📝 고3 수학 일반

💡 $\sin x$와 $\cos x$는 미분과 적분에서 서로 짝을 이루며 부호와 함께 순환한다.

💡 $y = e^{kx}$의 도함수는 $y' = ke^{kx}$로 자기 자신에 상수배만 곱해지는 특이한 성질을 갖는다.

💡 주사위 두 개의 합 중 가장 자주 나오는 값이 $7$이며, 합이 $2$나 $12$가 될 확률은 각각 $\dfrac{1}{36}$로 가장 작다.

💡 수직선 운동에서 변위는 속도의 정적분이지만, 이동거리는 속도의 절댓값을 적분해야 구할 수 있다.

💡 정규분포에서 평균으로부터 $\pm 1\sigma$ 이내의 확률은 약 $68.26\%$, $\pm 2\sigma$ 이내는 약 $95.44\%$이다.

💡 원순열에서는 회전하여 같은 배열을 한 가지로 세므로 일렬 배열보다 정확히 $n$배 적은 $(n-1)!$가지가 된다.

💡 쌍곡선은 무한히 멀어질수록 점근선에 한없이 가까워지지만 결코 점근선과 만나지는 않는다.

💡 평면벡터의 크기는 성분의 제곱합의 제곱근으로, 본질적으로 피타고라스 정리의 일반화이다.

💡 표본평균 $\overline{X}$의 표준편차는 모표준편차를 표본크기의 제곱근으로 나눈 값으로, 표본이 클수록 분포가 좁아진다.

💡 $y = \sqrt{x}$를 $x$축 주위로 회전시킨 입체는 옆으로 누운 포물면 모양이며, 같은 영역을 $y$축 둘레로 회전시키면 부피가 다르게 나온다.

💡 $\left(x^a + \dfrac{c}{x^b}\right)^n$ 형태의 전개에서 특정 차수의 계수를 찾을 때는 일반항의 지수를 정수 방정식으로 풀면 된다.

💡 타원 위의 한 점에서의 접선은 그 점에서 두 초점으로 향하는 두 선분이 이루는 각을 이등분하는 외각 방향이다.

💡 공간에서 점-평면 거리 공식은 평면의 법선벡터 방향으로 점을 정사영한 길이로 해석할 수 있다.

💡 원순열에서 회전이 같은 배치를 한 가지로 보기 때문에 일렬 순열 $n!$을 $n$으로 나눈 $(n-1)!$이 된다. 만약 좌우 대칭(뒤집기)까지 같다고 보면 염주순열 $\dfrac{(n-1)!}{2}$이 된다.

💡 $e^{2\ln 3}$를 $9$로 바꾸는 단계는 로그의 지수 성질 $a\ln b=\ln b^a$와 $e$와 $\ln$이 서로 역함수라는 사실에서 따라온다.

💡 두 수렴급수의 합은 각 합의 합이라는 분리 성질은 매우 강력해서 복잡해 보이는 급수도 단순한 등비급수로 쪼개면 쉽게 풀린다.

💡 움직인 거리는 속도의 절댓값을 시간으로 적분한 것 $\int_0^4 |v(t)|dt$와 같다. 단순히 $x(4)-x(0)$를 구하면 되돌아온 거리는 상쇄되어 변위만 나온다.

💡 표준정규분포 곡선은 $Z=0$ 기준 좌우 대칭이라서 $P(-a\le Z\le 0)=P(0\le Z\le a)$가 항상 성립한다. 비대칭 구간 확률은 양쪽을 따로 구한 뒤 더하면 된다.

💡 일반형 $x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$이 구를 나타내려면 $\dfrac{A^2+B^2+C^2}{4}-D>0$이어야 한다. 그렇지 않으면 한 점이거나 공집합이 된다.

💡 $y=\sqrt{\sin x}$를 $x$축으로 회전시킨 입체는 한쪽이 부풀고 양 끝이 뾰족한 럭비공 모양으로, 부피가 정확히 $2\pi$인 우아한 결과이다.

💡 이런 형태의 확률 갱신 사고를 베이즈 추론이라 하며, 의료 진단·스팸 필터·기계학습의 확률 모델에 폭넓게 쓰인다. 새로운 증거(빨간 공)가 사전 믿음(상자 선택 확률)을 어떻게 바꾸는지를 정량화하는 것이다.

💡 삼각함수 적분에서 $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$, $\int \cos x\,dx = \sin x + C$로 부호가 짝을 이룬다.

💡 유리식 수열의 극한은 분자, 분모의 차수가 같으면 최고차항 계수의 비로 결정된다.

💡 $y = \ln f(x)$의 도함수는 일반적으로 $y' = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$이며, 이는 로그미분법의 기초가 된다.

💡 $n$이 충분히 크면 이항분포 $B(n, p)$는 정규분포 $N(np, npq)$로 근사된다(드 무아브르-라플라스 정리).