📝 고3 수학 일반 (9/10)

Q201미적분 활용★★★

곡선

y=\tan x

,

x

축, 직선

x=\dfrac{\pi}{4}

로 둘러싸인 영역을

x

축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는?

①

\pi-\dfrac{\pi^2}{4}

②

\dfrac{\pi^2}{4}

③

\pi+\dfrac{\pi^2}{4}

④

1-\dfrac{\pi}{4}

🎯 정답: ①

\pi-\dfrac{\pi^2}{4}

📖 풀이:
1단계: 회전체 부피 공식

V=\pi\displaystyle\int_0^{\pi/4} y^2\,dx=\pi\displaystyle\int_0^{\pi/4}\tan^2 x\,dx

.
2단계: 삼각함수 항등식

\tan^2 x=\sec^2 x-1

을 이용한다.
3단계:

V=\pi\displaystyle\int_0^{\pi/4}(\sec^2 x-1)\,dx=\pi\bigl[\tan x-x\bigr]_0^{\pi/4}

.
4단계:

\pi\Bigl\{\bigl(\tan\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}\bigr)-(0-0)\Bigr\}=\pi\Bigl(1-\dfrac{\pi}{4}\Bigr)=\pi-\dfrac{\pi^2}{4}

.

💡

\tan^2 x

의 적분 자체는 초등함수이지만 항등식 변환 없이는 풀리지 않는 대표적 트릭 적분입니다.

Q202확률★★★

어느 회사 직원의 60%는 남성, 40%는 여성이다. 남성 중 30%, 여성 중 50%가 안경을 쓴다. 임의로 한 직원을 뽑았을 때 그 직원이 안경을 쓰고 있다면, 그 직원이 여성일 확률은?

①

\dfrac{9}{19}

②

\dfrac{10}{19}

③

\dfrac{11}{19}

④

\dfrac{12}{19}

🎯 정답: ②

\dfrac{10}{19}

📖 풀이:
1단계: 사건을 정의한다. M: 남성, F: 여성, G: 안경 착용.

P(M)=0.6, P(F)=0.4, P(G|M)=0.3, P(G|F)=0.5

.
2단계: 전체확률

P(G)=P(M)P(G|M)+P(F)P(G|F)=0.6\times 0.3+0.4\times 0.5=0.18+0.20=0.38

.
3단계: 조건부확률

P(F|G)=\dfrac{P(F)P(G|F)}{P(G)}=\dfrac{0.20}{0.38}

.
4단계: 분모 분자에 100을 곱하면

\dfrac{20}{38}=\dfrac{10}{19}

.

💡 이 형태의 문제를 베이즈 정리(Bayes' theorem) 라 하며, 의료 진단이나 스팸 필터의 핵심 원리입니다.

Q203이차곡선★★★

타원

\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1

위의 점

(2,1)

에서의 접선의 방정식은?

①

x+2y=2

②

x+2y=4

③

x+y=3

④

2x+y=5

🎯 정답: ②

x+2y=4

📖 풀이:
1단계: 타원

\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1

위의 점

(x_0,y_0)

에서의 접선의 방정식은

\dfrac{x_0 x}{a^2}+\dfrac{y_0 y}{b^2}=1

.
2단계:

a^2=8,b^2=2

이고

(x_0,y_0)=(2,1)

대입하면

\dfrac{2x}{8}+\dfrac{1\cdot y}{2}=1

.
3단계: 정리하면

\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1

.
4단계: 양변에 4를 곱하면

x+2y=4

.

💡 포물선, 타원, 쌍곡선 모두 '제곱을 곱으로 바꾸는' 접선 공식이 통용됩니다. 이는 음함수 미분과 같은 결과입니다.

Q204수열의 극한과 급수★

\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+4n+1}-n)

의 값은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

🎯 정답: ②

📖 풀이:
분자를 유리화한다.

\sqrt{n^2+4n+1}-n = \frac{(\sqrt{n^2+4n+1}-n)(\sqrt{n^2+4n+1}+n)}{\sqrt{n^2+4n+1}+n} = \frac{4n+1}{\sqrt{n^2+4n+1}+n}

분자분모를

n

으로 나누면

\frac{4+1/n}{\sqrt{1+4/n+1/n^2}+1}

.

n\to\infty

이면

\frac{4}{1+1}=2

.

