📝 고2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: $f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$이므로 $f\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right)$.
2단계: 곱-합 공식 $2\sin A\sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$를 적용하면 $g(x) = 4\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right) = 2\left[\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) - \cos(2x + \pi)\right]$.
3단계: $\cos(-\pi/3) = 1/2$, $\cos(2x + \pi) = -\cos 2x$이므로 $g(x) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2\cos 2x = 1 + 2\cos 2x$. $\cos 2x$의 최댓값 $1$일 때 $g$의 최댓값은 $1 + 2 = 3$.

📖 풀이:
1단계: 점화식 $a_{n+2} - 3a_{n+1} + 2a_n = 0$의 특성방정식은 $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0$이므로 두 근은 $x = 1, 2$.
2단계: 일반해는 $a_n = A \cdot 1^n + B \cdot 2^n = A + B \cdot 2^n$ 꼴. 초기조건 $a_1 = A + 2B = 1$, $a_2 = A + 4B = 3$. 두 식의 차로 $2B = 2$, 즉 $B = 1$, $A = -1$.
3단계: $a_n = 2^n - 1$이므로 $a_{10} = 2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$.

📖 풀이:
1단계: 양수 $N$의 자릿수는 $\lfloor \log_{10} N \rfloor + 1$이므로 $a_n = \lfloor n\log_{10} 5 \rfloor + 1$, $b_n = \lfloor n\log_{10} 2 \rfloor + 1$.
2단계: $\log_{10} 5 + \log_{10} 2 = \log_{10} 10 = 1$이므로 $n\log_{10} 5 + n\log_{10} 2 = n$. 또한 $\log_{10} 2$가 무리수이므로 $n\log_{10} 2$는 정수가 될 수 없고, 마찬가지로 $n\log_{10} 5$도 정수가 아니다.
3단계: 두 비정수 양수의 합이 정수 $n$이면 두 소수부분의 합은 정확히 $1$. 따라서 $\lfloor n\log_{10} 5 \rfloor + \lfloor n\log_{10} 2 \rfloor = n - 1$이고, $a_n + b_n = (n - 1) + 2 = n + 1$.

📖 풀이:
1단계: $t = 2^x$로 치환하면 $t > 0$이고 식은 $t^2 - 2t = k$, 즉 $f(t) = t^2 - 2t = (t-1)^2 - 1$.
2단계: $t = 2^x$는 $\mathbb{R} \to (0, \infty)$로의 일대일 대응이므로 원 방정식의 실근 개수는 $f(t) = k$가 $t > 0$에서 가지는 해의 개수와 같다.
3단계: $f(t)$는 $t = 1$에서 최솟값 $-1$, $t \to 0^+$에서 $f(t) \to 0^-$ 이전에 $f(0) = 0$ (열린점), $t \to \infty$에서 발산. 수평선 $y = k$가 $t > 0$에서 두 점 만나려면 꼭짓점보다 위, $f(0)$의 극한값 $0$보다는 아래여야 한다. 따라서 $-1 < k < 0$.

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1단계: $0 < x < 1$에서 $\sin(\pi x) > 0$이지만 $\log_{10} x < 0$이므로 해 없음. $x = 1$에서 $\sin \pi = 0 = \log 1$로 한 해.
2단계: $x > 1$에서는 $\log_{10} x > 0$이므로 $\sin(\pi x) > 0$인 구간에서만 해가 가능. $\sin(\pi x) > 0$인 구간은 $(2k, 2k+1)$ ($k \ge 1$). $1 < x < 10$에서 해당 구간은 $(2,3), (4,5), (6,7), (8,9)$로 네 개.
3단계: 각 구간에서 $\sin(\pi x)$는 $0 \to 1 \to 0$으로 변하고 $\log_{10} x$는 $1$ 미만으로 거의 일정 (각각 약 $0.3, 0.6, 0.78, 0.9$). 봉우리 최댓값 $1$이 $\log$값보다 항상 크므로 각 구간마다 정확히 두 교점. $x = 10$에서 $\sin(10\pi) = 0 < 1 = \log 10$, $x > 10$에서 $\log_{10} x > 1 \ge \sin$. 따라서 총 $1 + 2 \cdot 4 = 9$개.

