📝 고2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: $\sin 3x - \sin x = 0$으로 옮기고 합차 공식 $\sin A - \sin B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}$를 적용하면 $2\cos 2x \sin x = 0$.
2단계: $\sin x = 0$인 경우 $0 \leq x < 2\pi$에서 $x = 0, \pi$ (2개).
3단계: $\cos 2x = 0$인 경우 $2x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$, 즉 $x = \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}$ (4개).
4단계: 중복이 없으므로 총 $2 + 4 = 6$개.

📖 풀이:
1단계: 정삼각형의 한 각은 $60°$이고 외접원의 반지름을 $R$이라 하면 사인법칙에서 $\dfrac{a}{\sin 60°} = 2R$.
2단계: $R = 2$, $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$를 대입하면 $a = 2R \sin 60° = 2 \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.
3단계: 정삼각형의 넓이 공식 $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$에 대입하면 $S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12 = 3\sqrt{3}$.

📖 풀이:
1단계: 제$n$군까지의 항의 총 개수는 $T_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
2단계: $T_{13} = \dfrac{13 \cdot 14}{2} = 91$, $T_{14} = \dfrac{14 \cdot 15}{2} = 105$이므로 $91 < 100 \leq 105$.
3단계: 따라서 제100항은 제14군에 속하고, 제14군 안에서 $100 - 91 = 9$번째 항이다.
4단계: 제14군은 $1, 2, 3, \ldots, 14$이므로 9번째 항은 $9$.

📖 풀이:
1단계: 주어진 점화식의 양변을 $2^{n+1}$로 나누면 $\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \dfrac{a_n}{2^n} + \dfrac{1}{2}$.
2단계: $b_n = \dfrac{a_n}{2^n}$으로 놓으면 $\{b_n\}$은 공차가 $\dfrac{1}{2}$인 등차수열이며 $b_1 = \dfrac{a_1}{2} = \dfrac{1}{2}$.
3단계: $b_n = \dfrac{1}{2} + (n-1) \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{n}{2}$, 따라서 $a_n = n \cdot 2^{n-1}$.
4단계: $a_{10} = 10 \cdot 2^9 = 10 \cdot 512 = 5120$.

📖 풀이:
1단계: 중간값 정리에 의해 연속함수 $f$가 두 점에서 부호가 다르면 그 사이에 반드시 $f(x)=0$이 되는 점이 존재한다.
2단계: $(0,1)$: $f(0)=-2 < 0$, $f(1)=3 > 0$이므로 실근 최소 1개.
3단계: $(1,2)$: $f(1)=3 > 0$, $f(2)=-1 < 0$이므로 실근 최소 1개.
4단계: $(2,3)$: $f(2)=-1 < 0$, $f(3)=4 > 0$이므로 실근 최소 1개.
5단계: $(3,4)$: $f(3)=4 > 0$, $f(4)=-5 < 0$이므로 실근 최소 1개. 총 최소 $4$개.

📖 풀이:
1단계: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$이므로 $f$는 $x = 1$에서 극대, $x = 3$에서 극소.
2단계: 극댓값 $f(1) = 1 - 6 + 9 = 4$, 극솟값 $f(3) = 27 - 54 + 27 = 0$.
3단계: 직선 $y = k$가 $y = f(x)$의 그래프와 서로 다른 세 점에서 만나려면 극솟값과 극댓값 사이, 즉 $0 < k < 4$.
4단계: 이 범위의 정수 $k$는 $1, 2, 3$으로 모두 $3$개.

📖 풀이:
1단계: $v(t) = 3(t-1)(t-3)$이므로 $t = 1, 3$에서 $v = 0$이며, $[0,1]$과 $[3,4]$에서 $v > 0$, $[1,3]$에서 $v < 0$.
2단계: 실제 이동 거리는 $\displaystyle\int_0^4 |v(t)|\,dt$이므로 부호 변화 지점에서 구간을 나누어 계산한다.
3단계: 원시함수 $V(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$를 이용하여 $\displaystyle\int_0^1 v\,dt = V(1) - V(0) = 4$, $\displaystyle\int_1^3 v\,dt = V(3) - V(1) = 0 - 4 = -4$ (절댓값 4), $\displaystyle\int_3^4 v\,dt = V(4) - V(3) = 4 - 0 = 4$.
4단계: 총 이동 거리는 $4 + 4 + 4 = 12$.

