📝 고2 수학 심화

📖 풀이:
1단계 (교점): $x^3 - 3x = x$에서 $x^3 - 4x = x(x-2)(x+2) = 0$이므로 $x = -2, 0, 2$.
2단계 (대칭성): $h(x) = (x^3 - 3x) - x = x^3 - 4x$는 홀함수. 따라서 $-2 \le x \le 0$ 영역과 $0 \le x \le 2$ 영역의 넓이가 같다.
3단계 ($0 \le x \le 2$ 영역): 이 구간에서 $h(x) \le 0$ (직선이 곡선보다 위)이므로 넓이는 $\int_0^2 -h(x) \, dx = \int_0^2 (4x - x^3) \, dx$.
4단계 (계산): $\int_0^2 (4x - x^3) \, dx = \left[2x^2 - \dfrac{x^4}{4}\right]_0^2 = 8 - 4 = 4$.
5단계 (총 넓이): 대칭성에 의해 전체 넓이는 $2 \times 4 = 8$.

📖 풀이:
1단계 (제곱 변형): $f(x) \ge 0$이므로 $f(x)^2 = (|\sin x| + |\cos x|)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2|\sin x \cos x| = 1 + |\sin 2x|$.
2단계 ($|\sin 2x|$의 범위): $0 \le |\sin 2x| \le 1$이므로 $1 \le f(x)^2 \le 2$.
3단계 (제곱근): $f(x) \ge 0$이므로 $1 \le f(x) \le \sqrt{2}$.
4단계 (도달 확인): $|\sin 2x| = 1$일 때 ($x = \pi/4$ 등) $f(x) = \sqrt{2}$. $|\sin 2x| = 0$일 때 ($x = 0$ 등) $f(x) = 1$.
5단계 (합): 최댓값 $\sqrt{2}$ + 최솟값 $1 = 1 + \sqrt{2}$.

📖 풀이:
1단계 (켤레식 곱): $\infty - \infty$ 부정형이므로 켤레식으로 유리화. $\dfrac{(\sqrt{n^2+4n} - \sqrt{n^2-2n})(\sqrt{n^2+4n} + \sqrt{n^2-2n})}{\sqrt{n^2+4n} + \sqrt{n^2-2n}}$.
2단계 (분자 계산): 분자는 $(n^2 + 4n) - (n^2 - 2n) = 6n$.
3단계 ($n$으로 나누기): $\dfrac{6n}{\sqrt{n^2+4n} + \sqrt{n^2-2n}} = \dfrac{6}{\sqrt{1 + 4/n} + \sqrt{1 - 2/n}}$.
4단계 (극한): $n \to \infty$일 때 $4/n, 2/n \to 0$이므로 $\dfrac{6}{1 + 1} = 3$.

📖 풀이:
1단계 (단조증가 확인): $f(x) = 2^x - 2^{-x}$에서 $f'(x) = 2^x \ln 2 + 2^{-x} \ln 2 > 0$이므로 단조증가. 따라서 역함수가 존재.
2단계 (방정식 설정): $f(x) = \dfrac{15}{4}$를 만족하는 $x$를 구한다. $2^x - 2^{-x} = \dfrac{15}{4}$.
3단계 (치환): $t = 2^x$ ($t > 0$)으로 두면 $t - \dfrac{1}{t} = \dfrac{15}{4}$, 양변에 $4t$를 곱하면 $4t^2 - 15t - 4 = 0$.
4단계 (이차방정식 풀이): $t = \dfrac{15 \pm \sqrt{225 + 64}}{8} = \dfrac{15 \pm 17}{8}$. $t > 0$이므로 $t = \dfrac{32}{8} = 4$.
5단계 (역지수): $2^x = 4$이므로 $x = 2$. 따라서 $f^{-1}(15/4) = 2$.

📖 풀이:
1단계: $4^x = (2^x)^2$, $5 \cdot 2^{x+1} = 10 \cdot 2^x$로 정리한다. 2단계: $t = 2^x$ ($t>0$)로 치환하면 $t^2 - 10t + 16 = 0$. 근의 공식으로 $t = (10 \pm \sqrt{36})/2 = 8$ 또는 $2$. 3단계: $2^x = 8 \Rightarrow x = 3$, $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$. 모든 실근의 합은 $3 + 1 = 4$.

📖 풀이:
1단계: 배각 공식 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$를 적용해 $2\sin x \cos x - \cos x = 0$, 즉 $\cos x(2\sin x - 1) = 0$로 인수분해한다. 2단계: $\cos x = 0$에서 $x = \pi/2, 3\pi/2$. $\sin x = 1/2$에서 $x = \pi/6, 5\pi/6$. 3단계: 네 해를 모두 더하면 $\pi/6 + \pi/2 + 5\pi/6 + 3\pi/2 = (1 + 3 + 5 + 9)\pi/6 = 18\pi/6 = 3\pi$.

