📝 고3 수학 일반 (8/10)

Q176통계★★★

정규분포

N(50, 10^2)

을 따르는 모집단에서 크기가 25인 표본을 임의추출하여 그 표본평균을

\overline{X}

라 할 때,

P(48 \le \overline{X} \le 53)

의 값은? (단, 표준정규분포에서

P(0 \le Z \le 1) = 0.3413

,

P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332

)

①

0.6826

②

0.7745

③

0.8413

④

0.9332

🎯 정답: ②

📖 풀이:
표본평균

\overline{X}

는 정규분포

N\left(50, \dfrac{10^2}{25}\right) = N(50, 2^2)

을 따른다. 즉 평균 50, 표준편차 2. 표준화하면

Z = \dfrac{\overline{X} - 50}{2}

이고,

\overline{X} = 48

일 때

Z = -1

,

\overline{X} = 53

일 때

Z = 1.5

. 따라서

P(48 \le \overline{X} \le 53) = P(-1 \le Z \le 1.5) = P(0 \le Z \le 1) + P(0 \le Z \le 1.5) = 0.3413 + 0.4332 = 0.7745

이다.

💡 표본 크기

n

이 커질수록 표본평균의 표준편차가

\dfrac{1}{\sqrt{n}}

에 비례하여 작아지므로, 추정의 정확도가 향상된다.

Q177초월함수의 적분★★★

정적분

\displaystyle \int_1^e \dfrac{(\ln x)^2}{x} dx

의 값은?

①

\dfrac{1}{3}

②

\dfrac{1}{2}

③

1

④

\dfrac{e}{3}

🎯 정답: ①

📖 풀이:
치환적분을 이용한다.

u = \ln x

로 놓으면

du = \dfrac{1}{x} dx

이다. 적분 구간이 바뀌어,

x=1

일 때

u=0

,

x=e

일 때

u=1

이다. 따라서

\displaystyle \int_1^e \dfrac{(\ln x)^2}{x} dx = \int_0^1 u^2 \, du = \left[\dfrac{u^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{3}

이다.

💡 치환적분에서

u = \ln x

로 놓으면 분모의

1/x

가

du

로 자연스럽게 흡수되는 모습이 매우 우아하다.

Q178초월함수의 미분★

함수

f(x) = \ln(\cos x)

(

0 < x < \frac{\pi}{2}

)의 도함수

f'(x)

를 구하시오.

①

\tan x

②

-\tan x

③

\cot x

④

-\cot x

🎯 정답: ②

📖 풀이:
합성함수 미분법을 적용한다.

f(x) = \ln(g(x))

꼴이므로

f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}

이다. 여기서

g(x) = \cos x

,

g'(x) = -\sin x

. 따라서

f'(x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x

.

💡

\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C

인 이유가 바로 이 미분 결과의 역방향이다.

Q179통계★

모표준편차가

\sigma = 6

인 모집단에서 크기

n = 9

인 표본을 임의추출할 때, 표본평균

\overline{X}

의 표준편차를 구하시오.

①

1

②

2

③

3

④

6

🎯 정답: ②

📖 풀이:
표본평균

\overline{X}

의 표준편차는

\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

이다. 따라서

\frac{6}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2

.

💡 표본 크기를 4배로 늘리면 표본평균의 표준편차는 절반으로 줄어든다 (

\sqrt{n}

에 반비례하기 때문).

Q180순열·조합 심화 + 이항정리★

문자 a 4개와 b 3개를 일렬로 나열하는 방법의 수를 구하시오.

①

21

②

35

③

70

④

140

🎯 정답: ②

📖 풀이:
같은 것이 있는 순열의 수는

\frac{n!}{p! \, q!}

(

p

,

q

는 같은 종류의 개수). 따라서

\frac{7!}{4! \, 3!} = \frac{5040}{24 \times 6} = \frac{5040}{144} = 35

.

💡 이는

_7C_3

또는

_7C_4

와 같다 - 7자리 중 b가 들어갈 3자리(또는 a가 들어갈 4자리)를 고르는 것과 동치이기 때문.

Q181초월함수의 적분★★

정적분

\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx

의 값을 구하시오.

①

\ln 2

②

2\ln 2

③

\frac{1}{2}\ln 2

④

\ln 3

🎯 정답: ①

📖 풀이:

u = x^2 + 1

로 치환하면

du = 2x \, dx

이고,

x = 0

일 때

u = 1

,

x = 1

일 때

u = 2

. 따라서

\displaystyle\int_1^2 \frac{1}{u} \, du = [\ln u]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2

. 또는 분자가 분모의 도함수임을 이용해

\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C

공식을 바로 적용해도 된다.

