📝 고3 수학 심화

📖 풀이:
[1단계] 정삼각형의 한 변의 중점을 이어 만들면 새 정삼각형의 한 변의 길이는 원래의 $\frac{1}{2}$. 따라서 $T_n$의 한 변의 길이는 $a_n = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.
[2단계] 한 변의 길이가 $a$인 정삼각형의 내접원 반지름은 $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$이므로 $S_n = \pi r^2 = \frac{\pi a_n^2}{12}$.
[3단계] $a_n^2 = 4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$이므로 $S_n = \frac{\pi}{3} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$. 이는 첫째항 $\frac{\pi}{3}$, 공비 $\frac{1}{4}$인 무한등비급수.
[4단계] $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{\pi/3}{1-1/4} = \frac{\pi/3}{3/4} = \frac{4\pi}{9}$.

📖 풀이:
$f'(x)=(2x+a)e^{-x}-(x^2+ax+b)e^{-x}=e^{-x}\{-x^2+(2-a)x+(a-b)\}$. $x=1$에서 극값이므로 $f'(1)=0$: $-1+(2-a)+(a-b)=1-b=0$에서 $b=1$. 또 $f(1)=(1+a+b)e^{-1}=\dfrac{a+2}{e}=\dfrac{3}{e}$에서 $a=1$. 따라서 $f(x)=(x^2+x+1)e^{-x}$이고 $f'(x)=e^{-x}(-x^2+x)=-x(x-1)e^{-x}$. $f'(x)=0$의 해는 $x=0,\,1$. 부호 변화는 $x<0$에서 $f'<0$, $0<x<1$에서 $f'>0$, $x>1$에서 $f'<0$이므로 $x=0$에서 극소, $x=1$에서 극대이다. 극댓값은 $f(1)=\dfrac{3}{e}$로 조건과 일치하고, 극솟값은 $f(0)=(0+0+1)e^{0}=1$이다.

📖 풀이:
[1단계] 부분적분 공식 $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ 적용. $u=x$, $dv=\sin x\,dx$로 두면 $du=dx$, $v=-\cos x$.
[2단계] $\displaystyle\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx = [-x\cos x]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$.
[3단계] $[-x\cos x]_0^{\pi/2} = -\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} - (-0\cdot\cos 0) = -\frac{\pi}{2}\cdot 0 - 0 = 0$.
[4단계] $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = [\sin x]_0^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$.
[5단계] 따라서 $\displaystyle\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx = 0+1 = 1$.

📖 풀이:
[1단계] 회전체 부피 공식: $V=\pi\displaystyle\int_1^e (\ln x)^2 dx$. (적분 구간: $\ln x \ge 0$은 $x\ge 1$에서 성립.)
[2단계] $\int (\ln x)^2 dx$ 부분적분: $u=(\ln x)^2$, $dv=dx$, $du=\frac{2\ln x}{x}dx$, $v=x$. $\int(\ln x)^2 dx = x(\ln x)^2 - 2\int \ln x\,dx$.
[3단계] $\int\ln x\,dx = x\ln x - x + C$ (부분적분 재사용). 따라서 $\int(\ln x)^2 dx = x(\ln x)^2 - 2(x\ln x - x) + C = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$.
[4단계] $\int_1^e(\ln x)^2 dx = [x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x]_1^e$. $x=e$에서 $e\cdot 1 - 2e\cdot 1 + 2e = e$. $x=1$에서 $0 - 0 + 2 = 2$. 차 $e-2$.
[5단계] $V=\pi(e-2)$.

📖 풀이:
[1단계] 치역이 $Y$라는 조건은 '전사함수(surjection)'의 개수를 구하는 것. 포함배제 원리 활용.
[2단계] 전체 함수 수: $3^5 = 243$.
[3단계] 치역이 $Y$의 부분집합(2원소 이하)이 되는 경우 제외. 치역이 특정 2원소집합에 포함되는 함수 수는 $2^5=32$, 그런 2원소집합 수는 $\binom{3}{2}=3$, 기여 $3\cdot 32=96$.
[4단계] 치역이 특정 1원소집합에 포함되는 함수 수는 $1^5=1$, 그런 1원소집합 수는 $\binom{3}{1}=3$, 기여 $3$. 포함배제로 두 번 빼졌으므로 한 번 더해줌.
[5단계] 전사함수 수 $= 3^5 - \binom{3}{2}\cdot 2^5 + \binom{3}{1}\cdot 1^5 = 243 - 96 + 3 = 150$.