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1단계: 첫째항 $a$, 공비 $r$이라 하면 $a + ar = a(1+r) = 6$, $ar^2 + ar^3 = ar^2(1+r) = 24$.
2단계: 두 식을 나누면 $r^2 = 4$이고, 공비가 양수이므로 $r = 2$.
3단계: $a(1+2) = 6$에서 $a = 2$.
4단계: $\displaystyle\sum_{k=1}^{8} a_k = a \cdot \dfrac{r^8 - 1}{r - 1} = 2 \cdot \dfrac{256 - 1}{1} = 2 \cdot 255 = 510$.

📖 풀이:
1단계: 켤레식을 곱하여 유리화하면 $\sqrt{x^2+ax} - \sqrt{x^2+bx} = \dfrac{(x^2+ax) - (x^2+bx)}{\sqrt{x^2+ax} + \sqrt{x^2+bx}} = \dfrac{(a-b)x}{\sqrt{x^2+ax} + \sqrt{x^2+bx}}$.
2단계: 분모와 분자를 $x$로 나누면 $\dfrac{a-b}{\sqrt{1 + a/x} + \sqrt{1 + b/x}}$이고, $x \to \infty$일 때 극한은 $\dfrac{a-b}{2}$.
3단계: 조건에서 $\dfrac{a-b}{2} = 3$, 즉 $a - b = 6$.
4단계: $a + b = 8$, $a - b = 6$을 연립하면 $a = 7$, $b = 1$. 따라서 $a \cdot b = 7$.

📖 풀이:
1단계: 진수 조건. $x^2 - 2x > 0 \Leftrightarrow x(x-2) > 0$ 이므로 $x < 0$ 또는 $x > 2$.
2단계: 부등식 변형. $\log_3(x^2-2x) \le 1 = \log_3 3 \Leftrightarrow x^2 - 2x \le 3 \Leftrightarrow (x-3)(x+1) \le 0 \Leftrightarrow -1 \le x \le 3$.
3단계: 두 조건의 교집합은 $-1 \le x < 0$ 또는 $2 < x \le 3$. 정수해는 $x = -1, 3$의 2개.

📖 풀이:
1단계: 절댓값 분리. $x < 2$이면 $f(x) = 4 - 2^x$, $x > 2$이면 $f(x) = 2^x - 4$.
2단계: $y = k$와의 교점. 좌측: $4 - 2^x = k \Rightarrow 2^x = 4 - k \Rightarrow x_1 = \log_2(4 - k)$. 우측: $2^x - 4 = k \Rightarrow 2^x = 4 + k \Rightarrow x_2 = \log_2(4 + k)$.
3단계: 합 계산. $S(k) = \log_2(4-k) + \log_2(4+k) = \log_2(16 - k^2)$. $S(2) = \log_2 12 = \log_2(4 \cdot 3) = 2 + \log_2 3$.

📖 풀이:
1단계: 배각공식 $\cos(\pi x) = 1 - 2\sin^2(\pi x/2)$를 대입. $t = \sin(\pi x/2)$로 놓으면 $t = 1 - 2t^2$, 즉 $2t^2 + t - 1 = 0$, $(2t-1)(t+1) = 0$.
2단계: 경우 1) $\sin(\pi x/2) = 1/2$. $\pi x/2 = \pi/6 + 2n\pi$ 또는 $5\pi/6 + 2n\pi$, 즉 $x = 1/3 + 4n$ 또는 $5/3 + 4n$. $0 \le x \le 4$에서 $x = 1/3, 5/3$.
3단계: 경우 2) $\sin(\pi x/2) = -1$. $\pi x/2 = 3\pi/2 + 2n\pi$, 즉 $x = 3 + 4n$. $0 \le x \le 4$에서 $x = 3$. 총 $2 + 1 = 3$개.

