📝 고2 수학 심화

📖 풀이:
(1) $\sin A = \sin B$의 일반해는 $A = B + 2n\pi$ 또는 $A = \pi - B + 2n\pi$.
(2) 경우 1: $3x = x + 2n\pi$ $\Rightarrow$ $x = n\pi$. $[0, \pi]$에서 $x = 0, \pi$.
(3) 경우 2: $3x = \pi - x + 2n\pi$ $\Rightarrow$ $x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{n\pi}{2}$. $[0, \pi]$에서 $x = \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}$.
(4) 모든 해의 합: $0 + \pi + \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{3\pi}{4} = \pi + \pi = 2\pi$.

📖 풀이:
(1) 사인법칙에서 $\dfrac{BC}{\sin A} = 2R$이므로 $BC = 2 \cdot 2 \cdot \sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3}$. 원과 $\angle A$가 정해지므로 $BC$ 길이는 고정.
(2) 삼각형 넓이 = $\dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot h$ ($h$는 $A$에서 $BC$까지의 거리). $BC$가 고정이면 $h$ 최대일 때 넓이 최대.
(3) $A$는 원주 위 큰 원호를 움직이므로 $h$는 $A$가 호의 중점(즉 $AB = AC$)일 때 최대. 이때 삼각형은 이등변이고 $\angle A = 60^{\circ}$이므로 정삼각형.
(4) 정삼각형의 한 변 $= 2\sqrt{3}$이므로 넓이 $= \dfrac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3})^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12 = 3\sqrt{3}$.

📖 풀이:
(1) 수열을 군으로 묶으면 $k$번째 군은 $1, 2, \ldots, k$의 $k$개의 항을 가진다.
(2) 첫 $k$개 군까지의 항 수는 $1 + 2 + \cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$.
(3) $k = 9$일 때 누적 항 수는 $45$, $k = 10$일 때 $55$. 따라서 제 $50$항은 $10$번째 군의 $50 - 45 = 5$번째 항.
(4) $10$번째 군은 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$이므로 $5$번째 항은 $5$.

📖 풀이:
(1) $f'(x) = 3x^2 - 6ax = 3x(x - 2a)$. $a > 0$이므로 극값은 $x = 0$(극대)과 $x = 2a$(극소)에서 발생.
(2) $f(0) = 3a$, $f(2a) = 8a^3 - 12a^3 + 3a = -4a^3 + 3a = a(3 - 4a^2)$.
(3) 두 극값의 곱: $3a \cdot a(3 - 4a^2) = 3a^2(3 - 4a^2) = 9a^2 - 12a^4$.
(4) 조건: $9a^2 - 12a^4 = -3 \Leftrightarrow 4a^4 - 3a^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow (4a^2 + 1)(a^2 - 1) = 0$. $a > 0$이므로 $a = 1$.

📖 풀이:
(1) 교점: $x^2 - 2x = mx$ $\Leftrightarrow$ $x^2 - (m+2)x = 0$ $\Leftrightarrow$ $x = 0$ 또는 $x = m+2$. $m > 0$이므로 두 교점은 $0$과 $m+2$.
(2) 구간에서 직선이 포물선 위에 있으므로 넓이는
$A = \displaystyle\int_{0}^{m+2} \left(mx - (x^2 - 2x)\right) dx = \int_{0}^{m+2} \left((m+2)x - x^2\right) dx$.
(3) $\int_{0}^{\alpha} (\alpha x - x^2)\,dx = \dfrac{\alpha^3}{6}$ 공식(또는 직접 계산)으로 $A = \dfrac{(m+2)^3}{6}$.
(4) $\dfrac{(m+2)^3}{6} = \dfrac{9}{2}$ $\Rightarrow$ $(m+2)^3 = 27$ $\Rightarrow$ $m + 2 = 3$ $\Rightarrow$ $m = 1$.

📖 풀이:
(1) 위치함수 $x(t) = \displaystyle\int_{0}^{t} v(s)\,ds = \int_{0}^{t} (3s^2 - 12s + 9)\,ds = t^3 - 6t^2 + 9t$.
(2) 인수분해: $x(t) = t(t^2 - 6t + 9) = t(t-3)^2$.
(3) $x(t) = 0$의 해: $t = 0$(출발) 또는 $t = 3$(중근). 출발 이후 가장 빠른 복귀 시각은 $t = 3$.
(4) 운동 해석: $v(t) = 3(t-1)(t-3)$이므로 $t \in (1, 3)$에서 속도가 음수 → 점이 뒤로 이동하며 원점까지 되돌아와 $t=3$에서 정지하듯 찍고 다시 전진한다.

