📝 고3 수학 일반

📖 풀이:
1단계: 신뢰구간은 $\bar{x} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{x} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
2단계: 구간의 길이 $b - a = 2 \cdot 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
3단계: $\sigma = 4$, $n = 100$이므로 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{10} = 0.4$.
4단계: $b - a = 2 \cdot 1.96 \cdot 0.4 = 1.568$.

📖 풀이:
1단계: $l_1$의 방향벡터는 $\vec{d_1} = (2, a, 3)$, $l_2$의 방향벡터는 $\vec{d_2} = (1, -2, 2)$.
2단계: 두 직선이 수직일 조건은 $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0$.
3단계: $2 \cdot 1 + a \cdot (-2) + 3 \cdot 2 = 2 - 2a + 6 = 8 - 2a$.
4단계: $8 - 2a = 0$을 풀면 $a = 4$.

📖 풀이:
1단계: $F(u) = \int_1^u e^{-t}dt$로 두면 $F'(u) = e^{-u}$ (정적분으로 정의된 함수의 미분).
2단계: $f(x) = F(x^2)$이므로 합성함수 미분법에 의해 $f'(x) = F'(x^2) \cdot (x^2)' = e^{-x^2} \cdot 2x$.
3단계: $x=1$을 대입하면 $f'(1) = e^{-1} \cdot 2 = \frac{2}{e}$.

📖 풀이:
1단계: $a^2=25,\ b^2=9$이므로 $c^2 = a^2 - b^2 = 16$, $c=4$. 따라서 $|FF'| = 2c = 8$.
2단계: 타원의 정의에서 $|PF| + |PF'| = 2a = 10$.
3단계: $\angle FPF' = 90^\circ$이므로 피타고라스 정리에 의해 $|PF|^2 + |PF'|^2 = |FF'|^2 = 64$.
4단계: $(|PF| + |PF'|)^2 = |PF|^2 + |PF'|^2 + 2|PF||PF'|$에서 $100 = 64 + 2|PF||PF'|$, 즉 $|PF||PF'| = 18$.
5단계: 삼각형 넓이 $= \frac{1}{2}|PF||PF'| = \frac{1}{2} \times 18 = 9$.

📖 풀이:
1단계: 부분분수 분해로 $\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$.
2단계: 부분합 $S_N = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$에서 망원(telescoping) 효과로 대부분 상쇄.
3단계: 남는 항은 $\frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2}\right)$.
4단계: $N \to \infty$이면 뒤 두 항이 $0$으로 수렴하므로 $\lim_{N\to\infty} S_N = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

📖 풀이:
1) $u=x^2+1$로 치환하면 $du=2x\,dx$. 2) 적분구간 변경: $x=0 \Rightarrow u=1$, $x=1 \Rightarrow u=2$. 3) $\int_1^2 \dfrac{1}{u}\,du = [\ln u]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.

📖 풀이:
1) $a^2=25$, $b^2=16$이므로 $c^2=a^2-b^2=9$, 초점 $(\pm 3, 0)$. 2) 현 $x=3$을 타원에 대입: $\dfrac{9}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$. 3) $y^2 = 16 \cdot \dfrac{16}{25}$, $y=\pm\dfrac{16}{5}$. 4) 현의 길이 $= 2 \cdot \dfrac{16}{5} = \dfrac{32}{5}$. (일반공식: 통경 $=\dfrac{2b^2}{a}$).

📖 풀이:
1) 곱의 미분법 적용: $f'(x)=(x)'\sin x + x(\sin x)' = \sin x + x\cos x$. 2) $x=\dfrac{\pi}{2}$ 대입: $\sin\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\cos\dfrac{\pi}{2} = 1 + \dfrac{\pi}{2}\cdot 0 = 1$.

📖 풀이:
1) 독립시행의 확률: $P = {}_4C_2 \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$. 2) ${}_4C_2 = 6$. 3) $P = 6 \cdot \dfrac{1}{16} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}$.