📖 풀이:
1단계: $\triangle BDC$에서 코사인법칙으로 $\overline{BC}$를 구한다. $\overline{BC}^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos 120^\circ = 9 + 25 - 30 \cdot (-1/2) = 49$. $\overline{BC} = 7$.
2단계: 원에 내접하는 사각형 $ABDC$에서 마주 보는 두 각 $\angle BAC$와 $\angle BDC$의 합은 $180^\circ$. 따라서 $\angle BAC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
3단계: $\triangle ABC$의 외접원이 곧 원 $O$. 사인법칙으로 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin(\angle BAC)} = 2R$. $\dfrac{7}{\sin 60^\circ} = \dfrac{7}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{14}{\sqrt{3}} = 2R$. 따라서 $R = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 시그마를 두 항으로 분리. $\sum_{k=1}^{15}(-1)^{k+1}(3k-1) = 3\sum_{k=1}^{15}(-1)^{k+1}k - \sum_{k=1}^{15}(-1)^{k+1}$.
2단계: 첫째 합 $1 - 2 + 3 - 4 + \cdots + 15$. 두 항씩 묶으면 $(1-2) + (3-4) + \cdots + (13-14) + 15 = -7 + 15 = 8$.
3단계: 둘째 합 $1 - 1 + 1 - \cdots + 1$ (홀수 항 8개, 짝수 항 7개)이므로 $8 - 7 = 1$. 따라서 답은 $3 \cdot 8 - 1 = 23$.

📖 풀이:
1단계: $S_{n+1} - S_n = a_{n+1}$이므로 점화식은 $a_{n+1} = S_n + n$. 같은 식을 한 칸 내려 $a_n = S_{n-1} + (n-1)$ ($n \ge 2$).
2단계: 두 식을 빼면 $a_{n+1} - a_n = (S_n - S_{n-1}) + 1 = a_n + 1$, 즉 $a_{n+1} = 2a_n + 1$. 양변에 1을 더해 $a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$.
3단계: $a_2 + 1 = 3$이므로 $n \ge 2$에서 $a_n + 1 = 3 \cdot 2^{n-2}$, $a_n = 3 \cdot 2^{n-2} - 1$. 따라서 $a_5 = 3 \cdot 2^3 - 1 = 24 - 1 = 23$.

📖 풀이:
1단계: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1)$. $x \ge 0$에서 $f'(x) = 0$의 해는 $x = 3$.
2단계: 부호 분석. $0 \le x < 3$에서 $f'(x) < 0$ (감소), $x > 3$에서 $f'(x) > 0$ (증가). 따라서 $x = 3$이 $x \ge 0$ 영역에서의 극소이자 최소점.
3단계: $f(3) = 27 - 27 - 27 + a = a - 27$. 최솟값 조건 $a - 27 = 0$에서 $a = 27$.

📖 풀이:
1단계: $y = (x-1)(x-3)$이므로 $x = 1, 3$에서 $x$축과 만난다. $0 \le x \le 1$과 $3 \le x \le 4$에서 $y > 0$, $1 \le x \le 3$에서 $y < 0$.
2단계: 영역별 넓이. $\int_0^1 (x^2 - 4x + 3)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x\right]_0^1 = \dfrac{1}{3} - 2 + 3 = \dfrac{4}{3}$.
$\int_1^3 -(x^2 - 4x + 3)\,dx = -\left[\dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x\right]_1^3 = -\left(0 - \dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{4}{3}$.
$\int_3^4 (x^2 - 4x + 3)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x\right]_3^4 = \dfrac{4}{3} - 0 = \dfrac{4}{3}$.
3단계: 세 영역의 합 $\dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = 4$.

📖 풀이:
1단계: 주어진 극한이 유한하고 분모가 0으로 수렴하므로 분자도 0이어야 한다. 따라서 $f(1) = 2$. 또한 $f'(1) = 3$.
2단계: 분모를 $(x^2 - 1)$로 바꾸기 위해 분자·분모에 $(x + 1)$을 곱한다. $\dfrac{f(x^2) - 2}{x - 1} = \dfrac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \cdot (x + 1)$.
3단계: $x \to 1$일 때 $x^2 \to 1$이므로 첫 인수 $\to f'(1) = 3$, 둘째 인수 $\to 2$. 따라서 극한값은 $3 \cdot 2 = 6$.

📖 풀이:
1단계: 사제곱 차이 인수분해. $\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x$.
2단계: $f(x) = 1 - 2\sin^2 x + \sin x$. $t = \sin x$ ($-1 \le t \le 1$)로 치환하면 $g(t) = -2t^2 + t + 1 = -2\left(t - \dfrac{1}{4}\right)^2 + \dfrac{9}{8}$.
3단계: $t = 1/4 \in [-1, 1]$이므로 최댓값은 $\dfrac{9}{8}$.