💡 분자가 분모의 미분일 때는 자동으로 로그함수가 답으로 나온다 - 이를 '로그미분형 적분'이라고 부른다.

Q182미적분 활용★★

곡선

y = \sqrt{x}

(

0 \leq x \leq 4

)와

x

축으로 둘러싸인 영역을

x

축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 구하시오.

①

4\pi

②

8\pi

③

16\pi

④

\frac{32\pi}{3}

🎯 정답: ②

📖 풀이:

x

축 회전체의 부피 공식

V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx

를 적용한다.

V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx = \pi \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi

.

💡 이 회전체는 옆면이 포물면인 '포물 회전체'로, 안테나 접시(파라볼라 안테나)와 같은 형태다.

Q183평면·공간벡터★★

두 벡터

\vec{a} = (4, 0)

,

\vec{b} = (2, 2\sqrt{3})

이 이루는 각의 크기를 구하시오.

①

30°

②

45°

③

60°

④

90°

🎯 정답: ③

📖 풀이:
두 벡터의 내적:

\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \times 2 + 0 \times 2\sqrt{3} = 8

. 크기:

|\vec{a}| = \sqrt{16+0} = 4

,

|\vec{b}| = \sqrt{4 + 12} = 4

. 따라서

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{8}{4 \cdot 4} = \frac{1}{2}

. 그러므로

\theta = 60°

.

💡

(4, 0)

과

(2, 2\sqrt{3})

은 정삼각형의 두 변 - 한 꼭짓점에서 두 변의 끝까지의 벡터로 보면

60°

가 자연스럽게 나온다.

Q184미적분 활용★★★

극한

\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cos\left(\frac{k\pi}{2n}\right)

의 값을 구하시오.

①

\frac{2}{\pi}

②

\frac{1}{\pi}

③

\frac{\pi}{2}

④

\pi

🎯 정답: ①

📖 풀이:

x_k = \frac{k}{n}

,

\Delta x = \frac{1}{n}

로 놓으면 주어진 합은 리만합 형태이다.

\frac{k\pi}{2n} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{k}{n}

이므로 극한은

\displaystyle\int_0^1 \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) dx

이다. 적분 계산:

u = \frac{\pi x}{2}

로 치환하면

du = \frac{\pi}{2} dx

, 따라서

\int_0^1 \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) dx = \left[\frac{2}{\pi} \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right]_0^1 = \frac{2}{\pi}(\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0) = \frac{2}{\pi}

.

💡 리만합을 정적분으로 변환할 때

\frac{k}{n}

부분이 적분변수

x

가 되고,

\frac{1}{n}

부분이

dx

가 된다는 것이 핵심.

Q185이차곡선★★★

직선

y = x + k

가 타원

\frac{x^2}{4} + y^2 = 1

에 접하도록 하는 모든 실수

k

의 값을 구하시오.

①

\pm \sqrt{3}

②

\pm \sqrt{5}

③

\pm 2

④

\pm \sqrt{7}

🎯 정답: ②

📖 풀이:
직선의 식을 타원에 대입:

\frac{x^2}{4} + (x+k)^2 = 1

. 양변에 4를 곱하면

x^2 + 4(x+k)^2 = 4

. 전개:

x^2 + 4x^2 + 8kx + 4k^2 = 4

, 즉

5x^2 + 8kx + 4k^2 - 4 = 0

. 접하려면 판별식

D = 0

:

D = (8k)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (4k^2 - 4) = 64k^2 - 80k^2 + 80 = -16k^2 + 80 = 0

. 따라서

k^2 = 5

,

k = \pm\sqrt{5}

.

💡 기울기

m

인 직선이 타원

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

에 접할 조건은

y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}

이다. 여기에

a=2, b=1, m=1

을 대입하면

\pm\sqrt{4+1} = \pm\sqrt{5}

로 같은 답.

Q186초월함수의 미분★★★

매개변수로 나타낸 곡선

x = t^2 + 1

,

y = t^3 - t

위의 점 중

t = 2

에 대응하는 점에서의 접선의 기울기를 구하시오.

①

\frac{11}{4}

②

\frac{11}{2}

③

3

④

4

🎯 정답: ①

📖 풀이:
매개변수 미분법에 의해

\displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}

이다.

\frac{dx}{dt} = 2t

,

\frac{dy}{dt} = 3t^2 - 1

. 따라서

\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2 - 1}{2t}

.

t = 2

를 대입하면

\frac{3 \cdot 4 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{11}{4}

.