💡

\sqrt{n^2+\cdots}-n

꼴 부정형은 거의 항상 분자유리화로 풀린다.

Q205초월함수의 미분★

함수

f(x)=x\ln x

에 대하여

f'(e)

의 값은? (단,

e

는 자연상수)

① 1

② 2

③

e

④

e+1

🎯 정답: ②

📖 풀이:
곱의 미분법으로

f'(x)=(x)'\ln x + x\cdot(\ln x)' = \ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1

.

x=e

를 대입하면

f'(e)=\ln e+1=1+1=2

.

💡

f(x)=x\ln x

는

x=1/e

에서 최솟값

-1/e

를 가진다.

Q206초월함수의 적분★

정적분

\int_0^{\pi/4} \sec^2 x \, dx

의 값은?

①

0

②

\frac{1}{2}

③

1

④

\sqrt{2}

🎯 정답: ③

📖 풀이:

(\tan x)'=\sec^2 x

이므로

\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C

.

\int_0^{\pi/4} \sec^2 x \, dx = [\tan x]_0^{\pi/4} = \tan(\pi/4) - \tan 0 = 1-0 = 1

.

💡

\sec^2

의 부정적분이

\tan

이라는 사실은

\tan

의 도함수 공식의 역에 해당한다.

Q207통계★

확률변수

X

가 정규분포

N(50, 5^2)

을 따를 때,

P(45 \le X \le 60)

의 값은? (단,

P(0\le Z \le 1)=0.3413

,

P(0\le Z \le 2)=0.4772

)

①

0.6826

②

0.7745

③

0.8185

④

0.9544

🎯 정답: ③

📖 풀이:

Z=\frac{X-50}{5}

로 표준화한다.

X=45 \Rightarrow Z=-1

,

X=60 \Rightarrow Z=2

.
따라서

P(45\le X\le 60)=P(-1\le Z\le 2)=P(0\le Z\le 1)+P(0\le Z\le 2)=0.3413+0.4772=0.8185

.

💡 정규분포에서 평균을 중심으로 한 비대칭 구간 확률은 두 양쪽 부분의 확률을 더해 얻는다.

Q208수열의 극한과 급수★★

무한급수

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3^n}+\frac{1}{2^n}\right)

의 값은?

①

1

②

\frac{3}{2}

③

2

④

\frac{5}{2}

🎯 정답: ③

📖 풀이:
두 무한등비급수로 분리한다.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^n} = \frac{2/3}{1-1/3} = \frac{2/3}{2/3}=1

.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} = \frac{1/2}{1-1/2}=1

.
따라서 합은

1+1=2

.

💡 수렴하는 두 무한급수는 항별로 더해도 수렴값을 그대로 더할 수 있다(선형성).

Q209순열·조합 심화 + 이항정리★★

다항식

(2x+1)^7

의 전개식에서

x^5

의 계수는?

①

84

②

336

③

672

④

1344

🎯 정답: ③

📖 풀이:
이항정리에 의해 일반항은

\binom{7}{r}(2x)^{7-r}(1)^{r}=\binom{7}{r}2^{7-r}x^{7-r}

.

x^5

이 되려면

7-r=5

, 즉

r=2

.
따라서 계수는

\binom{7}{2}\cdot 2^5 = 21\cdot 32 = 672

.

💡

(ax+b)^n

의 일반항을 쓸 때

a

의 거듭제곱을 빠뜨리는 실수가 시험에서 가장 흔하다.

Q210초월함수의 적분★★

정적분

\int_1^e x\ln x \, dx

의 값은?

①

\frac{e^2-1}{4}

②

\frac{e^2+1}{4}

③

\frac{e^2-1}{2}

④

\frac{e^2+1}{2}

🎯 정답: ②

📖 풀이:

u=\ln x

,

dv=x\,dx

로 두면

du=\frac{1}{x}dx

,

v=\frac{x^2}{2}

.

\int_1^e x\ln x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx

= \frac{e^2}{2}\ln e - 0 - \int_1^e \frac{x}{2}dx = \frac{e^2}{2} - \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^e

= \frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4} = \frac{e^2}{4}+\frac{1}{4} = \frac{e^2+1}{4}

.

