방향벡터 $\vec{u_1}=(1,0,0)$, $\vec{u_2}=(0,1,0)$은 평행하지 않으므로 두 직선은 꼬인 위치. 공통 법선은 $\vec{u_1}\times\vec{u_2}=(0,0,1)$.
2단계: 각 직선 위 한 점을 고르면 $P_1=(0,0,0)$, $P_2=(0,1,1)$. 연결벡터 $\vec{P_1P_2}=(0,1,1)$.
3단계: 최단거리 공식 $d=\dfrac{|\vec{P_1P_2}\cdot(\vec{u_1}\times\vec{u_2})|}{|\vec{u_1}\times\vec{u_2}|}=\dfrac{|(0,1,1)\cdot(0,0,1)|}{1}=1$.

📖 풀이:
1단계: $x$축을 지름으로 두면 원 방정식 $y^2+z^2\le 4$의 단면 폭은 $2\sqrt{4-x^2}$. 단면이 정사각형이므로 변의 길이도 이와 같고, 단면 넓이 $A(x)=\left(2\sqrt{4-x^2}\right)^2=4(4-x^2)$.
2단계: 부피 $V=\displaystyle\int_{-2}^{2}A(x)\,dx=4\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx$. 대칭성으로 $=8\int_0^2(4-x^2)dx$.
3단계: $\int_0^2(4-x^2)dx=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$. 따라서 $V=8\cdot\dfrac{16}{3}=\dfrac{128}{3}$.

📖 풀이:
1단계: A가 아닌 네 글자 B, B, C, D를 먼저 일렬로 나열. B가 같으므로 $\dfrac{4!}{2!}=12$가지.
2단계: 이렇게 놓은 4개의 문자 사이와 양 끝에 생기는 '빈틈' 5곳 중 3곳을 골라 A를 한 개씩 배치하면 어떤 두 A도 이웃하지 않는다. $\binom{5}{3}=10$가지.
3단계: 두 단계가 독립이므로 곱의 법칙으로 $12\times 10=120$가지.

📖 풀이:
1단계: 미적분의 기본 관계로 $f'(x)=(x-1)(x+2)$. 부호는 $x<-2$에서 양, $-2<x<1$에서 음, $x>1$에서 양이므로 $x=-2$에서 극대, $x=1$에서 극소.
2단계: $f(1)=\displaystyle\int_0^1(t^2+t-2)\,dt$. 전개하여 $(t-1)(t+2)=t^2+t-2$.
3단계: 계산하면 $\left[\dfrac{t^3}{3}+\dfrac{t^2}{2}-2t\right]_0^1=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-2=\dfrac{2+3-12}{6}=-\dfrac{7}{6}$.

📖 풀이:
1) 도함수 정리: $f'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x = 2(1-2\sin^2 x) - 2\sin x$. 2) $f'(x)=0$ 풀이: $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$에서 $(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$, 구간 내에서 $\sin x = \dfrac{1}{2}$이므로 $x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}$. 3) 함숫값 비교: $f(\pi/6) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2.598$, $f(5\pi/6) = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$, $f(0)=2, f(\pi)=-2$. 최댓값은 $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

📖 풀이:
1) 치환: $u = 1+e^x$로 두면 $du = e^x dx$이고 $e^x = u-1$. $x=0$일 때 $u=2$, $x=\ln 2$일 때 $u=3$. 2) 피적분함수 변환: $\dfrac{e^{2x}}{1+e^x}dx = \dfrac{(u-1)e^x}{u}dx = \dfrac{u-1}{u}du = \left(1 - \dfrac{1}{u}\right)du$. 3) 적분 실행: $\displaystyle\int_2^3 \left(1-\dfrac{1}{u}\right)du = [u - \ln u]_2^3 = (3-\ln 3)-(2-\ln 2) = 1-\ln\dfrac{3}{2}$.

📖 풀이:
1) 원판법 적용: 회전체 부피는 $V = \pi\displaystyle\int_0^\pi [\sin x]^2 dx$로 표현된다. 2) 반각공식으로 변형: $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}$이므로 $V = \dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int_0^\pi (1-\cos 2x)\, dx$. 3) 적분 계산: $\dfrac{\pi}{2}\left[x - \dfrac{\sin 2x}{2}\right]_0^\pi = \dfrac{\pi}{2}\cdot\pi = \dfrac{\pi^2}{2}$.

📖 풀이:
1) 변수 치환으로 조건 제거: $x' = x-1,\ y' = y-2,\ z' = z-3$로 두면 $x', y', z', w \geq 0$이고 $x'+y'+z'+w = 15 - 1 - 2 - 3 = 9$. 2) 음이 아닌 정수해 개수는 중복조합 $_4H_9$로 주어짐. 3) 계산: $_4H_9 = {}_{4+9-1}C_9 = {}_{12}C_9 = {}_{12}C_3 = \dfrac{12\cdot 11\cdot 10}{6} = 220$.

📖 풀이:
1) 균등분포에서 확률은 해당 영역의 넓이와 같음(전체 넓이 1). 2) 영역 설정: $\{(x,y): 0\le x,y\le 1,\ y>x^2\}$는 단위정사각형 내부에서 포물선 $y=x^2$ 위쪽 부분. 3) 넓이 적분: $\displaystyle\int_0^1 (1-x^2)\,dx = \left[x - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.