💡 매개변수 미분법은 직접

y

를

x

로 표현하기 어려울 때(예: 사이클로이드 곡선) 매우 유용하다 -

t

를 매개로 두 함수를 연결하면 된다.

Q187평면·공간벡터★★★

공간좌표에서 세 점

A(1, 0, 2)

,

B(3, 2, 0)

,

C(0, 1, 1)

이 있을 때, 두 벡터

\vec{AB}

와

\vec{AC}

의 내적

\vec{AB} \cdot \vec{AC}

를 구하시오.

①

0

②

1

③

2

④

4

🎯 정답: ③

📖 풀이:
성분 계산:

\vec{AB} = B - A = (3-1, 2-0, 0-2) = (2, 2, -2)

,

\vec{AC} = C - A = (0-1, 1-0, 1-2) = (-1, 1, -1)

. 내적은 대응 성분의 곱의 합:

\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(-1) + (2)(1) + (-2)(-1) = -2 + 2 + 2 = 2

.

💡 내적이 양수이면 두 벡터가 이루는 각이 예각, 0이면 직각, 음수이면 둔각이다. 여기서는 양수이므로

\angle BAC

가 예각이다.

Q188확률★★

주머니 안에 빨간 공 4개와 파란 공 6개가 들어 있다. 한 개씩 두 번 비복원으로 꺼낼 때, 두 번째에 꺼낸 공이 빨간색이라는 조건 아래 첫 번째에 꺼낸 공도 빨간색일 확률을 구하시오.

①

\frac{1}{5}

②

\frac{1}{3}

③

\frac{2}{5}

④

\frac{1}{2}

🎯 정답: ②

📖 풀이:
사건

A

: 첫 번째가 빨강, 사건

B

: 두 번째가 빨강.

P(A \cap B) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}

.

P(B)

는 두 경우로 나누어 계산:

P(B) = P(A)P(B|A) + P(A^c)P(B|A^c) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{12 + 24}{90} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}

. 따라서

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{2/15}{2/5} = \frac{1}{3}

.

💡 비복원 추출에서

P(B) = P(A) = \frac{4}{10}

이라는 직관적 사실(첫 번째와 두 번째 자리는 대칭) - 이를 이용하면 분모를 빠르게 구할 수 있다.

Q189수열의 극한과 급수★

\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + 3n - 1}{n^2 + 5}

의 값을 구하시오.

① 0

② 1

③ 2

④ 3

🎯 정답: ③ 2

📖 풀이:
분자와 분모의 최고차항이 모두

n^2

이다. 분자, 분모를

n^2

으로 나누면

\lim_{n\to\infty}\dfrac{2 + 3/n - 1/n^2}{1 + 5/n^2} = \dfrac{2}{1} = 2

이다. 분수꼴 수열의 극한에서 분모와 분자의 최고차항 차수가 같으면 극한값은 최고차항 계수의 비가 된다.

💡 분모의 차수가 분자보다 크면 극한은 0, 같으면 최고차 계수비, 분자가 더 크면 발산한다.

Q190순열·조합 심화 + 이항정리★

서로 다른 6명을 원탁에 둘러앉게 하는 방법의 수를 구하시오.

① 60

② 120

③ 360

④ 720

🎯 정답: ② 120

📖 풀이:

n

명을 원탁에 앉히는 원순열의 수는

(n-1)!

이다. 한 사람의 자리를 고정하면 회전을 통해 같아지는 경우를 중복 계산하지 않을 수 있고, 나머지

n-1

명의 순서만 결정하면 되기 때문이다. 따라서 답은

(6-1)! = 5! = 120

가지이다.

💡 원순열은 회전을 같은 것으로 보지만 뒤집기까지 같다고 보면 염주순열이 되어

(n-1)!/2

이 된다.

Q191수열의 극한과 급수★★

한 변의 길이가

1

인 정사각형

S_1

이 있다.

S_1

의 네 변의 중점을 이어 만든 정사각형을

S_2

,

S_2

의 네 변의 중점을 이어 만든 정사각형을

S_3

이라 하자. 이와 같은 방법으로 정사각형

S_n

을 한없이 만들 때, 모든 정사각형의 둘레의 합

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} l_n

을 구하시오. (단,

l_n

은

S_n

의 둘레이다.)