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1단계: 밑 변환 공식으로 $\log_{30} 60 = \dfrac{\log_2 60}{\log_2 30}$. 모든 값을 밑 $2$로 통일한다.
2단계: $\log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = ab$. 따라서 $\log_2 60 = \log_2(2^2 \cdot 3 \cdot 5) = 2 + a + ab$.
3단계: $\log_2 30 = \log_2(2 \cdot 3 \cdot 5) = 1 + a + ab$. 따라서 $\log_{30} 60 = \dfrac{2 + a + ab}{1 + a + ab}$.

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1단계: 밑변환 $\log_x 16 = \dfrac{\log_2 16}{\log_2 x} = \dfrac{4}{\log_2 x}$. $t = \log_2 x$ ($x>0, x \neq 1$)로 치환하면 식은 $t + \dfrac{4}{t} = 5$. 2단계: 양변에 $t$ 곱하면 $t^2 - 5t + 4 = 0$, 즉 $(t-1)(t-4)=0$이므로 $t=1$ 또는 $t=4$. 3단계: $\log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2$, $\log_2 x = 4 \Rightarrow x = 16$. 두 실근 모두 정의역 조건을 만족하므로 곱 = $2 \times 16 = 32$.

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1단계: 안쪽 시그마 계산. $\sum_{j=1}^{i}(2j-1) = 1+3+5+\cdots+(2i-1) = i^2$ (홀수의 합 공식). 2단계: 따라서 원래 식 $= \sum_{i=1}^{10} i^2$. 3단계: 자연수의 제곱합 공식 $\sum_{k=1}^{n}k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$에 $n=10$ 대입: $\dfrac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = 385$.

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1단계: $f(x) = x^3 - 3x + 1$, $f'(x) = 3x^2 - 3$. $f'(2) = 9$이므로 접선의 방정식은 $y - 3 = 9(x-2)$, 즉 $y = 9x - 15$. 2단계: 곡선과 접선의 교점 방정식은 $x^3 - 3x + 1 = 9x - 15$, 즉 $x^3 - 12x + 16 = 0$. 3단계: 접점 $x=2$는 중근이어야 한다. 인수분해 $(x-2)^2(x+4) = x^3 - 12x + 16$ (전개하여 검증). 따라서 또 다른 교점은 $x = -4$.

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1단계: 미적분의 기본정리로 $f'(x) = (x-1)(x-3)$. $f'(x)=0 \Rightarrow x=1, 3$. 부호 분석: $x<1$에서 양, $1<x<3$에서 음, $x>3$에서 양. 따라서 $x=1$에서 극대, $x=3$에서 극소. 2단계: 극댓값 $f(1) = \int_0^1 (t^2 - 4t + 3)dt = \left[\dfrac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_0^1 = \dfrac{1}{3} - 2 + 3 = \dfrac{4}{3}$. 3단계: 극솟값 $f(3) = \int_0^3 (t^2 - 4t + 3)dt = \left[\dfrac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_0^3 = 9 - 18 + 9 = 0$. 차 $= \dfrac{4}{3} - 0 = \dfrac{4}{3}$.

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1단계: 원에 내접하는 사각형에서 톨레미 정리 적용: 대각선의 곱 = 마주보는 변끼리 곱한 값들의 합. 즉 $\overline{AC} \cdot \overline{BD} = \overline{AB} \cdot \overline{CD} + \overline{BC} \cdot \overline{DA}$. 2단계: 대입: $\overline{AC} \cdot \overline{BD} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8$. 3단계: (검증) $\angle A + \angle C = 180^\circ$이므로 $\cos C = -\cos A$. $\triangle ABD$와 $\triangle CBD$에서 코사인 법칙을 $BD^2$에 적용해 두 식을 같게 하면 $\cos A = -\dfrac{1}{2}$, $\overline{BD} = \sqrt{7}$. 마찬가지로 $\overline{AC} = \dfrac{8}{\sqrt{7}}$. 곱 $= \sqrt{7} \cdot \dfrac{8}{\sqrt{7}} = 8$.

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1단계: 분수꼴 점화식이므로 양변의 역수를 취한다. $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1 + 2a_n}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 2$. 2단계: $b_n = \dfrac{1}{a_n}$이라 두면 $b_{n+1} = b_n + 2$, $b_1 = \dfrac{1}{a_1} = 1$. 따라서 $\{b_n\}$은 첫째항 1, 공차 2인 등차수열이고 $b_n = 1 + 2(n-1) = 2n-1$. 3단계: $a_n = \dfrac{1}{2n-1}$. $a_{20} = \dfrac{1}{2 \cdot 20 - 1} = \dfrac{1}{39}$.