📖 풀이:
[1단계] 양변을 $3^{n+1}$로 나눈다. $\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{a_n}{3^n} + \dfrac{1}{3}$. [2단계] $b_n = \dfrac{a_n}{3^n}$으로 치환하면 $b_{n+1} = \dfrac{2}{3}b_n + \dfrac{1}{3}$이고, 양변에서 1을 빼면 $b_{n+1} - 1 = \dfrac{2}{3}(b_n - 1)$. $b_1 = \dfrac{1}{3}$이므로 $b_1 - 1 = -\dfrac{2}{3}$. [3단계] 따라서 $b_n - 1 = -\dfrac{2}{3}\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1} = -\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$이고, $b_n = 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$, $a_n = 3^n - 2^n$. [4단계] $a_5 = 243 - 32 = 211$.

📖 풀이:
[1단계] $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^2} = 1$이므로 $f(x)$는 최고차항 계수가 1인 이차다항식이다. $f(x) = x^2 + ax + b$로 둔다. [2단계] 두 번째 극한이 유한하려면 분모가 0이 되는 $x = 1$에서 분자도 0이어야 하므로 $f(1) = 2$, 즉 $1 + a + b = 2$에서 $a + b = 1$. [3단계] 또한 $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) - f(1)}{x - 1} = f'(1) = 4$이고 $f'(x) = 2x + a$이므로 $2 + a = 4$, $a = 2$, $b = -1$. [4단계] $f(x) = x^2 + 2x - 1$이고 $f(3) = 9 + 6 - 1 = 14$.

📖 풀이:
[1단계] 분자에 켤레식을 곱해 유리화한다. $\dfrac{\sqrt{1+ax} - \sqrt{1-ax}}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{1+ax} + \sqrt{1-ax}}{\sqrt{1+ax} + \sqrt{1-ax}} = \dfrac{(1+ax) - (1-ax)}{x(\sqrt{1+ax} + \sqrt{1-ax})} = \dfrac{2ax}{x(\sqrt{1+ax} + \sqrt{1-ax})}$. [2단계] $x$를 약분하면 $\dfrac{2a}{\sqrt{1+ax} + \sqrt{1-ax}}$. $x \to 0$이면 분모는 $1 + 1 = 2$. [3단계] 극한값 $\dfrac{2a}{2} = a = 6$.

📖 풀이:
[1단계] $\log_5 x = t$로 치환한다. $\log_5 \dfrac{25}{x} = \log_5 25 - \log_5 x = 2 - t$이고, $\dfrac{1}{5} \le x \le 25$에서 $-1 \le t \le 2$. [2단계] $f = t(2 - t) = -t^2 + 2t = -(t - 1)^2 + 1$. 꼭짓점 $t = 1$이 정의역 내부에 있으므로 그 자리에서 최댓값 $1$. [3단계] 끝점 비교: $t = -1$이면 $(-1)(3) = -3$, $t = 2$이면 $(2)(0) = 0$. 따라서 최솟값은 $-3$. [4단계] 합 $= 1 + (-3) = -2$.

📖 풀이:
[1단계] $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$로 통일한다. $2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x - 3 = -2\cos^2 x + 3\cos x - 1 = 0$. [2단계] 부호를 바꾸면 $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$, 인수분해하여 $(2\cos x - 1)(\cos x - 1) = 0$. 따라서 $\cos x = \dfrac{1}{2}$ 또는 $\cos x = 1$. [3단계] $0 \le x < 2\pi$에서 $\cos x = \dfrac{1}{2}$의 해는 $x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}$이고 $\cos x = 1$의 해는 $x = 0$. [4단계] 합 $= 0 + \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{5\pi}{3} = 2\pi$.

