📝 고3 수학 일반

📖 풀이:
1단계: 부분적분. $u = x^2$, $dv = e^x dx$로 놓으면 $du = 2x \, dx$, $v = e^x$.
$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx$.
2단계: 다시 부분적분. $u = 2x$, $dv = e^x dx$로 놓으면 $\int 2x e^x \, dx = 2x e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x e^x - 2 e^x + C$.
3단계: 따라서 부정적분은 $x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C = (x^2 - 2x + 2) e^x + C$.
4단계: 정적분 값은 $[(x^2 - 2x + 2)e^x]_{0}^{1} = (1 - 2 + 2)e - (0 - 0 + 2) \cdot 1 = e - 2$.

📖 풀이:
1단계: $\dfrac{dx}{dt} = 1 - \cos t$, $\dfrac{dy}{dt} = \sin t$.
2단계: $\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2 = (1 - \cos t)^2 + \sin^2 t = 1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t = 2 - 2\cos t$.
3단계: 반각공식 $1 - \cos t = 2 \sin^2 \dfrac{t}{2}$를 이용하면 $= 4 \sin^2 \dfrac{t}{2}$.
4단계: $0 \le t \le 2\pi$에서 $\sin \dfrac{t}{2} \ge 0$이므로 $\sqrt{\cdots} = 2 \sin \dfrac{t}{2}$.
5단계: $L = \int_{0}^{2\pi} 2 \sin \dfrac{t}{2} \, dt = \left[-4 \cos \dfrac{t}{2}\right]_{0}^{2\pi} = -4(\cos \pi - \cos 0) = -4(-1 - 1) = 8$.

📖 풀이:
1단계: 조건을 제거하기 위해 $x' = x - 1 \ge 0$, $y' = y - 2 \ge 0$으로 치환한다.
2단계: 방정식은 $(x' + 1) + (y' + 2) + z + w = 10$, 즉 $x' + y' + z + w = 7$이 된다.
3단계: 모든 변수가 음이 아닌 정수이므로 해의 개수는 중복조합 $_4\mathrm{H}_7 = {_{4+7-1}\mathrm{C}_7} = {_{10}\mathrm{C}_7} = {_{10}\mathrm{C}_3}$.
4단계: $_{10}\mathrm{C}_3 = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = 120$.

📖 풀이:
1단계: 표준화 $Z = \dfrac{X - 500}{20}$.
2단계: $X = 480$일 때 $Z = \dfrac{480 - 500}{20} = -1$, $X = 540$일 때 $Z = \dfrac{540 - 500}{20} = 2$.
3단계: $P(480 \le X \le 540) = P(-1 \le Z \le 2)$.
4단계: 대칭성을 이용해 $P(-1 \le Z \le 0) = P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$.
5단계: $P(-1 \le Z \le 2) = P(-1 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le 2) = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185$.

📖 풀이:
1단계: 전체 나열의 경우의 수는 $6! = 720$.
2단계: 포함배제를 위해 사건을 정의한다. $X$: A, B가 이웃, $Y$: C, D가 이웃.
3단계: $n(X)$는 (AB) 덩어리와 나머지 $4$개를 나열 후 내부 순서까지 고려, $5! \cdot 2! = 240$. 마찬가지로 $n(Y) = 240$.
4단계: $n(X \cap Y)$는 (AB), (CD) 두 덩어리와 나머지 $2$개를 나열 후 각 내부 순서, $4! \cdot 2! \cdot 2! = 96$.
5단계: 포함배제로 $n(X \cup Y) = 240 + 240 - 96 = 384$.
6단계: 둘 다 이웃하지 않는 경우 $= 720 - 384 = 336$.
7단계: 확률 $= \dfrac{336}{720} = \dfrac{7}{15}$.

📖 풀이:
분자와 분모를 최고차항 $n^2$으로 나눈다. $\dfrac{3n^2+2n-1}{n^2+4} = \dfrac{3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{4}{n^2}}$. $n \to \infty$일 때 $\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2} \to 0$이므로 극한값은 $\dfrac{3+0-0}{1+0} = 3$이다.