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1단계: $x = y = 0$ 대입 시 $f(0) = 2f(0)$, 즉 $f(0) = 0$. 2단계: 도함수의 정의 $f'(x) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$. 함수방정식에서 $f(x+h) = f(x) + f(h) + 2xh$이므로 $f'(x) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(h) + 2xh}{h} = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(h)}{h} + 2x = 3 + 2x$. 3단계: $f'(x) = 2x + 3$이므로 $f(x) = x^2 + 3x + C$. $f(0) = 0$에서 $C = 0$. 따라서 $f(x) = x^2 + 3x$이고 $f(5) = 25 + 15 = 40$.

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1단계: $k$번째 군에는 $k$개의 항이 있다. 따라서 1군부터 $k$군까지 누적 항의 개수는 $T_k = \dfrac{k(k+1)}{2}$. 2단계: $T_{13} = \dfrac{13 \cdot 14}{2} = 91$, $T_{14} = \dfrac{14 \cdot 15}{2} = 105$이므로 $T_{13} < 100 \leq T_{14}$. 따라서 $a_{100}$은 14번째 군에 속한다. 3단계: 14번째 군은 92번째 항부터 시작한다. $a_{100}$은 14군의 $100 - 91 = 9$번째 항. 14군은 $1, 2, 3, \ldots, 14$이므로 9번째 항은 $9$. 즉 $a_{100} = 9$.

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1단계: 교점은 $x^3 = mx \Rightarrow x(x^2 - m) = 0$, 즉 $x = 0, \pm\sqrt{m}$. 2단계: $y = x^3$과 $y = mx$ 모두 원점 대칭(기함수)이므로 둘러싸인 두 영역 (2-3사분면 사이, 1-4사분면 사이)은 합동. 한쪽 넓이를 두 배 한다. $0 \leq x \leq \sqrt{m}$에서 $mx \geq x^3$이므로 한 영역 넓이 $= \int_0^{\sqrt{m}}(mx - x^3)dx = \left[\dfrac{mx^2}{2} - \dfrac{x^4}{4}\right]_0^{\sqrt{m}} = \dfrac{m^2}{2} - \dfrac{m^2}{4} = \dfrac{m^2}{4}$. 3단계: 두 영역 합 $= 2 \cdot \dfrac{m^2}{4} = \dfrac{m^2}{2}$. 조건 $\dfrac{m^2}{2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow m^2 = 1$, $m > 0$이므로 $m = 1$.

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1단계: $f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x+2)(x-1)$. $f'(x) = 0 \Rightarrow x = -2, 0, 1$. 부호 분석으로 $x=-2$에서 극소, $x=0$에서 극대, $x=1$에서 극소. 2단계: 극값 계산. $f(-2) = 48 - 32 - 48 + k = k - 32$. $f(0) = k$. $f(1) = 3 + 4 - 12 + k = k - 5$. 3단계: 4차함수의 그래프가 $x$축과 서로 다른 네 점에서 만나려면 (극댓값) > 0 > (두 극솟값 모두). 즉 $k > 0$, $k - 32 < 0$, $k - 5 < 0$. 가장 강한 제약을 합치면 $0 < k < 5$.

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1단계: 일반항 도출. $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1} - a_k) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1}2(k+1) = 2 + 2 \cdot \sum_{k=2}^{n}k = 2 + 2\left(\dfrac{n(n+1)}{2} - 1\right) = n(n+1)$. 검증: $a_1 = 1 \cdot 2 = 2$ ✓, $a_2 = 2 \cdot 3 = 6 = 2 + 4$ ✓. 2단계: 부분분수 분해. $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$. 3단계: 망원합(telescoping). $\sum_{n=1}^{99}\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\right) = \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{100}\right) = 1 - \dfrac{1}{100} = \dfrac{99}{100}$.