📖 풀이:
1) 모비율 신뢰구간 공식: $\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$, 신뢰도 99%에서 $z = 2.58$. 2) 표준오차 계산: $\sqrt{\dfrac{0.5 \times 0.5}{400}} = \sqrt{\dfrac{0.25}{400}} = \sqrt{0.000625} = 0.025$. 3) 구간 길이: $2 \times z \times \text{(표준오차)} = 2 \times 2.58 \times 0.025 = 0.129$.

📖 풀이:
1) 포물선 성질 확인: $y^2 = 8x = 4\cdot 2 \cdot x$이므로 초점 $F(2,0)$, 준선 $x=-2$. 포물선 위 임의의 점 P에서 $|PF|$ = (준선까지 거리). 2) $|PF|$ 계산: 준선까지 거리가 6이므로 $|PF| = 6$. 3) $x$좌표 계산: P의 $x$좌표를 $p$라 하면 준선까지 거리 $=p-(-2)=p+2=6$이므로 $p=4$. 따라서 합 $= |PF|+p = 6+4=10$.

📖 풀이:
1) 구와 평면이 만나는 원의 중심은 구의 중심에서 평면에 내린 수선의 발과 일치. 중심 O$(0,0,0)$에서 평면 $x+2y+2z-3=0$까지의 거리: $d = \dfrac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{9}} = 1$. 2) 피타고라스 정리: 구 반지름 $R=3$, 중심거리 $d=1$, 교선 원의 반지름 $r$에 대해 $R^2 = d^2 + r^2$. 3) 반지름 계산: $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

📖 풀이:
1) 1계 도함수: $f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$. 2) 2계 도함수: $f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$. 3) 변곡점 판정: $f''(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0$ ($e^x>0$이므로). 구간 $[0, 2\pi]$에서 $x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}$. 각 점 좌우에서 $\cos x$의 부호가 바뀌므로 $f''$도 부호가 바뀌어 실제 변곡점. 총 2개.

📖 풀이:
1) 합 표기 변환: 주어진 식은 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\dfrac{k}{n}}$ 꼴. 2) 구분구적법: 구간 $[0,1]$을 $n$등분하여 $x_k = \dfrac{k}{n}$, $\Delta x = \dfrac{1}{n}$로 두면 리만합 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \sqrt{x_k}\,\Delta x \to \int_0^1 \sqrt{x}\,dx$. 3) 정적분 계산: $\displaystyle\int_0^1 x^{1/2} dx = \left[\dfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^1 = \dfrac{2}{3}$.

📖 풀이:
1) 단축 끝점에서 초점까지 거리: $B(0,b)$에서 $F_1(-c,0)$까지의 거리는 $\sqrt{b^2+c^2}$인데 $a^2 = b^2 + c^2$이므로 $|BF_1| = |BF_2| = a$. 삼각형 $BF_1F_2$는 두 변이 $a$인 이등변삼각형. 2) 꼭지각 조건: $\angle F_1 B F_2 = \dfrac{\pi}{3}$이고 양 변이 같으므로 밑각도 각각 $\dfrac{\pi}{3}$. 즉 정삼각형. 3) 이심률: $|F_1F_2| = 2c = a$ (정삼각형이므로)에서 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}$.

📖 풀이:
1단계: 점화식 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$의 양변을 $3^{n+1}$로 나누면 $\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3}\cdot\frac{a_n}{3^n} + \frac{1}{3}$.
2단계: $b_n = \frac{a_n}{3^n}$로 치환하면 $b_{n+1} = \frac{2}{3}b_n + \frac{1}{3}$, $b_1 = \frac{1}{3}$. 고정점 방정식 $b = \frac{2}{3}b + \frac{1}{3}$의 해는 $b = 1$.
3단계: $b_{n+1} - 1 = \frac{2}{3}(b_n - 1)$이므로 $b_n - 1 = -\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$. $n \to \infty$일 때 $(2/3)^n \to 0$이므로 $b_n \to 1$.

📖 풀이:
1단계: 매개변수 미분 공식 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$를 적용. $\frac{dx}{dt} = -2\sin t - 2\sin 2t$, $\frac{dy}{dt} = 2\cos t - 2\cos 2t$.
2단계: $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t - \cos 2t}{-\sin t - \sin 2t}$.
3단계: $t = \frac{\pi}{3}$에서 $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 분자 $= \frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right) = 1$, 분모 $= -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$. 따라서 기울기 $= -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

📖 풀이:
1단계: $x = 1$ 대입하면 좌변 $= 0$, 우변 $= f(1) - 1 + 2 - 1 = f(1)$. 따라서 $f(1) = 0$.
2단계: 양변을 $x$에 대해 미분하면 $f(x) = f(x) + xf'(x) - 3x^2 + 2$. 정리하면 $xf'(x) = 3x^2 - 2$, 즉 $f'(x) = 3x - \frac{2}{x}$.
3단계: 적분하여 $f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2\ln x + C$. 조건 $f(1) = 0$에서 $\frac{3}{2} + C = 0$이므로 $C = -\frac{3}{2}$. 따라서 $f(e) = \frac{3}{2}e^2 - 2\ln e - \frac{3}{2} = \frac{3e^2 - 7}{2}$.

📖 풀이:
1단계: 회전체 부피 공식 $V = \pi\displaystyle\int_0^{\pi/2} y^2\,dx = \pi\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cos x\,dx$.
2단계: $u = \sin x$로 놓으면 $du = \cos x\, dx$이고 $x = 0 \Rightarrow u = 0$, $x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow u = 1$.
3단계: $V = \pi\displaystyle\int_0^1 u^2\,du = \pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{\pi}{3}$.