📖 풀이:
표본공간의 크기는 $6^3=216$. $a+b+c=6$ ($1\le a,b,c\le 6$)인 순서쌍의 수를 센다. $a'=a-1,\;b'=b-1,\;c'=c-1\;(\ge 0)$로 치환하면 $a'+b'+c'=3$이고 음이 아닌 정수해의 수는 $\binom{3+2}{2}=\binom{5}{2}=10$. 각 변수의 최댓값은 $6-1-1=4\le 6$이므로 상한 조건은 자동으로 만족된다. 따라서 경우의 수는 $10$이고 확률은 $\dfrac{10}{216}=\dfrac{5}{108}$. 직접 나열해도 $(1,1,4)$형 3가지, $(1,2,3)$형 6가지, $(2,2,2)$ 1가지로 합 $10$가지이다. 정답은 ①.

📖 풀이:
[1단계] 표본평균 $\overline{X}$의 분포: 평균 $m=70$, 표준편차 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{25}}=2$. 즉 $\overline{X}\sim N(70, 2^2)$.
[2단계] 표준화: $Z=\dfrac{\overline{X}-70}{2}$.
[3단계] $\overline{X}\ge 72 \iff Z\ge\dfrac{72-70}{2}=1$.
[4단계] 따라서 $P(\overline{X}\ge 72)=P(Z\ge 1)$.

📖 풀이:
[1단계] 타원에서 $a^2=25, b^2=9$이므로 $a=5, b=3, c=\sqrt{25-9}=4$. 초점 $F_1(-4,0), F_2(4,0)$.
[2단계] 타원의 정의: $|PF_1|+|PF_2|=2a=10$. 두 길이를 $r_1, r_2$로 두면 $r_1+r_2=10$.
[3단계] AM-GM 부등식: $r_1 r_2 \le \left(\dfrac{r_1+r_2}{2}\right)^2 = 25$. 등호는 $r_1=r_2=5$일 때 성립.
[4단계] $r_1=r_2$는 $P$가 단축 위(즉 $P=(0,\pm 3)$)일 때 성립. 확인: $|PF_1|=\sqrt{16+9}=5$, $|PF_2|=5$. OK.
[5단계] 최댓값 $25$.

📖 풀이:
[1단계] 점과 평면 사이의 거리 공식: 평면 $ax+by+cz+d=0$과 점 $(x_0,y_0,z_0)$ 거리 $=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
[2단계] 평면을 표준형으로 변형: $2x-y+2z-5=0$. $a=2, b=-1, c=2, d=-5$.
[3단계] 점 대입: $|2\cdot 3+(-1)\cdot(-1)+2\cdot 2-5|=|6+1+4-5|=|6|=6$.
[4단계] 분모: $\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$.
[5단계] 거리 $=\dfrac{6}{3}=2$. **정답 ③**.

📖 풀이:
[1단계] $\sqrt{9n^2+2n}-3n$은 $\infty-\infty$ 부정형. 유리화로 처리.
[2단계] $\sqrt{9n^2+2n}-3n = \dfrac{(\sqrt{9n^2+2n}-3n)(\sqrt{9n^2+2n}+3n)}{\sqrt{9n^2+2n}+3n} = \dfrac{(9n^2+2n)-9n^2}{\sqrt{9n^2+2n}+3n} = \dfrac{2n}{\sqrt{9n^2+2n}+3n}$.
[3단계] 분자·분모를 $n$으로 나눔: $\dfrac{2}{\sqrt{9+2/n}+3}$.
[4단계] $n\to\infty$이면 $2/n\to 0$, 분모 $\to\sqrt{9}+3=3+3=6$.
[5단계] 극한값 $=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.

📖 풀이:
미적분의 기본정리로 $F'(x)=(x^2-2x)e^x=x(x-2)e^x$. $e^x>0$이므로 $F'(x)=0$의 해는 $x=0,\,2$. $x<0$에서 $F'>0$, $0<x<2$에서 $F'<0$, $x>2$에서 $F'>0$이므로 $x=0$은 극대, $x=2$는 극소이다. 부분적분(또는 $\int P(t)e^t\,dt=(P-P'+P'')e^t$)을 이용하면 $\int(t^2-2t)e^t\,dt=(t^2-4t+4)e^t=(t-2)^2e^t$. 따라서 $F(2)=\big[(t-2)^2e^t\big]_0^2=0-(-2)^2e^0=-4$. 그러므로 극솟값은 $-4$이다.