📖 풀이:
1단계: 사인법칙 $a/\sin A = b/\sin B = c/\sin C$에 의해 $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 5 : 6 : 7$. 2단계: 둘레가 $5k + 6k + 7k = 18k = 36$이므로 $k = 2$, 즉 $a = 10, b = 12, c = 14$. 3단계: 헤론 공식에서 $s = 18$, $s - a = 8, s - b = 6, s - c = 4$. 넓이 $= \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{3456} = \sqrt{576 \cdot 6} = 24\sqrt{6}$.

📖 풀이:
1단계: 삼각형 ABD에서 코사인법칙으로 $BD^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cos A = 20 - 16\cos A$. 2단계: 삼각형 BCD에서 $BD^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cos C = 52 - 48\cos C$. 원 내접 사각형이므로 $A + C = \pi$, 따라서 $\cos C = -\cos A$. 3단계: 두 식이 같으므로 $20 - 16\cos A = 52 + 48\cos A$, 정리하면 $\cos A = -1/2$. $BD^2 = 20 - 16(-1/2) = 28$, $BD = 2\sqrt{7}$.

📖 풀이:
1단계: 등비수열에서 $a_1 a_3 = a_2^2$이므로 $a_1 a_2 a_3 = a_2^3 = 8$, 따라서 $a_2 = 2$. 2단계: $a_1 + a_3 = 7 - a_2 = 5$, $a_1 a_3 = a_2^2 = 4$. 두 수는 이차방정식 $t^2 - 5t + 4 = 0$의 두 근이므로 $t = 1$ 또는 $4$. 공비가 1보다 크므로 $a_1 = 1, a_3 = 4$, 공비 $r = 2$. 3단계: $a_5 = a_1 \cdot r^4 = 1 \cdot 16 = 16$.

📖 풀이:
1단계: 양변을 $2^{n+1}$로 나누면 $a_{n+1}/2^{n+1} = (3/2)(a_n/2^n) + 1/2$. $b_n = a_n/2^n$으로 두면 $b_{n+1} = (3/2)b_n + 1/2$. 2단계: $b_{n+1} + 1 = (3/2)(b_n + 1)$ 형태로 변형. $b_1 + 1 = 1/2 + 1 = 3/2$이므로 $b_n + 1 = (3/2)^n$. 따라서 $b_n = (3/2)^n - 1$, 일반항 $a_n = 2^n \cdot b_n = 3^n - 2^n$. 3단계: $a_5 = 3^5 - 2^5 = 243 - 32 = 211$.

📖 풀이:
1단계: $S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n$, 양변에 2를 곱한 $2S_n = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^{n+1}$. 2단계: $S_n - 2S_n = (2 + 2^2 + \cdots + 2^n) - n \cdot 2^{n+1} = (2^{n+1} - 2) - n \cdot 2^{n+1}$, 따라서 $S_n = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2$. 3단계: $n = 5$ 대입 시 $S_5 = 4 \cdot 64 + 2 = 256 + 2 = 258$. 검산: $2 + 8 + 24 + 64 + 160 = 258$.

📖 풀이:
1단계: $\infty - \infty$ 부정형이므로 분자에 켤레식을 곱해 유리화한다. 식을 $\dfrac{(x^2+6x+1) - (x^2+2x+3)}{\sqrt{x^2+6x+1} + \sqrt{x^2+2x+3}} = \dfrac{4x - 2}{\sqrt{x^2+6x+1} + \sqrt{x^2+2x+3}}$로 변형. 2단계: 분자·분모를 $x$로 나누면 분자는 $4 - 2/x$, 분모는 $\sqrt{1 + 6/x + 1/x^2} + \sqrt{1 + 2/x + 3/x^2}$. 3단계: $x \to \infty$에서 분자는 $4$, 분모는 $1 + 1 = 2$로 수렴. 극한값은 $4/2 = 2$.

📖 풀이:
1단계: 분모가 0이 되므로 분자도 0으로 수렴해야 한다. $f(1) = 3, g(1) = -1$이고 $f(1)g(1) = -3$. 따라서 $f(x)g(x) + 3 = f(x)g(x) - f(1)g(1)$. 2단계: 항을 더하고 빼서 분리하면 $f(x)g(x) - f(1)g(1) = [f(x) - f(1)]g(x) + f(1)[g(x) - g(1)] = [f(x) - 3]g(x) + 3[g(x) + 1]$. 3단계: 식 전체를 $(x-1)$로 나누면 $\dfrac{f(x)-3}{x-1} \cdot g(x) + 3 \cdot \dfrac{g(x)+1}{x-1}$. 극한값은 $4 \cdot g(1) + 3 \cdot (-2) = 4 \cdot (-1) - 6 = -10$.

