📝 고2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: $t = \log_a b$로 놓으면 $a < b$, $a > 1$에서 $t > 1$이다. 조건 $t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{2}$를 정리하면 $2t^{2} - 5t + 2 = 0$, $(2t - 1)(t - 2) = 0$. $t > 1$이므로 $t = 2$.
2단계: $\log_a b = 2$이므로 $b = a^{2}$.
3단계: 조건 $a^{b} = b^{a}$에 대입하면 $a^{a^{2}} = (a^{2})^{a} = a^{2a}$. 밑이 같으므로 지수를 비교하면 $a^{2} = 2a$, $a(a - 2) = 0$. $a > 1$에서 $a = 2$.
4단계: $b = a^{2} = 4$이므로 $a + b = 6$.

📖 풀이:
1단계: $t = \sin\theta + \cos\theta$로 두면 $t = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$이므로 $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$. 또한 $t^{2} = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$이므로 $\sin\theta\cos\theta = \dfrac{t^{2} - 1}{2}$.
2단계: 인수분해 항등식 $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$를 사용하면 $\sin^{3}\theta + \cos^{3}\theta = t \cdot (1 - \sin\theta\cos\theta) = t \cdot \left(1 - \dfrac{t^{2} - 1}{2}\right) = \dfrac{t(3 - t^{2})}{2}$.
3단계: $g(t) = \dfrac{3t - t^{3}}{2}$를 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$에서 분석. $g'(t) = \dfrac{3 - 3t^{2}}{2} = 0$이면 $t = \pm 1$ (구간 내).
4단계: $g(1) = \dfrac{2}{2} = 1$, $g(-1) = -1$, 끝점 $g(\pm\sqrt{2}) = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. 최댓값은 $1$.

📖 풀이:
1단계: 점 $\mathrm{A}$를 중심으로 $\triangle \mathrm{ABC}$를 $60°$ 회전하여 $\mathrm{B} \to \mathrm{C}$로 보낸다. 이때 $\mathrm{P}$의 상을 $\mathrm{P'}$이라 하면 $\overline{\mathrm{AP'}} = \overline{\mathrm{AP}} = 3$이고 $\angle \mathrm{PAP'} = 60°$이므로 $\triangle \mathrm{APP'}$은 정삼각형, 즉 $\overline{\mathrm{PP'}} = 3$.
2단계: 회전 성질에 의해 $\overline{\mathrm{P'C}} = \overline{\mathrm{PB}} = 4$. 삼각형 $\mathrm{PP'C}$에서 $\overline{\mathrm{PP'}} = 3$, $\overline{\mathrm{P'C}} = 4$, $\overline{\mathrm{PC}} = 5$. $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$이므로 $\angle \mathrm{PP'C} = 90°$.
3단계: $\angle \mathrm{AP'C} = \angle \mathrm{AP'P} + \angle \mathrm{PP'C} = 60° + 90° = 150°$.
4단계: 삼각형 $\mathrm{AP'C}$에 코사인법칙 적용. $\overline{\mathrm{AC}}^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 150° = 25 - 24 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 25 + 12\sqrt{3}$. 따라서 변의 길이는 $\sqrt{25 + 12\sqrt{3}}$.

📖 풀이:
1단계: 주어진 등식 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k a_k = n^{2} a_n$을 $n$에 대해 한 번 어긋나게 쓰면 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k a_k = (n-1)^{2} a_{n-1}$ ($n \ge 2$).
2단계: 두 식을 빼면 $n a_n = n^{2} a_n - (n-1)^{2} a_{n-1}$, 즉 $(n^{2} - n) a_n = (n-1)^{2} a_{n-1}$. 양변에서 $(n-1)$을 나누면 $n a_n = (n-1) a_{n-1}$.
3단계: 곱셈 점화식 $\dfrac{a_n}{a_{n-1}} = \dfrac{n-1}{n}$을 누적하면 $a_n = a_1 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \cdots \dfrac{n-1}{n} = \dfrac{1}{n}$ ($n \ge 1$).
4단계: $a_{20} = \dfrac{1}{20}$.