💡

\ln x

가 들어가면 보통

\ln x

를

u

로 두는 것이 빠르다(미분이 깔끔해지므로).

Q211미적분 활용★★

곡선

y=\sqrt{x}

(

0\le x\le 4

)와

x

축, 직선

x=4

로 둘러싸인 영역을

x

축의 둘레로 회전시켜 만든 회전체의 부피는?

①

4\pi

②

6\pi

③

8\pi

④

16\pi

🎯 정답: ③

📖 풀이:

x

축 회전체의 부피 공식

V=\pi\int_a^b y^2 \,dx

적용.

y^2 = (\sqrt{x})^2 = x

.

V=\pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi\cdot\frac{16}{2} = 8\pi

.

💡

y=\sqrt{x}

의 회전체는 깔때기 모양이며, 같은 영역을

y

축으로 회전시키면 부피는 달라진다.

Q212확률★★

두 공장 A, B에서 같은 부품을 생산한다. 전체 부품 중 공장 A의 생산 비율이 60%이고 그 불량률은 2%, 공장 B의 생산 비율이 40%이고 그 불량률은 5%이다. 임의로 뽑은 부품이 불량일 때, 그 부품이 공장 A에서 생산되었을 조건부확률은?

①

\frac{1}{4}

②

\frac{3}{8}

③

\frac{1}{2}

④

\frac{5}{8}

🎯 정답: ②

📖 풀이:
사건을 정의:

A

=공장 A 생산,

B

=공장 B 생산,

D

=불량.

P(A\cap D)=0.6\times 0.02 = 0.012

.

P(B\cap D)=0.4\times 0.05 = 0.020

.

P(D)=0.012+0.020=0.032

.

P(A|D)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)}=\frac{0.012}{0.032}=\frac{12}{32}=\frac{3}{8}

.

💡 공장 A가 더 많이 생산해도 불량률이 낮으면 '불량 한 개'의 출처는 공장 B가 더 유력할 수 있다.

Q213이차곡선★★

쌍곡선

\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1

의 두 점근선의 방정식을 모두 옳게 나타낸 것은?

①

y=\pm\frac{3}{4}x

②

y=\pm\frac{4}{3}x

③

y=\pm\frac{9}{16}x

④

y=\pm\frac{16}{9}x

🎯 정답: ①

📖 풀이:
표준형

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

의 점근선은

y=\pm\frac{b}{a}x

.

a^2=16

이므로

a=4

,

b^2=9

이므로

b=3

.
따라서 점근선은

y=\pm\frac{3}{4}x

.

💡 쌍곡선의 점근선은

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0

으로 두고 인수분해해도 얻을 수 있다.

Q214이차곡선★★★

타원

\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1

위의 점

P(2,1)

에서의 접선이

x

축,

y

축과 만나는 점을 각각 A, B라 할 때, 삼각형 OAB의 넓이는? (단, O는 원점)

①

2

②

3

③

4

④

5

🎯 정답: ③

📖 풀이:
타원

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

위의 점

(x_1,y_1)

에서의 접선은

\frac{x_1 x}{a^2}+\frac{y_1 y}{b^2}=1

.
점

P(2,1)

에서:

\frac{2x}{8}+\frac{1\cdot y}{2}=1

, 즉

\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1

.
x축과의 교점:

y=0 \Rightarrow x=4

, A

(4,0)

.
y축과의 교점:

x=0 \Rightarrow y=2

, B

(0,2)

.
삼각형 OAB의 넓이

=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2 = 4

.

💡 타원 위 점에서의 접선식은 원

x^2+y^2=r^2

의 접선식

x_1 x+y_1 y=r^2

의 일반화이다.

Q215통계★★★

어느 회사 직원들의 통근 시간

X

(분)는 정규분포

N(40,8^2)

을 따른다. 이 회사의 직원 중 16명을 임의추출하여 표본평균

\bar{X}

를 구할 때,

P(\bar{X}\ge 42)

의 값은? (단,

P(0\le Z\le 1)=0.3413

)

①

0.0228

②

0.1587

③

0.3085

④

0.3413

🎯 정답: ②

📖 풀이:
표본평균의 분포는

\bar{X}\sim N\left(40, \frac{8^2}{16}\right) = N(40, 4) = N(40, 2^2)

.
표준화:

Z=\frac{\bar{X}-40}{2}

.