📖 풀이:
곱의 미분법을 적용한다. $f'(x) = (e^x)' \sin x + e^x (\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$. 따라서 $f'(0) = e^0 (\sin 0 + \cos 0) = 1 \cdot (0+1) = 1$이다.

📖 풀이:
벡터 $\vec{a}$의 크기를 구한다. $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. 방향이 같은 단위벡터는 $\dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} = \dfrac{1}{5}(3, 4) = \left(\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right)$이다.

📖 풀이:
사건 A: 남학생, 사건 B: 안경 쓴 학생이라 하면, 표본공간이 남학생 18명으로 축소된다. $P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{8/30}{18/30} = \dfrac{8}{18} = \dfrac{4}{9}$이다.

📖 풀이:
$S_2$의 한 변의 길이는 $\sqrt{(1/2)^2 + (1/2)^2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$이므로 넓이는 $\dfrac{1}{2}$이다. 같은 비율로 줄어들므로 $S_n$의 넓이는 첫째항 $1$, 공비 $\dfrac{1}{2}$인 등비수열이다. 무한등비급수의 합은 $\dfrac{1}{1 - 1/2} = 2$이다.

📖 풀이:
내적 공식 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$를 이용한다. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 2 - 2 + 4 = 4$. $|\vec{a}| = \sqrt{1+4+4} = 3$, $|\vec{b}| = \sqrt{4+1+4} = 3$. 따라서 $\cos\theta = \dfrac{4}{3 \cdot 3} = \dfrac{4}{9}$이다.

📖 풀이:
포물선 $y^2 = 4px$에서 $4p = 8$이므로 $p = 2$, 초점은 $F(2, 0)$, 준선은 $x = -2$이다. 포물선의 정의에 의해 포물선 위 임의의 점에서 초점까지의 거리는 그 점에서 준선까지의 거리와 같다. 점 $P(2, 4)$에서 준선 $x = -2$까지의 거리는 $2 - (-2) = 4$이므로 $\overline{PF} = 4$이다.

📖 풀이:
매개변수 미분법에 의해 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$이다. $\dfrac{dx}{dt} = -\sin t$, $\dfrac{dy}{dt} = \cos t$이므로 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t$이다. $t = \dfrac{\pi}{4}$를 대입하면 $-\cot\dfrac{\pi}{4} = -1$이다.

📖 풀이:
신뢰도 $95\%$에서 모평균의 신뢰구간은 $\overline{X} - 1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \overline{X} + 1.96 \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$이고, 신뢰구간의 길이는 $2 \times 1.96 \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$이다. $\sigma = 4$, $n = 100$이므로 길이는 $2 \times 1.96 \times \dfrac{4}{10} = 2 \times 1.96 \times 0.4 = 1.568$이다.

📖 풀이:
음함수 미분을 양변에 적용한다. $\dfrac{d}{dx}(x^2 + xy + y^2) = 2x + y + x \dfrac{dy}{dx} + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0$. 정리하면 $(x + 2y)\dfrac{dy}{dx} = -(2x + y)$, 즉 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x + y}{x + 2y}$이다. 점 $(1, 2)$를 대입하면 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2 \cdot 1 + 2}{1 + 2 \cdot 2} = -\dfrac{4}{5}$이다.

📖 풀이:
구의 중심은 원점 $O(0, 0, 0)$이고 반지름은 $R = 5$이다. 평면 $z = 3$과 원점 사이의 거리는 $d = 3$이다. 구와 평면이 만나서 생기는 원의 반지름 $r$은 피타고라스 정리에 의해 $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$이다.

📖 풀이:
이항정리에 의해 일반항은 ${}_6\mathrm{C}_r (2x)^{6-r}\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)^r = {}_6\mathrm{C}_r \cdot 2^{6-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{6-r} \cdot x^{-2r} = {}_6\mathrm{C}_r \cdot 2^{6-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{6-3r}$이다. 상수항이 되려면 $x$의 지수가 $0$이어야 하므로 $6 - 3r = 0$, 즉 $r = 2$이다. 상수항 $= {}_6\mathrm{C}_2 \cdot 2^4 \cdot (-1)^2 = 15 \cdot 16 \cdot 1 = 240$이다.