📖 풀이:
1단계: $\log_a b = t$로 놓으면 $\log_b a = \dfrac{1}{t}$이므로 $t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{10}{3}$. 양변에 $3t$를 곱해 정리하면 $3t^2 - 10t + 3 = 0$, 즉 $(3t-1)(t-3)=0$이므로 $t = 3$ 또는 $t = \dfrac{1}{3}$.

2단계: $1<a<b$이면 $\log_a b > 1$이므로 $t = 3$, 곧 $b = a^3$.

3단계: $ab = a \cdot a^3 = a^4 = 81$이므로 $a = 3$, $b = 27$. 따라서 $b - a = 24$ ... 하지만 보기 검증: 다시 보니 $a^4=81$에서 $a=3$이 맞으므로 $b-a=24$. 다만 조건 재확인을 위해 $\log_3 27=3$, $\log_{27}3=\dfrac{1}{3}$, 합 $\dfrac{10}{3}$, 곱 $81$ 모두 성립. 정답은 $24$. (검산 결과 ①이 정답으로 정정)

📖 풀이:
1단계: $f(x) = |\log_2 x - 1|$이므로 $\log_2 x = 1$, 즉 $x = 2$에서 최솟값 $0$을 갖는 V자형 그래프이다. $0<k<1$이면 직선 $y=k$와 두 점에서 만나고 $\alpha < 2 < \beta$이다.

2단계: $0<x<2$인 왼쪽 가지에서는 $f(x)=1-\log_2 x$이므로 $1 - \log_2 \alpha = k$, 즉 $\log_2 \alpha = 1-k$에서 $\alpha = 2^{1-k}$이다. $x>2$인 오른쪽 가지에서는 $f(x)=\log_2 x-1$이므로 $\log_2 \beta - 1 = k$에서 $\beta = 2^{1+k}$이다.

3단계: $\beta - 2\alpha = 0$, 즉 $\beta = 2\alpha$이면 $2^{1+k} = 2\cdot 2^{1-k} = 2^{2-k}$이다. 밑이 같으므로 지수를 비교하면 $1+k = 2-k$, 즉 $2k=1$에서 $k = \dfrac{1}{2}$이다. 이는 $0<k<1$을 만족하므로 정답은 ①이다.

📖 풀이:
1단계: 반각공식 $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$를 대입하면 $1 - \cos 2x + \sqrt{3}\sin 2x = 3$, 즉 $\sqrt{3}\sin 2x - \cos 2x = 2$.

2단계: 좌변을 합성하면 $\sqrt{3}\sin 2x - \cos 2x = 2\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin 2x - \dfrac{1}{2}\cos 2x\right) = 2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right)$. 따라서 $\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = 1$.

3단계: $2x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$이므로 $x = \dfrac{\pi}{3} + n\pi$. $0 \le x < 2\pi$에서 $n=0,1$이므로 $x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}$. 합은 $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}$.

(정답 재확인: 합은 $\dfrac{5\pi}{3}$이므로 ②)

📖 풀이:
1단계: 외접원 반지름 $R=1$이므로 사인법칙에 의해 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R = 2$, $a = BC = 2\sin\dfrac{\pi}{3} = \sqrt 3$.

2단계: 다른 두 각을 $B, C$라 하면 $B + C = \dfrac{2\pi}{3}$. 사인법칙에 의해 $b = 2\sin B$, $c = 2\sin C$. 따라서 $b+c = 2(\sin B + \sin C) = 2 \cdot 2\sin\dfrac{B+C}{2}\cos\dfrac{B-C}{2} = 4\sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{B-C}{2} = 2\sqrt 3 \cos\dfrac{B-C}{2}$.

3단계: $\cos\dfrac{B-C}{2}$의 최댓값은 $B=C$일 때 $1$이므로 $b+c$의 최댓값은 $2\sqrt 3$. 이때 삼각형 $ABC$는 정삼각형이다.

📖 풀이:
1단계: 안쪽 합 $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(2i-1) = 2\cdot\dfrac{k(k+1)}{2} - k = k^2$ (홀수의 합 공식).

2단계: 따라서 원래 식은 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 285$.

3단계: $n(n+1)(2n+1) = 1710$. $n=9$를 대입하면 $9 \cdot 10 \cdot 19 = 1710$이므로 성립. 따라서 $n = 9$.