📖 풀이:
[1단계] 코사인법칙 $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$, $\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$를 대입한다. $\dfrac{a(b^2 + c^2 - a^2)}{2bc} = \dfrac{b(a^2 + c^2 - b^2)}{2ac}$. [2단계] 양변에 $2abc$를 곱해 정리: $a^2(b^2 + c^2 - a^2) = b^2(a^2 + c^2 - b^2)$. 전개하면 $a^2 c^2 - a^4 = b^2 c^2 - b^4$, 즉 $c^2(a^2 - b^2) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$. [3단계] 인수분해: $(a^2 - b^2)(c^2 - a^2 - b^2) = 0$이므로 $a = b$ 또는 $c^2 = a^2 + b^2$. [4단계] 즉 이등변삼각형($a = b$) 또는 $C$가 직각인 직각삼각형이다.

📖 풀이:
[1단계] 코사인법칙: $BC^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = b^2 + c^2 - bc = 36$. [2단계] 넓이 $S = \dfrac{1}{2} bc \sin A = \dfrac{\sqrt{3}}{4} bc$이므로 $bc$의 최댓값을 구한다. [3단계] 산술-기하 평균 부등식 $b^2 + c^2 \ge 2bc$에서 $36 = b^2 + c^2 - bc \ge 2bc - bc = bc$. 등호는 $b = c$일 때 성립. [4단계] 최댓값 $bc = 36$에서 $S_{\max} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3}$ (삼각형은 정삼각형).

📖 풀이:
[1단계] $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1)$이므로 $x = -1$에서 극대, $x = 3$에서 극소이고 모든 $k$에서 극값을 가진다. [2단계] $f(-1) = -1 - 3 + 9 + k = k + 5$, $f(3) = 27 - 27 - 27 + k = k - 27$. [3단계] 두 극값의 곱이 음수이려면 $(k + 5)(k - 27) < 0$, 즉 $-5 < k < 27$. [4단계] 정수 $k = -4, -3, \ldots, 26$이므로 개수는 $26 - (-4) + 1 = 31$.

📖 풀이:
[1단계] $x = 1$을 대입한다. 좌변은 $\displaystyle\int_1^1 f(t)\,dt = 0$이므로 $0 = 1 + a - 4$, 즉 $a = 3$. [2단계] 양변을 $x$에 대하여 미분하면 좌변은 $f(x)$, 우변은 $3x^2 + 2ax = 3x^2 + 6x$이다. 따라서 $f(x) = 3x^2 + 6x$. [3단계] $f(2) = 12 + 12 = 24$이고 $f(2) + a = 24 + 3 = 27$.

📖 풀이:
[1단계] $y = x(x-1)(x-2)$이므로 교점은 $x = 0, 1, 2$. 부호 검사: $0 < x < 1$에서 $y > 0$ (양·음·음 곱), $1 < x < 2$에서 $y < 0$ (양·양·음 곱). [2단계] 부정적분 $F(x) = \dfrac{x^4}{4} - x^3 + x^2$를 이용한다. $F(1) - F(0) = \dfrac{1}{4} - 1 + 1 = \dfrac{1}{4}$, $F(2) - F(1) = (4 - 8 + 4) - \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{4}$. [3단계] 넓이는 절댓값의 합이므로 $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$.

📖 풀이:
[1단계] 두 시그마를 합쳐 항별 차로 묶는다. $(2k+1)^2 - (2k-1)^2 = [(2k+1) + (2k-1)] \cdot [(2k+1) - (2k-1)] = (4k)(2) = 8k$. [2단계] 따라서 좌변은 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 8k = 8 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} = 4n(n+1)$. [3단계] 방정식 $4n(n+1) = 80$, 즉 $n(n+1) = 20 = 4 \cdot 5$이므로 $n = 4$ (음수해 $n = -5$는 자연수가 아님).

📖 풀이:
1단계) 분수형 점화식의 양변에 역수를 취한다. $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{2a_n+3}{a_n} = 2 + \dfrac{3}{a_n}$.
2단계) $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하면 $b_{n+1} = 3b_n + 2$ 꼴의 선형점화식이 된다. $b_{n+1}+1 = 3(b_n+1)$로 변형하면 $\{b_n+1\}$은 첫째항 $b_1+1=2$, 공비 $3$인 등비수열.
3단계) $b_n + 1 = 2 \cdot 3^{n-1}$이므로 $b_n = 2\cdot 3^{n-1} - 1$. 따라서 $\dfrac{1}{a_5} = b_5 = 2 \cdot 3^4 - 1 = 162 - 1 = 161$.