\bar{X}=42

일 때

Z=\frac{42-40}{2}=1

.

P(\bar{X}\ge 42)=P(Z\ge 1)=0.5-P(0\le Z\le 1)=0.5-0.3413=0.1587

.

💡 표본의 크기가 커질수록 표본평균의 분산은

\sigma^2/n

로 작아져, 평균 주변에 더 좁게 모인다.

Q216평면·공간벡터★★★

한 모서리의 길이가

2

인 정사면체 ABCD에서

\vec{AB}\cdot\vec{AC}

의 값은?

①

1

②

2

③

2\sqrt{2}

④

4

🎯 정답: ②

📖 풀이:
정사면체의 모든 면은 정삼각형이므로, 면 ABC는 정삼각형이다.
따라서

|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=2

이고 두 벡터 사이의 각은

60°

.

\vec{AB}\cdot\vec{AC}=|\vec{AB}||\vec{AC}|\cos 60° = 2\cdot 2\cdot\frac{1}{2} = 2

.

💡 정사면체에서 한 꼭짓점에서 나오는 세 모서리 사이의 각은 모두

60°

로 같다.

Q217초월함수의 적분★★★

정적분

\displaystyle\int_e^{e^2}\frac{1}{x\ln x}\,dx

의 값은?

①

0

②

\ln 2

③

1

④

2

🎯 정답: ②

📖 풀이:

u=\ln x

로 치환하면

du=\frac{1}{x}dx

.
적분 구간 변환:

x=e \Rightarrow u=\ln e=1

,

x=e^2 \Rightarrow u=\ln e^2 = 2

.

\int_e^{e^2}\frac{1}{x\ln x}dx = \int_1^2 \frac{1}{u}du = [\ln u]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2

.

💡

\frac{1}{x\ln x}

형태처럼 분모에 함수와 그 도함수의 단서가 함께 있으면 거의 항상 그 함수를

u

로 두면 풀린다.

Q218수열의 극한과 급수★

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+5n-1}{n^2-2n+4}

의 값은?

①

1

②

2

③

3

④

5

🎯 정답: ③

📖 풀이:
분자와 분모의 최고차항이 모두

n^2

이므로, 분자와 분모를

n^2

으로 나눈다.

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+5n-1}{n^2-2n+4}=\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2}}{1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}}

n\to\infty

일 때

\frac{1}{n}\to 0, \frac{1}{n^2}\to 0

이므로 극한값은

\frac{3+0-0}{1-0+0}=3

이다.

💡 분자와 분모가 같은 차수의 다항식이면 극한값은 최고차항 계수의 비와 같다는 사실을 외워두면 빠르게 답을 찾을 수 있다.

Q219통계★

확률변수

X

가 정규분포

N(70,\,5^2)

을 따를 때,

P(60\le X\le 80)

의 값은? (단,

P(0\le Z\le 2)=0.4772

)

①

0.6826

②

0.8413

③

0.9544

④

0.9772

🎯 정답: ③

📖 풀이:

X\sim N(70,\,5^2)

이므로

Z=\dfrac{X-70}{5}

로 표준화한다.

X=60

일 때

Z=\dfrac{60-70}{5}=-2

,

X=80

일 때

Z=\dfrac{80-70}{5}=2

따라서

P(60\le X\le 80)=P(-2\le Z\le 2)=2\cdot P(0\le Z\le 2)=2\times 0.4772=0.9544

이다.

💡 정규분포에서 평균을 중심으로 표준편차의 2배 범위 안에 약 95.44%의 자료가 들어 있다는 점은 통계 분야에서 매우 자주 사용되는 사실이다.

Q220이차곡선★

쌍곡선

\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1

의 두 초점 사이의 거리는?

①

6

②

8

③

10

④

2\sqrt{7}

🎯 정답: ③

📖 풀이:
쌍곡선

\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1

의 초점은

(\pm c,0)

이고,

c^2=a^2+b^2

이다.
주어진 식에서

a^2=9, b^2=16

이므로

c^2=9+16=25

, 따라서

c=5

.
두 초점은

(-5,0), (5,0)

이므로 두 초점 사이의 거리는

|5-(-5)|=10

이다.