📖 풀이:
[1단계] $y=\frac{1}{3}x^3-x=\frac{x(x^2-3)}{3}=\frac{x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{3}$. $x$축 교점: $x=-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}$.
[2단계] $f(x)=\frac{1}{3}x^3-x$는 홀함수($f(-x)=-f(x)$). 따라서 곡선과 $x$축 사이 영역은 원점 대칭.
[3단계] 넓이 $S=2\displaystyle\int_0^{\sqrt{3}}\left|\frac{1}{3}x^3-x\right|dx=2\int_0^{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{3}x^3\right)dx$ ($0\le x\le\sqrt{3}$에서 $f\le 0$이므로 $|f|=-f$).
[4단계] $\int_0^{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{3}x^3\right)dx = \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}\right]_0^{\sqrt{3}}=\frac{3}{2}-\frac{9}{12}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$.
[5단계] $S=2\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$.

📖 풀이:
1단계: 극한값 존재 가정. $\lim a_n = L$이라 하면 $L=\frac{3L+4}{L+3}$이므로 $L^2+3L=3L+4$, 즉 $L^2=4$. $a_1=2>0$이고 점화식 구조상 $a_n>0$이 유지되므로 $L=2$ 후보.
2단계: 수렴성 증명. $a_{n+1}-2 = \frac{3a_n+4-2(a_n+3)}{a_n+3} = \frac{a_n-2}{a_n+3}$. $a_1=2$이므로 $a_1-2=0$, 따라서 모든 $n$에 대해 $a_n=2$ (고정점).
3단계: 결론. 수열이 상수 $2$이므로 $\lim_{n\to\infty} a_n = 2$. (함정: ④ $1+\sqrt{3}$은 $L^2-2L-2=0$ 오류 풀이에서 나오는 값)

📖 풀이:
1단계: 리만합 인식. 주어진 합은 구간 $[0,1]$을 $n$등분하여 $x_k=\frac{k}{n}$, $\Delta x=\frac{1}{n}$로 두고 함수 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$을 적분하는 리만합.
2단계: 정적분 변환. $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\cdot\frac{1}{n} = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx$.
3단계: 적분 계산. $\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = [\arctan x]_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}$. (함정: ④ $\ln 2$는 $\frac{1}{1+x}$로 혼동한 오답)

📖 풀이:
1단계: 도함수 계산. $f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}-a$. $f$가 극댓값·극솟값 모두 갖기 위해선 $f'(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 갖고 그 근에서 부호가 바뀌어야 함.
2단계: 치환 분석. $g(x)=\frac{2x}{x^2+1}=a$의 해가 두 개 필요. $g'(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$이므로 $x=1$에서 최댓값 $g(1)=1$, $x=-1$에서 최솟값 $g(-1)=-1$을 가진다.
3단계: 정밀 분석. $g'(x)=0 \Leftrightarrow x=\pm 1$. $g$는 $(-\infty,-1)$ 감소, $(-1,1)$ 증가, $(1,\infty)$ 감소. 치역은 $(-1,1)$이지만 $a=0$일 때는 $x=0$ 하나만 해. 수평선 $y=a$가 $g$와 두 점에서 만나려면 $a\neq 0$이고 $-1<a<1$. (함정: ② $-1<a<1$은 $a=0$ 제외를 빠뜨린 오답)

📖 풀이:
1단계: 접선 방정식. 점 $P(t, e^{2t})$에서의 접선 기울기는 $y'=2e^{2x}$이므로 $2e^{2t}$. 접선 방정식은 $y-e^{2t}=2e^{2t}(x-t)$.
2단계: 원점 통과 조건. $x=0, y=0$ 대입: $-e^{2t}=2e^{2t}(-t)$, 즉 $e^{2t}(2t-1)=0$. $e^{2t}\neq 0$이므로 $2t-1=0$.
3단계: 해 도출. $t=\frac{1}{2}$. 따라서 $P$의 $x$좌표는 $\frac{1}{2}$이고 $P=(\frac{1}{2}, e)$, 접선 기울기는 $2e$, 방정식 $y=2ex$. (함정: ④ $\ln 2$는 $y=e^x$로 착각한 오답)