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1단계: $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin^2 2x$. 2단계: 반각공식 $\sin^2 2x = \dfrac{1 - \cos 4x}{2}$ 대입: $1 - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1 - \cos 4x}{2} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{\cos 4x}{4}$. 따라서 방정식은 $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\cos 4x}{4} = \dfrac{5}{8} \Rightarrow \cos 4x = -\dfrac{1}{2}$. 3단계: $0 \leq x \leq 2\pi$이면 $4x \in [0, 8\pi]$. 한 주기 $2\pi$ 안에서 $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$의 해는 2개($\theta = \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}$). $8\pi$는 4주기이므로 해는 $4 \times 2 = 8$개. 끝점 $4x = 0, 8\pi$에서 $\cos = 1 \neq -\dfrac{1}{2}$이므로 끝점 중복 없음.

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1단계 (진수 조건): 두 로그가 정의되려면 $x-1 > 0$이고 $x+3 > 0$이어야 하므로 $x > 1$이다.
2단계 (로그 정리): $\log_2(x-1)(x+3) \le \log_2 32$에서 $(x-1)(x+3) \le 32$.
3단계 (이차부등식): $x^2 + 2x - 35 \le 0$, $(x+7)(x-5) \le 0$이므로 $-7 \le x \le 5$.
4단계 (교집합): 진수 조건과 합치면 $1 < x \le 5$. 정수 해는 2, 3, 4, 5의 4개.

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1단계 (치환): $t = \sin x$로 두면 $g(t) = t^2 - t = k$ ($-1 \le t \le 1$)에서 $t$값을 찾고, 각 $t$에 대해 $\sin x = t$의 해 $x$의 개수를 세어 합산한다.
2단계 ($t$의 분석): $g(t)$는 $t = 1/2$에서 최솟값 $-1/4$, 끝점에서 $g(-1) = 2$, $g(1) = 0$. $-1/4 < k < 0$이면 $t_1 \in (0, 1/2)$, $t_2 \in (1/2, 1)$의 두 해, $k = 0$이면 $t = 0, 1$의 두 해.
3단계 ($x$의 개수): $\sin x = t$의 해 개수($0 \le x \le 2\pi$)는 $t = \pm 1$이면 1개, $t \in (0, 1)$이면 2개, $t = 0$이면 3개($0, \pi, 2\pi$).
4단계 (합산): $-1/4 < k < 0$: $2 + 2 = 4$개. $k = 0$: $3 + 1 = 4$개. $k = -1/4$: $t = 1/2$만 → $x$ 2개. $k > 0$: $t$값 1개만 → $x$ 2개. 따라서 $-1/4 < k \le 0$.

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1단계 (켤레식 유리화): $\sqrt{x^2+3} - 2 = \dfrac{(x^2+3) - 4}{\sqrt{x^2+3}+2} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x^2+3}+2}$.
2단계 (분리): 주어진 식은 $\lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x+1)}{(\sqrt{x^2+3}+2)(x-1)} \cdot f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+3}+2} \cdot f(x)$.
3단계 ($x \to 1$ 대입): $f$가 연속이므로 $\dfrac{1+1}{\sqrt{4}+2} \cdot f(1) = \dfrac{2}{4} f(1) = \dfrac{1}{2} f(1)$.
4단계 (방정식 풀이): $\dfrac{1}{2} f(1) = 6$이므로 $f(1) = 12$.

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1단계 (회전 변환): 점 $B$를 중심으로 60° 회전하여 점 $A$를 점 $C$로 보내는 회전 $R$을 생각한다. $R(P) = P'$이라 하면 거리가 보존되어 $\overline{P'C} = \overline{PA} = 3$.
2단계 ($\triangle BPP'$ 정삼각형): $\overline{BP} = \overline{BP'} = 4$, $\angle PBP' = 60°$이므로 $\triangle BPP'$는 한 변 4인 정삼각형. 따라서 $\overline{PP'} = 4$.
3단계 (직각 발견): $\triangle PP'C$의 세 변은 $\overline{PP'} = 4$, $\overline{P'C} = 3$, $\overline{PC} = 5$. $3^2 + 4^2 = 5^2$이므로 $\angle PP'C = 90°$.
4단계 ($a$ 계산): $\angle BP'C = \angle BP'P + \angle PP'C = 60° + 90° = 150°$. $\triangle BP'C$에서 $a^2 = \overline{BP'}^2 + \overline{P'C}^2 - 2 \cdot \overline{BP'} \cdot \overline{P'C} \cos 150° = 16 + 9 + 12\sqrt{3} = 25 + 12\sqrt{3}$.