📝 고3 수학 일반

📖 풀이:
한 변의 길이가 1인 정삼각형의 넓이는 $a_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
중점을 이으면 닮음비 $\dfrac{1}{2}$, 넓이비 $\dfrac{1}{4}$이므로 공비 $r = \dfrac{1}{4}$인 등비수열.
$|r| = \dfrac{1}{4} < 1$이므로 무한등비급수의 합:
$S = \dfrac{a_1}{1 - r} = \dfrac{\sqrt{3}/4}{1 - 1/4} = \dfrac{\sqrt{3}/4}{3/4} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

📖 풀이:
타원의 정의: 타원 위의 임의의 점에서 두 초점까지 거리의 합은 일정하며, 그 값은 장축의 길이 $2a$이다.
주어진 타원에서 $a^2 = 25$이므로 $a = 5$.
$\therefore \overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 2a = 10$

📖 풀이:
BANANA는 B 1개, A 3개, N 2개로 이루어져 있다.
같은 것이 있는 순열의 공식:
$\dfrac{n!}{p! \, q! \, r! \, \cdots}$
$\dfrac{6!}{1! \cdot 3! \cdot 2!} = \dfrac{720}{12} = 60$

📖 풀이:
두 번 미분하여 $y'' = 0$이 되는 점을 찾고 부호 변화를 확인한다.
$y' = -2x \, e^{-x^2}$
$y'' = (-2)e^{-x^2} + (-2x)(-2x)e^{-x^2} = e^{-x^2}(4x^2 - 2)$
$y'' = 0 \;\Leftrightarrow\; 4x^2 - 2 = 0 \;\Leftrightarrow\; x^2 = \dfrac{1}{2}$
$\therefore x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
이 점들에서 $y''$의 부호가 바뀌므로 변곡점이 맞다.

📖 풀이:
직선의 식을 쌍곡선에 대입한다.
$x^2 - (2x + k)^2 = 1$
$x^2 - 4x^2 - 4kx - k^2 = 1$
$-3x^2 - 4kx - (k^2 + 1) = 0$
$3x^2 + 4kx + (k^2 + 1) = 0$
서로 다른 두 점에서 만나려면 이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다(판별식 $D > 0$).
$\dfrac{D}{4} = (2k)^2 - 3(k^2 + 1) = 4k^2 - 3k^2 - 3 = k^2 - 3 > 0$
$\therefore k^2 > 3$, 즉 $|k| > \sqrt{3}$

📖 풀이:
기계 A에서 생산된 제품을 사건 $A$, 기계 B에서 생산된 제품을 사건 $B$, 불량품인 사건을 $D$라 하자.
$P(A) = 0.6, \; P(B) = 0.4, \; P(D|A) = 0.05, \; P(D|B) = 0.10$.
$P(A \cap D) = P(A) P(D|A) = 0.6 \times 0.05 = 0.03$
$P(B \cap D) = P(B) P(D|B) = 0.4 \times 0.10 = 0.04$
$P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) = 0.07$
조건부확률(베이즈 정리):
$P(A | D) = \dfrac{P(A \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0.03}{0.07} = \dfrac{3}{7}$

📖 풀이:
무리식의 극한이므로 분자를 유리화한다. $\sqrt{n^2+4n}-n = \frac{(n^2+4n)-n^2}{\sqrt{n^2+4n}+n} = \frac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n}$. 분자, 분모를 $n$으로 나누면 $\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{n}}+1}$. $n\to\infty$일 때 $\frac{4}{\sqrt{1}+1}=\frac{4}{2}=2$.

📖 풀이:
합성함수 미분법에 의해 $f'(x)=3\cos(3x)$이다. $x=\dfrac{\pi}{6}$ 대입: $f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=3\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=3\cdot 0=0$.

📖 풀이:
$\dfrac{1}{x}$의 부정적분은 $\ln|x|$이다. $\displaystyle\int_{1}^{e^{2}}\dfrac{1}{x}\,dx = [\ln x]_{1}^{e^{2}} = \ln e^{2}-\ln 1 = 2-0 = 2$.

📖 풀이:
$(1+x)^{10}=\displaystyle\sum_{k=0}^{10}{}_{10}\mathrm{C}_{k}\,x^{k}$이므로 모든 항의 계수의 합은 $x=1$을 대입한 값과 같다. 따라서 $(1+1)^{10}=2^{10}=1024$이다.

📖 풀이:
첫 번째 공이 빨간 공이었으므로 주머니에는 빨간 공 $2$개, 파란 공 $2$개, 총 $4$개가 남는다. 두 번째 공이 파란 공일 조건부확률은 $P(B|A)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$이다.

📖 풀이:
$Z=\dfrac{X-50}{4}$로 표준화하면 $X=54$일 때 $Z=1$. 따라서 $P(X\le 54)=P(Z\le 1)=0.5+P(0\le Z\le 1)=0.5+0.3413=0.8413$.

📖 풀이:
선분 $AB$를 $m:n$으로 외분하는 점은 $\dfrac{m\vec{OB}-n\vec{OA}}{m-n}$이다. $m=2,\,n=1$이므로 $\vec{OP}=\dfrac{2(4,8)-(1,2)}{2-1}=(8-1,\,16-2)=(7,\,14)$. 따라서 $|\vec{OP}|=\sqrt{7^{2}+14^{2}}=\sqrt{49+196}=\sqrt{245}=7\sqrt{5}$.