📖 풀이:
1단계: 비제차 점화식 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$의 양변을 $3^{n+1}$로 나누면 $\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a_n}{3^n} + \dfrac{1}{3}$. $b_n = \dfrac{a_n}{3^n}$으로 놓으면 $b_{n+1} = \dfrac{2}{3}b_n + \dfrac{1}{3}$.

2단계: 고정점은 $b^* = \dfrac{2}{3}b^* + \dfrac{1}{3} \Rightarrow b^* = 1$. 따라서 $b_{n+1} - 1 = \dfrac{2}{3}(b_n - 1)$. $b_1 = \dfrac{1}{3}$이므로 $b_n - 1 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\left(\dfrac{1}{3}-1\right) = -\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} = -\left(\dfrac{2}{3}\right)^n \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2}$. 정리하면 $b_n = 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\cdot\dfrac{2}{3}$.

3단계: 즉 $a_n = 3^n - 2 \cdot 3 \cdot 2^{n-1}/...$ 직접 계산이 더 빠름. $a_1=1, a_2=2\cdot 1+3=5, a_3=2\cdot 5+9=19, a_4=2\cdot 19+27=65, a_5=2\cdot 65+81=211$.

📖 풀이:
1단계: $f$가 $x=2$에서 연속이려면 $\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)$가 유한해야 하므로 분자 $x^2+ax+b$가 $x=2$를 근으로 가져야 한다. 즉 분자는 $(x-2)$를 인수로 갖는다.

2단계: 또한 $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{f(x)}{x-2}=\lim_{x\to2}\dfrac{x^2+ax+b}{(x-2)^2}$가 유한하려면 분자가 $(x-2)^2$을 인수로 가져야 한다. 분자는 최고차항이 $x^2$인 이차식이므로 $x^2+ax+b=(x-2)^2=x^2-4x+4$, 따라서 $a=-4,\ b=4$이다.

3단계: 이때 $x\ne2$에서 $f(x)=\dfrac{(x-2)^2}{x-2}=x-2$이고, 연속이므로 $c=f(2)=\displaystyle\lim_{x\to2}(x-2)=0$이다. 실제로 $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{f(x)}{x-2}=\lim_{x\to2}\dfrac{x-2}{x-2}=1$로 주어진 조건과 일치한다.

따라서 $a+b+c=-4+4+0=0$이므로 정답은 ②이다.

📖 풀이:
1단계: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1)$. 극대점 $x=-1$에서 $f(-1) = -1-3+9+k = 5+k$, 극소점 $x=3$에서 $f(3) = 27-27-27+k = -27+k$.

2단계: $f(x)=0$이 서로 다른 세 실근을 가지려면 (극댓값)>0>(극솟값), 즉 $5+k > 0 > -27+k$. 정리하면 $-5 < k < 27$.

3단계: 이 범위의 정수는 $-4, -3, \ldots, 26$이며 개수는 $26 - (-4) + 1 = 31$개.

📖 풀이:
1단계: $\displaystyle\int_0^1 (x+t)f(t)\,dt = x\int_0^1 f(t)\,dt + \int_0^1 t f(t)\,dt$. $A = \int_0^1 f(t)\,dt$, $B = \int_0^1 t f(t)\,dt$로 두면 $f(x) = x^2 + Ax + B$.

2단계: $A = \int_0^1(t^2+At+B)\,dt = \dfrac{1}{3} + \dfrac{A}{2} + B$에서 $\dfrac{A}{2} - B = \dfrac{1}{3}$ ... (1). $B = \int_0^1 t(t^2+At+B)\,dt = \dfrac{1}{4} + \dfrac{A}{3} + \dfrac{B}{2}$에서 $\dfrac{B}{2} - \dfrac{A}{3} = \dfrac{1}{4}$ ... (2).

3단계: (1)에서 $B = \dfrac{A}{2} - \dfrac{1}{3}$을 (2)에 대입하면 $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{A}{2}-\dfrac{1}{3}\right) - \dfrac{A}{3} = \dfrac{1}{4}$, 즉 $\dfrac{A}{4} - \dfrac{1}{6} - \dfrac{A}{3} = \dfrac{1}{4}$, $-\dfrac{A}{12} = \dfrac{5}{12}$이므로 $A = -5$. 따라서 $B = -\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{3} = -\dfrac{17}{6}$.

4단계: $f(x) = x^2 - 5x - \dfrac{17}{6}$이므로 $f(1) = 1 - 5 - \dfrac{17}{6} = -\dfrac{41}{6}$. (검산: $\int_0^1 f = -5 = A$, $\int_0^1 t f = -\dfrac{17}{6} = B$ 모두 일치.)