📖 풀이:
1단계: 대칭 치환. $I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$. $x=\frac{\pi}{2}-t$로 치환하면 $dx=-dt$, $\sin x=\cos t$, $\cos x=\sin t$이고 구간은 $t: \pi/2\to 0$.
2단계: 변환 적분. $I=\int_{\pi/2}^0 \frac{\cos t}{\cos t+\sin t}(-dt)=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos t}{\sin t+\cos t}dt$. 이를 $J$라 하자.
3단계: 합 이용. $I+J=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx=\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}$. 대칭에 의해 $I=J$이므로 $2I=\frac{\pi}{2}$, $I=\frac{\pi}{4}$. (함정: ② $\pi/2$는 합만 계산한 오답)

📖 풀이:
1단계: 이항정리. $(1+x)^{10}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}x^k$이므로 $x^k$의 계수는 $\binom{10}{k}$.
2단계: 계수 계산. $x^3$ 계수 $=\binom{10}{3}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{3!}=120$. $x^7$ 계수 $=\binom{10}{7}=\binom{10}{3}=120$ (대칭성 $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$).
3단계: 합. $120+120=240$. (함정: ③ $252=\binom{10}{5}$는 중앙 계수로 오답)

📖 풀이:
1단계: 독립 배정 원리. 구슬이 서로 다르므로 각 구슬은 독립적으로 3개 상자 중 하나에 들어갈 수 있다. 상자도 서로 다르므로 상자 선택이 구별된다.
2단계: 곱의 법칙. 구슬 1 선택 3가지, 구슬 2 선택 3가지, ..., 구슬 6 선택 3가지. 총 $3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3 = 3^6$.
3단계: 값 계산. $3^6=729$. (함정: ① $216=6^3$은 서로 바꿔 해석한 오답, ② $540$은 빈 상자 없음 조건을 잘못 적용한 함정)

📖 풀이:
1단계: 이항분포 확인. $X\sim B(n, p)$, $n=3$, $p=\frac{1}{2}$ (공정한 동전 앞면 확률).
2단계: 기댓값 공식. 이항분포 $B(n,p)$의 기댓값은 $E(X)=np$.
3단계: 대입. $E(X)=3\times\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. (함정: ③ $2$는 분산 $np(1-p)$와 혼동한 오답은 아니지만, '앞면 평균'을 $\frac{3}{2}$가 아닌 정수로 착각하는 경우)

📖 풀이:
'세 번째에 처음으로 검은 공'은 첫째·둘째가 흰 공이고 셋째가 검은 공인 사건이다. 비복원이므로 순차적으로 곱한다. $P(\text{1번째 흰})=\dfrac{3}{5}$, $P(\text{2번째 흰}\mid\text{1번째 흰})=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$이고, 이때 남은 공은 흰 1개·검은 2개이므로 $P(\text{3번째 검}\mid\text{앞 2회 흰})=\dfrac{2}{3}$. 따라서 $P=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5}$. 또는 흰 3개·검은 2개의 배열 $\dfrac{5!}{3!\,2!}=10$가지 중 WWB로 시작하는 경우는 남은 두 자리에 흰 1·검 1을 놓는 $2$가지이므로 $\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$. 정답은 ①.

📖 풀이:
1단계: 신뢰구간 공식. 신뢰도 $95\%$ 모평균 신뢰구간은 $\bar{X}\pm 1.96\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
2단계: 표준오차 계산. $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{25}}=\frac{10}{5}=2$.
3단계: 신뢰구간 길이. 길이 $=2\times 1.96\times 2=7.84$. (함정: ① $3.92$는 반장반장(반폭), ④ $39.2$는 $\sigma=10$을 그대로 곱한 오답)

📖 풀이:
1단계: 타원 정의. 타원 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)은 두 초점으로부터의 거리의 합이 일정한 점의 자취. 그 합은 $2a$ (장축의 길이).
2단계: 표준형 식별. $a^2=25, b^2=9$이므로 $a=5, b=3$. $c^2=a^2-b^2=16$, $c=4$. 초점 $F_1(-4,0), F_2(4,0)$.
3단계: 거리합. $|PF_1|+|PF_2|=2a=2\cdot 5=10$. $P$의 위치와 무관하게 상수. (함정: ④는 원과 착각한 오답)