📖 풀이:
$Z=\dfrac{X-170}{6}$으로 표준화한다. $X=164$일 때 $Z=-1$, $X=179$일 때 $Z=1.5$. $P(164\le X\le 179)=P(-1\le Z\le 1.5)=P(0\le Z\le 1)+P(0\le Z\le 1.5)=0.3413+0.4332=0.7745$.

📖 풀이:
여사건(한 번도 성공하지 못함)의 확률을 이용한다. 한 번도 성공하지 못할 확률은 $\left(1-\dfrac{1}{3}\right)^{5}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{5}=\dfrac{32}{243}$. 따라서 적어도 한 번 성공할 확률은 $1-\dfrac{32}{243}=\dfrac{211}{243}$.

📖 풀이:
$S_{n}$의 한 변을 $a_{n}$이라 하면 $S_{n+1}$의 한 변은 직각삼각형의 빗변으로 $a_{n+1}=\sqrt{(a_{n}/2)^{2}+(a_{n}/2)^{2}}=\dfrac{a_{n}}{\sqrt{2}}$이다. 따라서 $S_{n+1}$의 넓이는 $S_{n}$의 넓이의 $\dfrac{1}{2}$배이다. 첫째항 $1$, 공비 $\dfrac{1}{2}$인 무한등비급수이므로 합은 $\dfrac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.

📖 풀이:
$\vec{c}=(x,\,y)$라 하자. 조건에서 $x^{2}+y^{2}=10$이고 $2x+y=5$이다. $y=5-2x$를 대입하면 $x^{2}+(5-2x)^{2}=10$, 즉 $5x^{2}-20x+15=0$, $x^{2}-4x+3=0$. 따라서 $x=1$ 또는 $x=3$. 이때 $\vec{c}=(1,\,3)$ 또는 $(3,\,-1)$. $\vec{c}\cdot\vec{b}$를 계산하면 $(1,3)\cdot(1,3)=1+9=10$, $(3,-1)\cdot(1,3)=3-3=0$. 따라서 최댓값은 $10$.

📖 풀이:
$y=\ln x$의 도함수는 $y'=\dfrac{1}{x}$. 점 $(e,\,1)$에서 접선의 기울기는 $\dfrac{1}{e}$이다. 접선의 방정식은 $y-1=\dfrac{1}{e}(x-e)$, 즉 $y=\dfrac{x}{e}$로 원점을 지난다. 둘러싸인 영역은 (접선·$x$축 아래 삼각형, $0\le x\le e$) - (곡선·$x$축 아래 부분, $1\le x\le e$)이다. 삼각형 넓이는 $\dfrac{1}{2}\cdot e\cdot 1=\dfrac{e}{2}$. 곡선 아래 넓이는 $\displaystyle\int_{1}^{e}\ln x\,dx=[x\ln x-x]_{1}^{e}=(e-e)-(0-1)=1$. 따라서 구하는 넓이는 $\dfrac{e}{2}-1$.

📖 풀이:
1단계: 합성함수 미분으로 $f'(x) = 2\cos(2x) - \sin x$.
2단계: $x = \dfrac{\pi}{2}$ 대입.
$f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\cos\pi - \sin\dfrac{\pi}{2} = 2(-1) - 1 = -3$.

📖 풀이:
1단계: $P(A \cap R) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{5}$.
2단계: $P(B \cap R) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{5}$.
3단계: $P(R) = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{5}$.
4단계: $P(A|R) = \dfrac{P(A \cap R)}{P(R)} = \dfrac{2/5}{3/5} = \dfrac{2}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 표준화. $Z = \dfrac{X - 50}{4}$.
2단계: $X = 58$ 일 때 $Z = \dfrac{58 - 50}{4} = 2$.
3단계: $P(X \geq 58) = P(Z \geq 2) = 0.5 - P(0 \leq Z \leq 2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$.

📖 풀이:
1단계: 반각공식 적용. $\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$.
2단계: $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{1 - \cos 2x}{2} dx = \left[\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi/2}$.
3단계: $= \left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\sin\pi}{4}\right) - (0 - 0) = \dfrac{\pi}{4}$.

📖 풀이:
1단계: $a^2=9, b^2=7$ 이므로 $a=3, c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16}=4$. 거리차 $\big||PF_1|-|PF_2|\big| = 2a = 6$.
2단계: $P$ 가 $F_2$ 쪽 분지에 있을 때, $|PF_1| - |PF_2| = 6 \Rightarrow |PF_2| = 2$ (최솟값 $c-a=1$ 이상이므로 가능).
3단계: $P$ 가 $F_1$ 쪽 분지에 있을 때, $|PF_2| - |PF_1| = 6 \Rightarrow |PF_2| = 14$.
4단계: 모든 값의 합 $= 2 + 14 = 16$.

📖 풀이:
1단계: 평면이 구에 접할 때, 평면과 중심 사이 거리가 곧 구의 반지름이다.
2단계: 점 $(x_0, y_0, z_0)$ 와 평면 $ax+by+cz+d=0$ 의 거리 공식 $\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ 적용.
3단계: $\dfrac{|1+2+3-9|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \dfrac{|-3|}{\sqrt{3}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

📖 풀이:
1단계: $S_1$ 의 넓이 $= 4^2 = 16$.
2단계: 각 변 중점을 이은 정사각형의 한 변 = $\dfrac{(\text{이전 한 변})}{\sqrt{2}}$ 이므로 넓이는 $\dfrac{1}{2}$ 배. 공비 $r = \dfrac{1}{2}$.
3단계: 무한등비급수의 합 $= \dfrac{16}{1 - 1/2} = 32$.