📖 풀이:
1단계: 초기 항부터 직접 계산. $a_1 = 2$, $a_2 = \dfrac{2^{1}}{a_1} = 1$, $a_3 = \dfrac{2^{2}}{a_2} = 4$, $a_4 = \dfrac{2^{3}}{a_3} = 2$, $a_5 = \dfrac{2^{4}}{a_4} = 8$, $a_6 = \dfrac{2^{5}}{a_5} = 4$.
2단계: 짝수 항과 홀수 항을 분리하면 $a_{n+2} = \dfrac{2^{n+1}}{a_{n+1}} = \dfrac{2^{n+1} \cdot a_n}{2^{n}} = 2 a_n$. 즉 두 항씩 건너뛰면 등비수열이고 공비는 $2$.
3단계: 짝수 항: $a_2 = 1$이므로 $a_{2k} = 2^{k-1}$. 홀수 항: $a_1 = 2$이므로 $a_{2k-1} = 2^{k}$.
4단계: $a_{10} = a_{2 \cdot 5} = 2^{5-1} = 16$.

📖 풀이:
1단계: $x = 1$에서 연속이려면 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+a} - b}{x-1} = \dfrac{1}{4}$. 분모가 $0$으로 가므로 분자도 $0$으로 가야 한다: $\sqrt{1 + a} - b = 0$, 즉 $b = \sqrt{1 + a}$, 또는 $a = b^{2} - 1$.
2단계: 분자를 유리화하면 $\dfrac{\sqrt{x+a} - b}{x-1} = \dfrac{x + a - b^{2}}{(x-1)(\sqrt{x+a} + b)}$. $a = b^{2} - 1$을 대입하면 분자는 $x - 1$이 되어 $\dfrac{1}{\sqrt{x+a} + b}$로 약분된다.
3단계: 극한값은 $\dfrac{1}{\sqrt{1+a} + b} = \dfrac{1}{2b} = \dfrac{1}{4}$이므로 $b = 2$.
4단계: $a = b^{2} - 1 = 3$. $a + b = 5$.

📖 풀이:
1단계: $f(x) = x^{3} - 3ax^{2} + 4$로 놓으면 $f'(x) = 3x^{2} - 6ax = 3x(x - 2a)$. $a > 0$이므로 $x \ge 0$ 구간 내부의 극점은 극소점 $x = 2a$ 하나뿐이다.

2단계: $x \ge 0$에서 $f(0) = 4 > 0$이고 $x \to \infty$일 때 $f \to \infty$이며 내부 극소점이 $x = 2a$ 뿐이므로, 이 구간의 최솟값은 $f(2a) = 8a^{3} - 12a^{3} + 4 = -4a^{3} + 4$이다.

3단계: $x \ge 0$에서 항상 $f(x) \ge 0$이려면 $-4a^{3} + 4 \ge 0$, 즉 $a^{3} \le 1$이므로 $a \le 1$.

4단계: 따라서 양수 $a$의 최댓값은 $1$ (②)이다. 이때 $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4 = (x+1)(x-2)^{2} \ge 0$이고 등호는 $x = 2$에서 성립한다.

📖 풀이:
1단계: $4^{x} = (2^{x})^{2}$이므로 $t = 2^{x} > 0$으로 치환하면 $2t^{2} - 9t + 4 = 0$.
2단계: 인수분해하면 $(2t - 1)(t - 4) = 0$이므로 $t = \dfrac{1}{2}$ 또는 $t = 4$. 둘 다 양수.
3단계: 각각 환원. $2^{x} = \dfrac{1}{2}$이면 $x = -1$, $2^{x} = 4$이면 $x = 2$.
4단계: 두 실근의 합은 $-1 + 2 = 1$.

📖 풀이:
1단계: 접점을 $(t, t^{3} - 3t^{2})$로 두면 그 점에서의 접선의 방정식은 $y - (t^{3} - 3t^{2}) = (3t^{2} - 6t)(x - t)$.
2단계: 점 $(0, k)$가 이 접선 위에 있도록 $x = 0$, $y = k$ 대입. $k - (t^{3} - 3t^{2}) = -t(3t^{2} - 6t) = -3t^{3} + 6t^{2}$. 정리하면 $k = -2t^{3} + 3t^{2}$.
3단계: 접선이 세 개라는 것은 방정식 $g(t) = -2t^{3} + 3t^{2} = k$가 서로 다른 세 실근을 가진다는 것. $g'(t) = -6t^{2} + 6t = -6t(t - 1)$이므로 임계점 $t = 0$ (극소), $t = 1$ (극대).
4단계: $g(0) = 0$, $g(1) = -2 + 3 = 1$. 따라서 $g(t) = k$의 세 실근 조건은 $0 < k < 1$.