📖 풀이:
1) 분자·분모의 최대지수 밑은 3이므로 분자·분모를 $3^n$으로 나눈다. 2) 분자: $\dfrac{3 \cdot 3^n - 2^n}{3^n} = 3 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. 3) 분모: $\dfrac{3^n + 2 \cdot 2^n}{3^n} = 1 + 2\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. 4) $n \to \infty$일 때 $(2/3)^n \to 0$이므로 극한 $=\dfrac{3-0}{1+0}=3$.

📖 풀이:
1) 이항분포 $B(n, p)$에서 $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$. 2) $n=100$, $p=\dfrac{1}{5}$, $1-p=\dfrac{4}{5}$. 3) $E(X)=100 \cdot \dfrac{1}{5}=20$. 4) $V(X)=100 \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = 16$. 5) $E(X)+V(X)=20+16=36$.

📖 풀이:
1) 점과 평면 사이의 거리 공식: $d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. 2) $a=2, b=-1, c=2, d=-5$, $(x_0, y_0, z_0)=(1,2,3)$. 3) 분자: $|2 \cdot 1 +(-1)\cdot 2 + 2 \cdot 3 - 5| = |2-2+6-5| = 1$. 4) 분모: $\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$. 5) $d=\dfrac{1}{3}$.

📖 풀이:
1) 넓이 $S(t)=\displaystyle\int_0^t e^{-x}\,dx$. 2) 부정적분: $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}+C$. 3) $S(t)=\left[-e^{-x}\right]_0^t = -e^{-t}-(-1) = 1 - e^{-t}$. 4) $t \to \infty$ 이면 $e^{-t} \to 0$ 이므로 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}S(t)=1$.

📖 풀이:
1) $y^2=4x$ 의 초점 $F(1, 0)$. 기울기 1인 직선: $y=x-1$. 2) $(x-1)^2=4x$ 이므로 $x^2-6x+1=0$. 두 근 $x_1, x_2$ 에 대해 근과 계수 관계로 $x_1+x_2=6$. 3) 포물선의 초점거리 성질: 준선 $x=-1$ 로부터의 거리가 초점거리와 같으므로 $\overline{AF}=x_1+1$, $\overline{BF}=x_2+1$. 4) $\overline{AB}=\overline{AF}+\overline{BF}=(x_1+x_2)+2=6+2=8$.

📖 풀이:
1) 음함수 미분법: 양변을 x로 미분한다. 2) $\dfrac{d}{dx}(x^2)+\dfrac{d}{dx}(xy)+\dfrac{d}{dx}(y^2)=0$ 에서 $2x + (y + xy') + 2yy' = 0$. 3) $y'$에 대해 정리: $y'(x+2y) = -(2x+y)$, 즉 $y' = -\dfrac{2x+y}{x+2y}$. 4) $(x, y)=(1, 1)$ 대입: $y' = -\dfrac{2+1}{1+2} = -\dfrac{3}{3} = -1$.

📖 풀이:
1) $A$ 가 일어난 횟수 $X$ 는 이항분포 $B(4, 1/3)$. 2) 여사건: $P(X \geq 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$. 3) $P(X=0)={}_4C_0 (2/3)^4 = \dfrac{16}{81}$. 4) $P(X=1)={}_4C_1 (1/3)(2/3)^3 = 4 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{8}{27} = \dfrac{32}{81}$. 5) $P(X\geq 2) = 1 - \dfrac{16}{81} - \dfrac{32}{81} = \dfrac{33}{81} = \dfrac{11}{27}$.

📖 풀이:
1단계: $f(1) = 1 + 2 - 1 = 2$이므로 $g(2) = 1$이다.
2단계: 역함수 미분법에 의해 $g'(2) = \frac{1}{f'(g(2))} = \frac{1}{f'(1)}$.
3단계: $f'(x) = 3x^2 + 2$이므로 $f'(1) = 3 + 2 = 5$.
4단계: 따라서 $g'(2) = \frac{1}{5}$.