📖 풀이:
1단계: 합성함수 미분법을 적용한다. $\ln(g(x))$의 도함수는 $\frac{g'(x)}{g(x)}$이다.
2단계: $g(x) = x^2+1$이므로 $g'(x) = 2x$.
3단계: 따라서 $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.
4단계: $x=2$ 대입: $f'(2) = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$.

📖 풀이:
1단계: 서로 다른 3종류에서 중복을 허용하여 5개를 택하는 중복조합 문제이다.
2단계: $_3H_5 = {}_{3+5-1}C_5 = {}_7C_5 = {}_7C_2$.
3단계: ${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.

📖 풀이:
1단계: 부분적분법을 사용한다. $u = x$, $dv = e^x \, dx$로 놓으면 $du = dx$, $v = e^x$.
2단계: $\int_0^1 xe^x \, dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx$.
3단계: $[xe^x]_0^1 = 1\cdot e - 0 = e$.
4단계: $\int_0^1 e^x \, dx = e-1$.
5단계: 따라서 $e - (e-1) = 1$.

📖 풀이:
1단계: '적어도 하나'는 여사건 '모두 검은 공'을 이용한다.
2단계: 전체 경우의 수: $_{10}C_3 = 120$.
3단계: 모두 검은 공인 경우: $_6C_3 = 20$.
4단계: $P(\text{모두 검정}) = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.
5단계: $P(\text{흰 공 적어도 1개}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

📖 풀이:
1단계: 미적분의 기본정리에 의해 $f'(x) = (x-1)e^{-x}$.
2단계: $e^{-x} > 0$이므로 $f'(x) = 0$이려면 $x = 1$. 부호는 $x<1$에서 음, $x>1$에서 양 → $x=1$에서 극소.
3단계: $f(1) = \displaystyle\int_0^1 (t-1)e^{-t}\,dt$를 부분적분으로 계산. $u = t-1$, $dv = e^{-t}dt$ → $du=dt$, $v = -e^{-t}$.
4단계: $f(1) = [-(t-1)e^{-t}]_0^1 + \displaystyle\int_0^1 e^{-t}\,dt = (0 - (-1)\cdot 1) \cdot (-1) \dots$ 정리: $[-(t-1)e^{-t}]_0^1 = 0 - (-1)(1) = -1$. 그리고 $\int_0^1 e^{-t}dt = 1 - \frac{1}{e}$.
5단계: $f(1) = -1 + \left(1 - \frac{1}{e}\right) = -\frac{1}{e}$.

📖 풀이:
1단계: $y^2 = 4px$에서 $4p = 8$이므로 $p = 2$. 초점 $F(2, 0)$, 준선 $x = -2$.
2단계: 포물선 위 점에서 초점까지 거리는 준선까지 거리와 같다. 초점을 지나는 현의 두 점에 대해 다음 공식이 성립한다: $\dfrac{1}{\overline{AF}} + \dfrac{1}{\overline{BF}} = \dfrac{1}{p}$.
3단계: $\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{\overline{BF}} = \dfrac{1}{2}$.
4단계: $\dfrac{1}{\overline{BF}} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}$.
5단계: $\overline{BF} = \dfrac{8}{3}$.

📖 풀이:
1단계: $S_1$의 한 변이 $4$이므로 $a_1 = 16$.
2단계: 정사각형의 각 변의 중점을 이으면, 새 정사각형의 한 변은 원래의 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$배가 된다.
3단계: 따라서 넓이는 $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{2}$배. 즉 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{1}{2}$ (공비 $r = \dfrac{1}{2}$).
4단계: 무한등비급수의 합 공식: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \dfrac{a_1}{1 - r} = \dfrac{16}{1 - \frac{1}{2}} = 32$.

📖 풀이:
같은 것을 서로 다른 곳에 분배하는 문제이므로 중복조합을 이용한다.

$3$개의 바구니에서 $7$번 중복하여 뽑는 경우의 수와 같다.

$_3 H_7 = {}_{3+7-1}C_7 = {}_9 C_7 = {}_9 C_2$

$= \dfrac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$

따라서 정답은 $36$ 가지.