📖 풀이:
1단계: 위치 $x(t) = \displaystyle\int_{0}^{t} v(s) ds = \dfrac{t^{3}}{3} - 3t^{2}$. 원점 복귀 조건 $x(t) = 0$이면 $t^{2}\left(\dfrac{t}{3} - 3\right) = 0$이므로 $t = 0$ 또는 $t = 9$. 첫 복귀는 $t = 9$.
2단계: 이동 거리는 속도의 절댓값을 적분: $\displaystyle\int_{0}^{9} |v(t)| dt = \int_{0}^{9} |t^{2} - 6t| dt = \int_{0}^{9} |t(t - 6)| dt$.
3단계: 부호 분석. $0 \le t \le 6$에서 $t(t - 6) \le 0$이므로 $|v| = 6t - t^{2}$. $6 \le t \le 9$에서 $|v| = t^{2} - 6t$.
4단계: 첫 적분 $\displaystyle\int_{0}^{6} (6t - t^{2}) dt = [3t^{2} - \dfrac{t^{3}}{3}]_{0}^{6} = 108 - 72 = 36$. 둘째 적분 $\displaystyle\int_{6}^{9} (t^{2} - 6t) dt = [\dfrac{t^{3}}{3} - 3t^{2}]_{6}^{9} = (243 - 243) - (72 - 108) = 0 + 36 = 36$. 합쳐서 $36 + 36 = 72$.

📖 풀이:
[1단계] $f(x)=2^x$와 $g(x)=\log_2 x$는 직선 $y=x$에 대해 대칭이고, 직선 $y=-x+k$는 $y=x$와 수직이다. 따라서 점 $A(p,\,2^p)$이면 그 대칭점 $B(2^p,\,p)$가 곡선 $y=g(x)$ 위의 교점이다.
[2단계] 두 점이 직선 $y=-x+k$ 위에 있으므로 $p+2^p=k$가 성립.
[3단계] $\overline{AB}=\sqrt{(p-2^p)^2+(2^p-p)^2}=\sqrt{2}\,|2^p-p|=2\sqrt{2}$이므로 $|2^p-p|=2$. 곡선의 위치 관계에서 $2^p>p$이므로 $2^p-p=2$.
[4단계] $p=2$일 때 $2^2-2=2$로 성립. 따라서 $k=p+2^p=2+4=6$.

📖 풀이:
[1단계] $\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-\dfrac{(\sin 2x)^2}{2}$로 변형.
[2단계] $2\sin x\cos x=\sin 2x$이므로 $f(x)=1-\dfrac{\sin^2 2x}{2}+\sin 2x$.
[3단계] $t=\sin 2x$ ($-1\le t\le 1$)로 치환하면 $g(t)=-\dfrac{1}{2}t^2+t+1=-\dfrac{1}{2}(t-1)^2+\dfrac{3}{2}$.
[4단계] 정점 $t=1$이 정의역 안에 있으므로 $M=g(1)=\dfrac{3}{2}$, $m=g(-1)=-\dfrac{1}{2}$. 따라서 $M+m=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1$.

📖 풀이:
[1단계] $b_n=a_n^{\,2}$으로 치환하면 $b_{n+1}-b_n=3$, $b_1=a_1^{\,2}=1$. 따라서 $\{b_n\}$은 첫째항 $1$, 공차 $3$인 등차수열.
[2단계] $b_n=1+3(n-1)=3n-2$.
[3단계] $a_n>0$이므로 $a_n=\sqrt{3n-2}$. 따라서 $a_{17}=\sqrt{3\cdot 17-2}=\sqrt{49}=7$.

📖 풀이:
[1단계] 삼각형 $ABD$와 $ACD$의 넓이 합이 삼각형 $ABC$의 넓이와 같음을 이용. $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 3\cdot\sin 120^{\circ}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
[2단계] $\angle BAD=\angle CAD=60^{\circ}$이므로 $S_{ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot AD\cdot\sin 60^{\circ}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}AD$, $S_{ACD}=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot AD\cdot\sin 60^{\circ}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}AD$.
[3단계] $S_{ABD}+S_{ACD}=S_{ABC}$이므로 $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}AD+\dfrac{3\sqrt{3}}{4}AD=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$. 양변을 $\sqrt{3}$으로 나누면 $\dfrac{9}{4}AD=\dfrac{9}{2}$. 따라서 $AD=2$.

📖 풀이:
[1단계] 상용로그를 취하면 $\log N=30\log 2+20\log 3$.
[2단계] $30\log 2=30\times 0.3010=9.030$, $20\log 3=20\times 0.4771=9.542$.
[3단계] $\log N=9.030+9.542=18.572$. 정수부분이 $18$이므로 $N$의 자릿수는 $18+1=19$.