📖 풀이:
(1) 밑변환 공식으로 밑을 $2$로 통일한다. $\log_{15} 24 = \dfrac{\log_2 24}{\log_2 15}$.
(2) 분자 정리: $\log_2 24 = \log_2(2^3 \cdot 3) = 3 + \log_2 3 = 3 + a$.
(3) 분모 정리: $\log_2 15 = \log_2 3 + \log_2 5$. 여기서 $\log_2 5 = \log_2 3 \cdot \log_3 5 = ab$. 따라서 $\log_2 15 = a + ab = a(1+b)$.
(4) 종합하면 $\log_{15} 24 = \dfrac{3+a}{a(1+b)}$.

📖 풀이:
(1) 부분분수로 분해: $\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right)$.
(2) 망원합 적용: $S_n = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2n+1}\right) = \dfrac{n}{2n+1}$.
(3) $n = 100$ 대입: $S_{100} = \dfrac{100}{201}$.

📖 풀이:
(1) 특성방정식 $t^2 - 5t + 6 = 0$의 해는 $t = 2, 3$이므로 $a_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n$ 꼴이다.
(2) 초기조건을 대입하면 $a_1 = 2A + 3B = 5$, $a_2 = 4A + 9B = 13$.
(3) 첫 식을 $2$배 하면 $4A + 6B = 10$이고, 둘째 식에서 빼면 $3B = 3$, 즉 $B = 1$. 다시 첫 식에 넣으면 $2A + 3 = 5$이므로 $A = 1$.
(4) 따라서 $a_n = 2^n + 3^n$. 검산: $a_3 = 5 \cdot 13 - 6 \cdot 5 = 35 = 8 + 27$로 일치한다. 보기 ②($a_1 = 1$), ④($a_1 = 6$)는 $a_1 \ne 5$이고, ③은 $a_1 = 5$이지만 $a_2 = 12 \ne 13$이므로 모두 제외된다.

📖 풀이:
(1) 가정에 의해 $T_{k+1} = T_k + \dfrac{1}{(k+1)^2} \le \left(2 - \dfrac{1}{k}\right) + \dfrac{1}{(k+1)^2}$.
(2) 목표 부등식 $T_{k+1} \le 2 - \dfrac{1}{k+1}$을 얻으려면 $\dfrac{1}{(k+1)^2} \le \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$이 필요하다.
(3) 우변을 통분하면 $\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1} = \dfrac{1}{k(k+1)}$이고, $\dfrac{1}{(k+1)^2} \le \dfrac{1}{k(k+1)}$은 $k(k+1) \le (k+1)^2$, 즉 $k \le k+1$이므로 항상 성립한다.
(4) 따라서 ①이 귀납 단계를 마무리하는 핵심 부등식이다. ②는 참이지만 목표 방향과 무관한 비교이고, ③은 $(k+1)^2 > k(k+2)$이므로 $\dfrac{1}{(k+1)^2} < \dfrac{1}{k(k+2)}$가 되어 부등호가 거짓이다. ④는 $\dfrac{1}{k(k+1)} - \dfrac{1}{k(k+1)^2} = \dfrac{1}{(k+1)^2}$로 항상 성립하는 참인 항등식이지만, 귀납 단계를 마무리하는 데 필요한 것은 '부등식'이므로 핵심 부등식으로는 ①이 적절하다.

📖 풀이:
(1) $t = \log_2 x$로 치환하면 $t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = 0$.
(2) 인수분해: $(t-1)(t-2)(t-3) = 0$이므로 $t = 1, 2, 3$.
(3) 원래 변수로 환원: $x = 2^1, 2^2, 2^3 = 2, 4, 8$.
(4) 실근의 곱: $2 \cdot 4 \cdot 8 = 2^{1+2+3} = 2^6 = 64$.

📖 풀이:
(1) 교점 A: $2^x = 2^{2-x}$에서 $x = 2-x$이므로 $x=1$, $y=2$. 즉 A$(1, 2)$.
(2) 교점 B: $y=2^x$가 y축과 만나는 점은 $(0, 1)$.
(3) 교점 C: $y=2^{2-x}$가 y축과 만나는 점은 $(0, 2^2) = (0, 4)$.
(4) 삼각형 $ABC$는 밑변 BC가 y축 위에 있으므로 길이 $|4-1| = 3$. A에서 y축까지의 거리(높이)는 $1$. 넓이 $= \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = \dfrac{3}{2}$.