📖 풀이:
1단계: 6개의 숫자 중 1이 2개, 2가 2개, 3이 2개로 같은 것이 있다.
2단계: 같은 것이 있는 순열의 공식에 의해 경우의 수는 $\frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!}$이다.
3단계: $\frac{720}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{720}{8} = 90$.
따라서 구하는 수의 개수는 90이다.

📖 풀이:
1단계: 포물선의 표준형 $y^2 = 4px$와 비교하면 $4p = 8$이므로 $p = 2$.
2단계: 이 형태의 포물선의 초점은 $(p, 0) = (2, 0)$이고 준선은 $x = -p$이다.
3단계: 따라서 준선의 방정식은 $x = -2$이다.

📖 풀이:
1단계: 전체 경우의 수는 $_{10}\mathrm{C}_2 = 45$.
2단계: 두 수의 합이 짝수이려면 두 수가 모두 홀수이거나 모두 짝수여야 한다.
3단계: 홀수 $5$개 중 $2$개: $_5\mathrm{C}_2 = 10$, 짝수 $5$개 중 $2$개: $_5\mathrm{C}_2 = 10$.
4단계: 유리한 경우의 수 $= 10 + 10 = 20$.
5단계: 따라서 확률 $= \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$.

📖 풀이:
1단계: 배각공식 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$를 이용하면 $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$.
2단계: $\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2}\sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_{0}^{\pi/2}$.
3단계: $= -\frac{1}{4}(\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{4}(-1 - 1) = \frac{1}{2}$.
따라서 값은 $\frac{1}{2}$이다.

📖 풀이:
1단계: $E(X) = \sum k \cdot P(X=k) = 1 \cdot \frac{1}{10} + 2 \cdot \frac{2}{10} + 3 \cdot \frac{3}{10} + 4 \cdot \frac{4}{10} = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{10} = 3$.
2단계: $E(X^2) = 1 \cdot \frac{1}{10} + 4 \cdot \frac{2}{10} + 9 \cdot \frac{3}{10} + 16 \cdot \frac{4}{10} = \frac{1 + 8 + 27 + 64}{10} = 10$.
3단계: $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = 10 - 9 = 1$.
따라서 $E(X) = 3$, $V(X) = 1$.

📖 풀이:
1단계: 한 변의 길이 $a$인 정사각형의 각 변 중점을 이어 만든 새 정사각형의 한 변의 길이는 $\frac{a}{\sqrt{2}}$이므로 넓이는 원래의 $\frac{1}{2}$배.
2단계: 따라서 $S_n$의 넓이는 $\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.
3단계: 이는 첫째항 $1$, 공비 $\frac{1}{2}$인 무한등비급수이다.
4단계: 합 $= \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$.
따라서 모든 넓이의 합은 $2$이다.

📖 풀이:
1단계: 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$에서 $a^2 = 16$, 즉 $a = 4$.
2단계: 쌍곡선의 정의에 의해 $|\overline{PF} - \overline{PF'}| = 2a = 8$.
3단계: 점 $P$가 오른쪽 곡선 위에 있으므로 $F$가 $P$에 가까운 초점이다. 따라서 $\overline{PF} < \overline{PF'}$이고 $\overline{PF'} - \overline{PF} = 8$.
4단계: 따라서 $\overline{PF'} = \overline{PF} + 8 = 12 + 8 = 20$.

📖 풀이:
1단계: 전개하면 $(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - \vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + \vec{a}\cdot\vec{b} - 2|\vec{b}|^2$.
2단계: $|\vec{a}|^2 = 3^2 + (-1)^2 = 10$.
3단계: $\vec{a}\cdot\vec{b} = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 = 1$.
4단계: $|\vec{b}|^2 = 1^2 + 2^2 = 5$.
5단계: 따라서 값은 $10 + 1 - 2 \cdot 5 = 1$.