📝 고3 수학 일반

📖 풀이:
식을 변형하면 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n(n+k)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}\cdot\frac{k/n}{1 + k/n}$이다. $x_k = \dfrac{k}{n}$으로 두면 이는 구분구적법에 의해 $\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{1+x}\,dx$로 바뀐다. 피적분함수를 $\dfrac{x}{1+x} = 1 - \dfrac{1}{1+x}$로 분해하면 $\displaystyle\int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x}\right)dx = \bigl[x - \ln(1+x)\bigr]_0^1 = (1 - \ln 2) - 0 = 1 - \ln 2$이다.

📖 풀이:
중심이 원점인 구 위의 점 $T(1, 2, 2)$에서의 접평면의 법선벡터는 $\vec{OT} = (1, 2, 2)$이다. 따라서 접평면은 점 $T$를 지나고 법선벡터가 $(1, 2, 2)$인 평면이므로 $1\cdot(x-1) + 2\cdot(y-2) + 2\cdot(z-2) = 0$, 즉 $x + 2y + 2z = 9$이다. (또는 공식 $x_1 x + y_1 y + z_1 z = r^2$을 써서 $x + 2y + 2z = 9$로 바로 구할 수 있다. 점이 구 위에 있음을 확인: $1+4+4=9$.)

📖 풀이:
기댓값의 일차성: $E(aX+b) = aE(X)+b$.
$E(Y) = 3E(X)-5 = 3\times 10 - 5 = 25$.
분산의 일차변환: $V(aX+b) = a^2 V(X)$ (상수 $b$ 는 분산에 영향 없음).
$V(Y) = 3^2 \times V(X) = 9 \times 4 = 36$.
따라서 $E(Y)+V(Y) = 25+36 = 61$.

📖 풀이:
1단계: $g(\ln 5)=a$라 하면 $f(a)=\ln 5$이므로 $\ln(2a+1)=\ln 5$, 즉 $2a+1=5$이고 $a=2$.
2단계: $f'(x)=\dfrac{2}{2x+1}$이므로 $f'(2)=\dfrac{2}{5}$.
3단계: 역함수의 미분법에 의해 $g'(\ln 5)=\dfrac{1}{f'(g(\ln 5))}=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{5}{2}$.

📖 풀이:
1단계: $A$, $B$가 독립이므로 $P(A\cap B)=P(A)P(B)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{15}$.
2단계: 합사건 공식 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{5}{15}+\dfrac{6}{15}-\dfrac{2}{15}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$.

📖 풀이:
1단계: $a^2=16$, $b^2=9$이므로 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25}=5$, 따라서 한 초점은 $F(5,0)$.
2단계: 점근선 방정식은 $y=\pm\dfrac{3}{4}x$, 즉 $3x\mp 4y=0$.
3단계: 점 $(5,0)$에서 직선 $3x-4y=0$까지의 거리는 $\dfrac{|3\cdot 5 - 4\cdot 0|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{15}{5}=3$.

📖 풀이:
1단계: 표준화 $Z=\dfrac{X-60}{8}$. $X=52$일 때 $Z=-1$, $X=76$일 때 $Z=2$.
2단계: $P(-1\le Z\le 2)=P(-1\le Z\le 0)+P(0\le Z\le 2)=0.3413+0.4772=0.8185$.

📖 풀이:
1단계: 내적의 분배법칙에 의해 $\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}$.
2단계: $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2=9$, $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ=3\cdot 4\cdot\dfrac{1}{2}=6$.
3단계: 합하면 $9+6=15$.

📖 풀이:
1단계: $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=2t^2$이므로 $\sqrt{\Big(\dfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\dfrac{dy}{dt}\Big)^2}=\sqrt{4t^2+4t^4}=2t\sqrt{1+t^2}$ ($t\ge 0$).
2단계: $L=\displaystyle\int_0^{\sqrt{3}} 2t\sqrt{1+t^2}\,dt$. $u=1+t^2$, $du=2t\,dt$로 치환하면 $t=0$일 때 $u=1$, $t=\sqrt{3}$일 때 $u=4$.
3단계: $L=\displaystyle\int_1^4 \sqrt{u}\,du=\Big[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^4=\dfrac{2}{3}(8-1)=\dfrac{14}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 서로 다른 4종류 변수에서 합이 10이 되도록 분배하는 음이 아닌 정수해의 수는 중복조합 $_{4}H_{10}$.
2단계: $_{4}H_{10}={}_{4+10-1}C_{10}={}_{13}C_{10}={}_{13}C_{3}$.
3단계: $_{13}C_{3}=\dfrac{13\cdot 12\cdot 11}{3\cdot 2\cdot 1}=\dfrac{1716}{6}=286$.