①

4 + 2\sqrt{2}

②

8 + 4\sqrt{2}

③

4 + 4\sqrt{2}

④

8\sqrt{2}

🎯 정답: ②

8 + 4\sqrt{2}

📖 풀이:

S_n

의 한 변의 길이를

a_n

이라 하면

a_1 = 1

이다. 한 변의 중점을 이어 만든 새 정사각형의 변 길이는 원래의

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

배이므로

a_{n+1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a_n

이다. 둘레

l_n = 4a_n

도 같은 공비로 등비수열을 이루며

l_1 = 4

, 공비

r = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

이다.

|r| < 1

이므로 무한등비급수의 합은

\dfrac{4}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{8}{2 - \sqrt{2}} = \dfrac{8(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \dfrac{8(2+\sqrt{2})}{2} = 8 + 4\sqrt{2}

이다.

💡 변의 중점을 이은 정사각형은 원래 정사각형 넓이의 정확히 절반을 차지한다.

Q192통계★★

확률변수

X

가 정규분포

N(50, 10^2)

을 따를 때

P(X \geq 60)

의 값을 구하시오. (단,

P(0 \leq Z \leq 1) = 0.3413

이다.)

① 0.0228

② 0.1587

③ 0.3413

④ 0.4772

🎯 정답: ② 0.1587

📖 풀이:
표준화 변수

Z = \dfrac{X - 50}{10}

을 이용한다.

X = 60

일 때

Z = \dfrac{60-50}{10} = 1

이다. 따라서

P(X \geq 60) = P(Z \geq 1) = 0.5 - P(0 \leq Z \leq 1) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587

이다.

💡 정규분포는 평균을 중심으로 좌우대칭이며, 약 68%의 자료가

\mu \pm \sigma

범위 안에 들어온다.

Q193이차곡선★★

쌍곡선

\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1

의 두 점근선이 이루는 예각을

\theta

라 할 때

\tan\theta

의 값을 구하시오.

①

\dfrac{7}{24}

②

\dfrac{24}{7}

③

\dfrac{12}{5}

④

\dfrac{5}{12}

🎯 정답: ②

\dfrac{24}{7}

📖 풀이:
쌍곡선

\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1

의 점근선은

y = \pm\dfrac{b}{a}x

이다.

a = 4

,

b = 3

이므로 점근선의 기울기는

m_1 = \dfrac{3}{4}

,

m_2 = -\dfrac{3}{4}

이다. 두 직선이 이루는 각의 탄젠트는

\tan\theta = \left|\dfrac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right| = \dfrac{|3/4 - (-3/4)|}{|1 + (3/4)(-3/4)|} = \dfrac{3/2}{7/16} = \dfrac{24}{7}

이다. 이 값은 양수이므로 예각의 탄젠트값이다.

💡 쌍곡선의 두 점근선이 직각을 이루는 경우 직각쌍곡선이라 부르며, 이때

a = b

이다.

Q194평면·공간벡터★★

두 벡터

\vec{a} = (1, 2)

,

\vec{b} = (3, 1)

이 이루는 각을

\theta

라 할 때

\cos\theta

의 값을 구하시오.

①

\dfrac{1}{2}

②

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

③

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

④

\dfrac{\sqrt{5}}{5}

🎯 정답: ②

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

📖 풀이:
내적

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 5

이다. 크기는

|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}

,

|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}

이다. 따라서

\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

이다. 즉

\theta = 45°

이다.

💡 두 벡터의 내적이 0이면 두 벡터는 서로 수직이며, 양수이면 예각, 음수이면 둔각을 이룬다.

Q195통계★★★

정규분포

N(100, 25^2)

을 따르는 모집단에서 크기가

25

인 표본을 임의추출할 때, 표본평균

\overline{X}

가

95

이상

110

이하일 확률을 구하시오. (단,

P(0 \leq Z \leq 1) = 0.3413

,

P(0 \leq Z \leq 2) = 0.4772

이다.)

① 0.6826

② 0.8185

③ 0.9544

④ 0.5328

🎯 정답: ② 0.8185

📖 풀이:
표본크기

n = 25

, 모표준편차

\sigma = 25

이므로 표본평균의 분포는

\overline{X} \sim N\left(100, \dfrac{25^2}{25}\right) = N(100, 5^2)

이다. 표준화

Z = \dfrac{\overline{X} - 100}{5}

를 사용하면

\overline{X} = 95

일 때

Z = -1

,

\overline{X} = 110

일 때

Z = 2

이다. 따라서

P(95 \leq \overline{X} \leq 110) = P(-1 \leq Z \leq 2) = P(0 \leq Z \leq 1) + P(0 \leq Z \leq 2) = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185

이다.

