📝 고3 수학 일반

📖 풀이:
매개변수로 표현된 곡선의 접선의 기울기는 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$이다.
$\dfrac{dx}{dt}=2t,\,\dfrac{dy}{dt}=3t^2+1$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2+1}{2t}$
$t=1$일 때 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3\cdot 1+1}{2\cdot 1}=\dfrac{4}{2}=2$이다.

📖 풀이:
$x$축 회전체의 부피 공식: $V=\pi\displaystyle\int_a^b\{f(x)\}^2\,dx$
$V=\pi\displaystyle\int_0^\pi \sin^2 x\,dx$
반각공식 $\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$를 사용한다.
$V=\pi\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\dfrac{\pi}{2}\Big[x-\dfrac{\sin 2x}{2}\Big]_0^\pi$
$=\dfrac{\pi}{2}\left\{(\pi-0)-(0-0)\right\}=\dfrac{\pi^2}{2}$이다.

📖 풀이:
두 직선이 이루는 각의 코사인값은 두 방향벡터의 내적과 크기로 구하되, 음수가 나오면 절댓값을 취한다.
내적: $\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot 2+2\cdot(-1)+2\cdot 2=2-2+4=4$
크기: $|\vec{u}|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3$, $|\vec{v}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3$
$\cos\theta=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\dfrac{4}{3\cdot 3}=\dfrac{4}{9}$이다.

📖 풀이:
이항정리에 의해 일반항은
$\binom{9}{r}(2x)^{9-r}\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^r=\binom{9}{r}\,2^{9-r}\,x^{9-r}\,x^{-2r}=\binom{9}{r}\,2^{9-r}\,x^{9-3r}$
상수항이 되려면 $x$의 지수가 $0$이어야 하므로 $9-3r=0$, 즉 $r=3$이다.
상수항 $=\binom{9}{3}\cdot 2^{9-3}=84\cdot 64=5376$이다.

📖 풀이:
분모, 분자가 모두 $n$에 대한 이차식이므로 분모와 분자를 $n^2$으로 나눈다. $\dfrac{4 - 3/n + 1/n^2}{2 + 1/n - 5/n^2}$에서 $n \to \infty$일 때 $1/n, 1/n^2 \to 0$이므로 분자는 4, 분모는 2로 수렴. 따라서 극한값은 $\dfrac{4}{2}=2$.

📖 풀이:
$y=\ln x$의 도함수는 $y'=\dfrac{1}{x}$. 점 $(1,0)$에서의 접선의 기울기는 $y'(1)=1$. 점 $(1,0)$을 지나고 기울기가 1인 직선은 $y-0=1\cdot(x-1)$, 즉 $y=x-1$.

📖 풀이:
$u=e^x+1$로 치환하면 $du=e^x\,dx$. $x=0$일 때 $u=2$, $x=\ln 2$일 때 $u=e^{\ln 2}+1=3$. 따라서 $\displaystyle\int_0^{\ln 2}\dfrac{e^x}{e^x+1}\,dx = \int_2^3 \dfrac{1}{u}\,du = [\ln u]_2^3 = \ln 3 - \ln 2 = \ln\dfrac{3}{2}$.

📖 풀이:
각 시행은 독립이며 명중을 성공이라 하자. 명중 횟수 $X$는 이항분포를 따르고, 정확히 3발 명중할 확률은 $_4C_3 \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 \left(\dfrac{1}{4}\right)^1 = 4 \cdot \dfrac{27}{64} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{108}{256}=\dfrac{27}{64}$.

📖 풀이:
매개변수 미분법: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. $\dfrac{dx}{dt}=4t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-3$. 따라서 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3t^2-3}{4t}$. $t=2$를 대입하면 $\dfrac{3\cdot 4 - 3}{4\cdot 2}=\dfrac{9}{8}$.

📖 풀이:
곱의 미분법으로 $f'(x)=e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$. $e^{-x}>0$이므로 $f'(x)=0$의 해는 $x=1$. $x<1$에서 $f'>0$ (증가), $x>1$에서 $f'<0$ (감소)이므로 $x=1$에서 극대. 극댓값은 $f(1)=1\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}$.

📖 풀이:
A가 이기는 경우는 1번째, 3번째, 5번째, ... 시행에서 처음으로 앞면이 나올 때이다. $k$번째 시행($k=1,3,5,\ldots$)에서 처음 앞면이 나올 확률은 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^k$. 따라서 $P(A) = \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+\left(\dfrac{1}{2}\right)^5+\cdots$. 이는 첫째항 $\dfrac{1}{2}$, 공비 $\dfrac{1}{4}$인 등비급수이므로 $P(A)=\dfrac{1/2}{1-1/4}=\dfrac{1/2}{3/4}=\dfrac{2}{3}$.

📖 풀이:
두 벡터가 수직일 조건은 내적이 0. $(\vec{a}+t\vec{b})\cdot\vec{b}=0$을 전개하면 $\vec{a}\cdot\vec{b}+t(\vec{b}\cdot\vec{b})=0$, 즉 $\vec{a}\cdot\vec{b}+t|\vec{b}|^2=0$. $\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot 1+4\cdot 2=11$, $|\vec{b}|^2=1^2+2^2=5$. 따라서 $11+5t=0 \Rightarrow t=-\dfrac{11}{5}$.

📖 풀이:
등비급수 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$이 수렴하려면 첫째항이 0이거나 공비 $r$이 $|r|<1$을 만족해야 한다. 주어진 식의 공비는 $r = 2x-3$이므로 $|2x-3|<1$. 부등식을 풀면 $-1 < 2x-3 < 1 \Rightarrow 2 < 2x < 4 \Rightarrow 1 < x < 2$.