📖 풀이:
1단계: 표본평균 $\bar{X}$는 $N\!\Big(50,\,\Big(\dfrac{6}{\sqrt{9}}\Big)^2\Big)=N(50,\,2^2)$을 따른다.
2단계: $Z=\dfrac{\bar{X}-50}{2}$로 표준화. $\bar{X}=48$이면 $Z=-1$, $\bar{X}=53$이면 $Z=1.5$.
3단계: $P(-1\le Z\le 1.5)=P(0\le Z\le 1)+P(0\le Z\le 1.5)=0.3413+0.4332=0.7745$.

📖 풀이:
1단계: $\vec{AB}=(2,2,-2)$, $\vec{AC}=(1,3,1)$.
2단계: 법선벡터 $\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}$. 성분 계산: $(2\cdot 1-(-2)\cdot 3,\;-2\cdot 1-2\cdot 1,\;2\cdot 3-2\cdot 1)=(8,-4,4)$, 즉 $\vec{n}\parallel(2,-1,1)$.
3단계: 점 $A(1,2,3)$을 지나고 법선벡터가 $(2,-1,1)$인 평면: $2(x-1)-(y-2)+(z-3)=0$, 정리하면 $2x-y+z=3$.

📖 풀이:
1단계: $\dfrac{dx}{dt}=e^t\cos t-e^t\sin t=e^t(\cos t-\sin t)$, $\dfrac{dy}{dt}=e^t\sin t+e^t\cos t=e^t(\sin t+\cos t)$.
2단계: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sin t+\cos t}{\cos t-\sin t}$.
3단계: $t=\dfrac{\pi}{2}$일 때 분자 $=1+0=1$, 분모 $=0-1=-1$이므로 기울기는 $\dfrac{1}{-1}=-1$.

📖 풀이:
1단계: $1\le x\le e$에서 $\ln x\ge 0$이므로 $V=\pi\displaystyle\int_1^e (\ln x)^2\,dx$.
2단계: 부분적분을 두 번 사용. 먼저 $u=(\ln x)^2$, $dv=dx$로 두면 $\displaystyle\int (\ln x)^2 dx = x(\ln x)^2 - 2\int \ln x\,dx$. 그리고 $\displaystyle\int \ln x\,dx=x\ln x - x$.
3단계: 따라서 $\displaystyle\int_1^e (\ln x)^2 dx=\Big[x(\ln x)^2-2(x\ln x-x)\Big]_1^e$. $x=e$ 대입: $e\cdot 1 - 2(e-e)=e$. $x=1$ 대입: $0-2(0-1)=2$. 차이는 $e-2$.
4단계: $V=\pi(e-2)$.

📖 풀이:
1단계: 합을 변형하면 $\dfrac{k^2}{n^3}\sqrt{1+\dfrac{k^3}{n^3}}=\dfrac{1}{n}\cdot\Big(\dfrac{k}{n}\Big)^2\sqrt{1+\Big(\dfrac{k}{n}\Big)^3}$.
2단계: $f(x)=x^2\sqrt{1+x^3}$로 두면 구분구적법에 의해 극한은 $\displaystyle\int_0^1 x^2\sqrt{1+x^3}\,dx$.
3단계: $u=1+x^3$, $du=3x^2\,dx$로 치환하면 $x=0$일 때 $u=1$, $x=1$일 때 $u=2$이므로 $\displaystyle\int_1^2 \sqrt{u}\,\dfrac{du}{3}=\dfrac{1}{3}\Big[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^2=\dfrac{2}{9}(2\sqrt{2}-1)$.