💡 표본크기

n

이 커질수록 표본평균의 분산은

\dfrac{\sigma^2}{n}

로 작아져 모평균 추정의 정확도가 높아진다.

Q196초월함수의 미분★

함수

f(x)=\ln(x^2+1)

에 대하여

f'(1)

의 값은?

①

\dfrac{1}{2}

②

1

③

\dfrac{3}{2}

④

2

🎯 정답: ②

1

📖 풀이:
1단계:

\ln u

의 미분은

u'/u

이므로

u=x^2+1

로 두면

u'=2x

.
2단계:

f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}

.
3단계:

x=1

대입하면

f'(1)=\dfrac{2\cdot 1}{1^2+1}=\dfrac{2}{2}=1

.

💡

\ln(x^2+1)

은 모든 실수에서 정의되는 매끈한 함수라 미적분에서 자주 등장합니다.

Q197확률★

빨간 공 3개와 파란 공 2개가 들어 있는 주머니에서 한 개를 꺼내고 (꺼낸 공은 다시 넣지 않음), 다시 한 개를 꺼낼 때 두 개가 모두 빨간 공일 확률은?

①

\dfrac{1}{5}

②

\dfrac{3}{10}

③

\dfrac{2}{5}

④

\dfrac{1}{2}

🎯 정답: ②

\dfrac{3}{10}

📖 풀이:
1단계: 첫 번째에 빨간 공일 확률

P(A)=\dfrac{3}{5}

.
2단계: 첫 번째가 빨간 공일 때, 남은 4개 중 빨간 공이 2개이므로 두 번째도 빨간 공일 확률

P(B|A)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}

.
3단계: 곱셈정리에 의해

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{10}

.

💡 비복원추출은 한 번 꺼낼 때마다 표본공간이 줄어들어 조건부확률이 자연스럽게 등장합니다.

Q198미적분 활용★★

곡선

y=\sqrt{x}

를

x

축의 둘레로 회전시켜서 만든 회전체에서

0\le x\le 4

부분의 부피는?

①

4\pi

②

6\pi

③

8\pi

④

16\pi

🎯 정답: ③

8\pi

📖 풀이:
1단계: 회전체 부피 공식

V=\pi\displaystyle\int_a^b y^2\,dx

를 적용한다.
2단계:

y=\sqrt{x}

이므로

y^2=x

.
3단계:

V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4

.
4단계:

\pi\cdot\dfrac{16}{2}=8\pi

.

💡

y=\sqrt{x}

의 회전체는 정확히 포물면(paraboloid) 모양이 됩니다.

Q199순열·조합 심화 + 이항정리★★

영문자 S, U, C, C, E, S, S 7개를 일렬로 나열하는 경우의 수는?

① 210

② 420

③ 720

④ 840

🎯 정답: ② 420

📖 풀이:
1단계: 7개의 문자 중 S가 3개, C가 2개, U와 E가 각각 1개씩이다.
2단계: 같은 것이 있는 순열의 수는

\dfrac{n!}{p!q!\cdots}

공식을 이용한다.
3단계: 경우의 수

=\dfrac{7!}{3!\cdot 2!}=\dfrac{5040}{6\cdot 2}=\dfrac{5040}{12}

.
4단계: 따라서 420가지.

💡 같은 것이 있는 순열은 동전이나 깃발 배열, 격자 경로 문제에서도 똑같은 공식이 등장합니다.

Q200확률★★

한 번의 시행에서 성공할 확률이

\dfrac{1}{3}

인 시행을 4번 독립적으로 반복할 때, 정확히 2번 성공할 확률은?

①

\dfrac{2}{9}

②

\dfrac{8}{27}

③

\dfrac{1}{3}

④

\dfrac{4}{9}

🎯 정답: ②

\dfrac{8}{27}

📖 풀이:
1단계: 독립시행의 확률 공식

P=\,_n\mathrm{C}_r\,p^r(1-p)^{n-r}

을 사용한다.
2단계:

n=4,r=2,p=\dfrac{1}{3},1-p=\dfrac{2}{3}

대입.
3단계:

\,_4\mathrm{C}_2=6

이므로 확률

=6\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^2

.
4단계:

6\cdot\dfrac{1}{9}\cdot\dfrac{4}{9}=\dfrac{24}{81}=\dfrac{8}{27}

.

💡 이 분포가 바로 이항분포

B(4,1/3)

이며, 시행 횟수가 늘어나면 정규분포 모양에 가까워집니다.