📖 풀이:
[1단계] $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\cdot 2^k$로 두면 $2S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\cdot 2^{k+1}$.
[2단계] $2S_n-S_n=S_n$을 항별로 정리. $S_n=-(2+2^2+\cdots+2^n)+n\cdot 2^{n+1}=-(2^{n+1}-2)+n\cdot 2^{n+1}=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2$.
[3단계] $n=10$ 대입: $S_{10}=9\cdot 2^{11}+2=9\cdot 2048+2=18432+2=18434$.

📖 풀이:
[1단계] $y'=3x^2-4$. $x=1$에서 접선의 기울기는 $3-4=-1$.
[2단계] 점 $A(1,-3)$을 지나는 접선: $y-(-3)=-1\cdot(x-1)$, 즉 $y=-x-2$.
[3단계] 접선과 곡선의 교점: $x^3-4x=-x-2$, 정리하면 $x^3-3x+2=0$. 인수분해: $(x-1)^2(x+2)=0$. $x=1$은 접점(이중근), $x=-2$가 다시 만나는 점.
[4단계] 점 $B$의 $x$좌표는 $-2$.

📖 풀이:
[1단계] $x\to 2$에서 극한이 존재하려면 분자가 $x=2$에서 $0$이어야 하므로 $4+2a+b=0$.
[2단계] $f(0)=\dfrac{b}{-2}=3$이므로 $b=-6$. 1단계 식에 대입하면 $4+2a-6=0$, $a=1$.
[3단계] $\dfrac{x^2+x-6}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}=x+3$ ($x\ne 2$). 연속이려면 $c=\displaystyle\lim_{x\to 2}(x+3)=5$.
[4단계] $a+b+c=1-6+5=0$.

📖 풀이:
[1단계] $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-4x=\dfrac{x(x^2-12)}{3}$. $f(x)=0$의 해는 $x=0,\pm 2\sqrt{3}$.
[2단계] $f(-x)=-f(x)$이므로 $f$는 원점 대칭(홀함수). 두 영역의 넓이는 같다.
[3단계] $0\le x\le 2\sqrt{3}$에서 $f(x)\le 0$이므로 한 영역 넓이는 $\displaystyle\int_0^{2\sqrt 3}\!\left(4x-\dfrac{x^3}{3}\right)dx=\left[2x^2-\dfrac{x^4}{12}\right]_0^{2\sqrt 3}=2\cdot 12-\dfrac{144}{12}=24-12=12$.
[4단계] 두 영역 합 = $2\times 12=24$.

📖 풀이:
[1단계] 고정점 $\alpha$를 구한다: $\alpha=3\alpha-4$에서 $\alpha=2$.
[2단계] $a_{n+1}-2=3(a_n-2)$. $b_n=a_n-2$로 치환하면 $\{b_n\}$은 첫째항 $b_1=5-2=3$, 공비 $3$인 등비수열.
[3단계] $b_n=3\cdot 3^{n-1}=3^n$, 따라서 $a_n=3^n+2=3\cdot 3^{n-1}+2$.
[4단계] $p=3$, $q=2$이므로 $p+q=5$.

📖 풀이:
[1단계] 교점 $A$: $\log_2 x=\log_2(8-x)$이므로 $x=8-x$, $x=4$. $y=\log_2 4=2$. 따라서 $A(4,2)$.
[2단계] $y=1$인 점: 첫 곡선에서 $\log_2 x=1$, $x=2$, 점 $B(2,1)$. 둘째 곡선에서 $\log_2(8-x)=1$, $8-x=2$, $x=6$, 점 $C(6,1)$.
[3단계] $BC$는 $x$축에 평행, 길이 $|6-2|=4$. $A$의 $y$좌표 $2$와 $BC$의 $y$좌표 $1$의 차이가 높이 $1$.
[4단계] $S=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 1=2$.

📖 풀이:
[1단계] $\cos x=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$이므로 $\sin 3x=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$.
[2단계] 사인 같음의 일반해: ($i$) $3x=\dfrac{\pi}{2}-x+2k\pi\;\Rightarrow\;x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}$. ($ii$) $3x=\pi-\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+2k\pi\;\Rightarrow\;x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$.
[3단계] $0\le x<2\pi$ 안의 해: ($i$)에서 $\dfrac{\pi}{8},\dfrac{5\pi}{8},\dfrac{9\pi}{8},\dfrac{13\pi}{8}$ (4개). ($ii$)에서 $\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}$ (2개). 총 6개 해.
[4단계] 합 $=\dfrac{\pi+5\pi+9\pi+13\pi}{8}+\dfrac{\pi+5\pi}{4}=\dfrac{28\pi}{8}+\dfrac{6\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{2}+\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{10\pi}{2}=5\pi$.