📖 풀이:
1단계: 직선 위의 점 $P_0(1,-1,2)$, 방향벡터 $\vec{d}=(2,1,2)$, $|\vec{d}|=3$. 구의 중심은 $O(0,0,0)$, 반지름 $r=3$.
2단계: $\vec{P_0O}=(-1,1,-2)$. 중심에서 직선까지의 거리 $h$는 $h=\dfrac{|\vec{OP_0}\times\vec{d}|}{|\vec{d}|}$. $\vec{OP_0}=(1,-1,2)$이므로 $\vec{OP_0}\times\vec{d}=((-1)\cdot 2-2\cdot 1,\;2\cdot 2-1\cdot 2,\;1\cdot 1-(-1)\cdot 2)=(-4,2,3)$.
3단계: $|\vec{OP_0}\times\vec{d}|=\sqrt{16+4+9}=\sqrt{29}$이므로 $h=\dfrac{\sqrt{29}}{3}$.
4단계: 현의 길이 공식 $|AB|=2\sqrt{r^2-h^2}=2\sqrt{9-\dfrac{29}{9}}=2\sqrt{\dfrac{52}{9}}=\dfrac{4\sqrt{13}}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 합성함수 미분법을 적용하면 $f'(x) = \frac{1}{x^2+1} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{x^2+1}$.
2단계: $x=1$을 대입하면 $f'(1) = \frac{2 \cdot 1}{1^2+1} = \frac{2}{2} = 1$.

📖 풀이:
1단계: $\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$이므로, $\int_1^e \frac{1}{x}dx = [\ln x]_1^e$.
2단계: 대입하면 $\ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$.

📖 풀이:
1단계: 사건 $A$: 짝수 $\{2,4,6\}$, $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
2단계: 사건 $B$: $4$ 이상 $\{4,5,6\}$. $A \cap B = \{4,6\}$, $P(A \cap B)=\frac{2}{6}$.
3단계: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2/6}{3/6} = \frac{2}{3}$.

📖 풀이:
1단계: $\frac{dx}{dt} = -2\sin t,\ \frac{dy}{dt} = 2\cos 2t$.
2단계: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\cos 2t}{-2\sin t} = -\frac{\cos 2t}{\sin t}$.
3단계: $t=\frac{\pi}{4}$에서 $\cos\frac{\pi}{2}=0$이므로 $\frac{dy}{dx} = 0$.

📖 풀이:
1단계: 부분적분에서 $u=x,\ dv=e^x dx$로 두면 $du=dx,\ v=e^x$.
2단계: $\int_0^1 x\,e^x\,dx = [x\,e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$.

📖 풀이:
1단계: $y'=e^x$이므로 $x=0$에서 접선의 기울기는 $e^0=1$.
2단계: 접선의 방정식은 $y-1 = 1 \cdot (x-0)$, 즉 $y = x+1$.
3단계: $x$절편은 $-1$, $y$절편은 $1$이므로 직각삼각형의 두 변의 길이는 각각 $1$.
4단계: 넓이 $= \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.

📖 풀이:
1단계: 교점은 $\sin x = \cos x$에서 $x = \frac{\pi}{4}$.
2단계: $[0, \frac{\pi}{4}]$에서 $\cos x \ge \sin x$, $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$에서 $\sin x \ge \cos x$.
3단계: $\int_0^{\pi/4}(\cos x - \sin x)dx = [\sin x + \cos x]_0^{\pi/4} = \sqrt{2} - 1$.
4단계: $\int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin x - \cos x)dx = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = -1 - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$.
5단계: 합치면 $2(\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2$.

📖 풀이:
1단계: $P(A) = P(B) = \frac{1}{2}$, $P(\text{빨강}|A) = \frac{2}{5}$, $P(\text{빨강}|B) = \frac{4}{5}$.
2단계: 전확률의 법칙: $P(\text{빨강}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
3단계: $P(A|\text{빨강}) = \frac{P(A \cap \text{빨강})}{P(\text{빨강})} = \frac{1/5}{3/5} = \frac{1}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 서로 다른 $4$개의 문자에서 합이 $10$이 되는 음이 아닌 정수해의 수는 중복조합 ${}_4H_{10}$.
2단계: ${}_4H_{10} = {}_{4+10-1}C_{10} = {}_{13}C_{10} = {}_{13}C_3$.
3단계: ${}_{13}C_3 = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1716}{6} = 286$.