📖 풀이:
합성함수 미분법에 의해 $f'(x) = \frac{(x^2+3)'}{x^2+3} = \frac{2x}{x^2+3}$. 따라서 $f'(2) = \frac{2 \cdot 2}{2^2+3} = \frac{4}{7}$.

📖 풀이:
한 번 시행에서 6이 나올 확률 $p = \frac{1}{6}$, 나오지 않을 확률 $q = \frac{5}{6}$. 5번 중 정확히 2번 6이 나올 확률은 독립시행 정리에 의해 ${}_5C_2 \, p^2 q^3 = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}$.

📖 풀이:
$y=\ln x$는 $x=1$에서 x축과 만나므로 적분구간은 $[1, e]$. 부분적분으로 $\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C$. 따라서 $S = \int_1^e \ln x \, dx = [x\ln x - x]_1^e = (e\cdot 1 - e) - (1\cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1$.

📖 풀이:
표준화: $Z = \frac{X-50}{4}$. $X \ge 54 \Leftrightarrow Z \ge \frac{54-50}{4} = 1$. 정규분포의 대칭성에 의해 $P(Z \ge 1) = 0.5 - P(0 \le Z \le 1) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587$.

📖 풀이:
내분점 공식: 선분 AB를 $m:n$으로 내분하는 점은 $P = \frac{mB + nA}{m+n}$. $m=1, n=2$이므로 $P = \frac{1\cdot(7,4) + 2\cdot(1,-2)}{1+2} = \frac{(7+2,\, 4-4)}{3} = \frac{(9, 0)}{3} = (3, 0)$.

📖 풀이:
포물선 $y^2 = 4x$에 접하는 기울기 $m$인 접선은 $y = mx + \frac{1}{m}$ ($m \neq 0$). 이 직선이 $(-1, 1)$을 지나면 $1 = -m + \frac{1}{m}$. 양변에 $m$을 곱하면 $m = -m^2 + 1$, 즉 $m^2 + m - 1 = 0$. 두 접선의 기울기 $m_1, m_2$는 이 이차방정식의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의해 $m_1 m_2 = -1$.

📖 풀이:
회전체 부피 공식: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$. 따라서 $V = \pi \int_0^1 (e^x)^2 dx = \pi \int_0^1 e^{2x}dx = \pi \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1 = \frac{\pi}{2}(e^2 - 1)$.

📖 풀이:
직선 위의 점을 $(t, t, t)$로 매개변수화하여 구의 방정식에 대입: $t^2 + t^2 + t^2 = 9 \Rightarrow t^2 = 3 \Rightarrow t = \pm\sqrt{3}$. 두 교점은 $P(\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{3})$, $Q(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}, -\sqrt{3})$. 두 점 사이 거리 $= \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36} = 6$. 또는 직선이 원점(구의 중심)을 지나므로 두 교점이 지름의 양 끝이라서 거리는 지름 $2 \cdot 3 = 6$.

📖 풀이:
구분구적법(정적분의 정의)에 의해 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\!\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)dx$이다. 주어진 극한에서 $\cos\frac{k\pi}{2n} = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{k}{n}\right)$이므로 $f(x) = \cos\frac{\pi x}{2}$. 따라서 극한값은 $\int_0^1 \cos\frac{\pi x}{2}dx = \left[\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2}\right]_0^1 = \frac{2}{\pi}(\sin\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{2}{\pi}$.

📖 풀이:
치환적분으로 푼다. $u=\sin x$로 놓으면 $du=\cos x\,dx$이고, $x=0$일 때 $u=0$, $x=\frac{\pi}{2}$일 때 $u=1$이다.\n\n따라서\n$\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx = \int_0^1 u\,du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}$\n\n또는 배각공식 $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$를 이용해도 된다.\n$\int_0^{\pi/2}\frac{1}{2}\sin 2x\,dx = \left[-\frac{\cos 2x}{4}\right]_0^{\pi/2} = -\frac{-1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$\n두 방법 모두 같은 결과를 준다.

📖 풀이:
이항정리에 의해\n$(x+2)^6 = \sum_{k=0}^{6} {}_6C_k \cdot x^{6-k}\cdot 2^k$\n\n$x^4$ 항을 얻으려면 $6-k=4$, 즉 $k=2$여야 한다. 이때 일반항은\n${}_6C_2 \cdot x^4 \cdot 2^2$\n\n${}_6C_2 = \frac{6 \cdot 5}{2!} = 15$이고 $2^2 = 4$이므로 $x^4$의 계수는\n$15 \times 4 = 60$

📖 풀이:
쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$의 정의에 의해, 쌍곡선 위의 점 $P$는 두 초점까지의 거리 차의 절댓값이 일정하다.\n$||PF_1|-|PF_2||=2a$\n\n주어진 식에서 $a^2=9$이므로 $a=3$, 따라서 $2a=6$이다.\n\n점 $P$가 오른쪽 가지 위에 있으면 $F_1$(왼쪽 초점)이 더 멀고 $F_2$(오른쪽 초점)이 더 가까우므로\n$|PF_1|-|PF_2|=2a=6$\n\n$|PF_1|=8$을 대입하면 $|PF_2|=8-6=2$이다.\n\n검산: $c=5$, $a=3$이므로 오른쪽 가지에서 $|PF_2|$의 최솟값은 $c-a=2$이고, 이는 $P$가 오른쪽 꼭짓점 $(3,0)$일 때이다. 이때 $|PF_1|=c+a=8$이 되어 조건과 일치한다.