💡 쌍곡선은 타원과 달리

c^2=a^2+b^2

로, 초점이 항상 꼭짓점보다 더 바깥쪽에 위치한다.

Q221초월함수의 적분★★

정적분

\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx

의 값은?

①

e-1

②

1

③

e

④

2

🎯 정답: ②

📖 풀이:
부분적분법을 적용한다.

u=\ln x, dv=dx

로 놓으면

du=\dfrac{1}{x}dx, v=x

이다.

\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx=\Big[x\ln x\Big]_1^e-\int_1^e x\cdot\frac{1}{x}dx

=(e\cdot 1-1\cdot 0)-\displaystyle\int_1^e 1\,dx=e-(e-1)=1

이다.

💡

\ln x

의 부정적분

x\ln x - x

는 부분적분의 대표적 예제로, 미적분 곳곳에서 등장한다.

Q222수열의 극한과 급수★★

무한급수

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}

의 값은?

①

\dfrac{1}{2}

②

\dfrac{2}{3}

③

\dfrac{3}{4}

④

1

🎯 정답: ③

📖 풀이:
부분분수 분해를 한다.

\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)

부분합

S_N=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)

=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{N+1}-\dfrac{1}{N+2}\right)

N\to\infty

일 때 뒤의 두 항은

0

으로 수렴하므로

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}

이다.

💡 인접하지 않은 두 항이 상쇄되는 망원급수는 항이 서로 멀리 떨어진 만큼 남는 항의 개수가 늘어난다.

Q223평면·공간벡터★★

두 벡터

\vec{a},\vec{b}

가

|\vec{a}|=2,\,|\vec{b}|=3,\,\vec{a}\cdot\vec{b}=3

을 만족할 때,

|\vec{a}+\vec{b}|

의 값은?

①

\sqrt{13}

②

\sqrt{17}

③

\sqrt{19}

④

\sqrt{21}

🎯 정답: ③

📖 풀이:
벡터의 크기는 자기 자신과의 내적의 제곱근이다.

|\vec{a}+\vec{b}|^2=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2

=2^2+2\cdot 3+3^2=4+6+9=19

따라서

|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{19}

이다.

💡 이 식은 코사인법칙

|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

의 벡터 표현이다.

Q224순열·조합 심화 + 이항정리★★

숫자

0,1,2,3

에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는?

①

64

②

128

③

192

④

256

🎯 정답: ③

📖 풀이:
네 자리 자연수가 되려면 첫 자리(천의 자리)는

0

이 될 수 없다.
천의 자리:

1,2,3

중 한 가지 →

3

가지
백, 십, 일의 자리:

0,1,2,3

중 각각 한 가지 (중복 허용) → 각

4

가지
곱의 법칙에 의해 총 개수는

3\times 4\times 4\times 4=3\times 4^3=192

이다.

💡 중복순열은

_n\Pi_r=n^r

로 표현하지만 첫 자리에 제한 조건이 붙는 자연수 문제에서는 자리별로 나누어 곱한다.

Q225통계★★

모표준편차가

6

인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가

36

인 표본을 임의추출하여 표본평균을 구하니

80

이었다. 모평균

m

에 대한 신뢰도

95\%

의 신뢰구간은? (단,

P(|Z|\le 1.96)=0.95

)

①

(78.04,\,81.96)

②

(78.50,\,81.50)

③

(79.04,\,80.96)

④

(76.08,\,83.92)

🎯 정답: ①

📖 풀이:
표본평균

\bar{X}

의 표준편차는

\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{6}{\sqrt{36}}=1

이다.
신뢰도

95\%

의 신뢰구간 공식:

\bar{X}-1.96\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\le m\le \bar{X}+1.96\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

80-1.96\times 1\le m\le 80+1.96\times 1

78.04\le m\le 81.96

, 즉

(78.04,\,81.96)

이다.

💡 신뢰도가 높을수록 신뢰구간의 폭은 넓어진다. 신뢰도

99\%

이면

1.96

대신

2.58

을 사용한다.