📖 풀이:
1단계) $y' = 3x^2 - 4x$이므로 $x=1$에서의 접선의 기울기는 $3-4 = -1$. 접선의 방정식은 $y - 2 = -1(x-1)$, 즉 $y = -x + 3$.
2단계) 곡선과 접선의 교점을 구하면 $x^3 - 2x^2 + 3 = -x + 3$, 즉 $x^3 - 2x^2 + x = 0$.
3단계) $x(x-1)^2 = 0$이므로 $x=1$(접점, 중근)과 $x=0$. 다시 만나는 점의 $x$좌표는 $0$이고 $y = -0 + 3 = 3$이므로 $(0,\,3)$.

📖 풀이:
1단계) $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 4ax = 4x(x^2 - 3x + a)$. 4차함수가 극값을 3개 가지려면 $f'(x) = 0$이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.
2단계) 한 근은 $x = 0$이고, 나머지 두 근은 $x^2 - 3x + a = 0$의 해이다. 이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식 $D = 9 - 4a > 0$, 즉 $a < \dfrac{9}{4}$.
3단계) 또한 $x=0$이 이차방정식의 근이 되어 중근이 발생하면 안 되므로 $0^2 - 3\cdot 0 + a \neq 0$, 즉 $a \neq 0$. 따라서 $a < \dfrac{9}{4}$이고 $a \neq 0$.

📖 풀이:
1단계) 두 곡선의 교점은 $2^x = -2^{-x} + k$, 즉 $2^x + 2^{-x} = k$의 실근.
2단계) $g(x) = 2^x + 2^{-x}$로 놓으면 산술-기하 평균 부등식에 의해 $g(x) \geq 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2$이고, 등호는 $2^x = 2^{-x}$ 즉 $x = 0$일 때 성립. 따라서 $g$는 $x=0$에서 최솟값 $2$를 가지며 양쪽으로 단조증가하여 무한대로 발산하는 짝함수.
3단계) 직선 $y = k$가 그래프 $y = g(x)$와 서로 다른 두 점에서 만나려면 $k$가 최솟값보다 커야 한다. 즉 $k > 2$. ($k = 2$이면 한 점, $k < 2$이면 만나지 않음.)

📖 풀이:
1단계) 공통접선을 $y = mx + n$이라 하자. 첫 번째 곡선에 접하려면 $x^2 + 1 = mx + n$, 즉 $x^2 - mx + (1-n) = 0$이 중근. 판별식 $m^2 - 4(1-n) = 0$이므로 $n = 1 - \dfrac{m^2}{4}$.
2단계) 두 번째 곡선에 접하려면 $-x^2 + 4x - 3 = mx + n$, 즉 $x^2 + (m-4)x + (n+3) = 0$이 중근. 판별식 $(m-4)^2 - 4(n+3) = 0$이므로 $n = \dfrac{(m-4)^2}{4} - 3$.
3단계) 두 식을 같게 놓으면 $1 - \dfrac{m^2}{4} = \dfrac{(m-4)^2}{4} - 3$. 양변에 $4$를 곱해 정리하면 $4 - m^2 = m^2 - 8m + 16 - 12$, $2m^2 - 8m = 0$, $2m(m-4) = 0$. 따라서 $m = 0$ 또는 $m = 4$이고, 합은 $0 + 4 = 4$.

📖 풀이:
1단계) $\displaystyle\int_0^1 t f(t)\, dt$는 적분 결과가 $t$를 포함하지 않는 상수이므로 $c$로 놓는다. 그러면 $f(x) = x^3 + c$.
2단계) 정의에 따라 $c$를 직접 계산. $c = \displaystyle\int_0^1 t(t^3 + c)\, dt = \int_0^1 (t^4 + ct)\, dt = \left[\dfrac{t^5}{5} + \dfrac{ct^2}{2}\right]_0^1 = \dfrac{1}{5} + \dfrac{c}{2}$.
3단계) 방정식 $c = \dfrac{1}{5} + \dfrac{c}{2}$를 풀면 $\dfrac{c}{2} = \dfrac{1}{5}$, $c = \dfrac{2}{5}$. 따라서 $f(x) = x^3 + \dfrac{2}{5}$이고 $f(1) = 1 + \dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{5}$.

📖 풀이:
1단계) $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.
2단계) $2\sin x \cos x = \sin 2x$이므로 $\sin^2 x \cos^2 x = \dfrac{\sin^2 2x}{4}$. 따라서 $f(x) = 1 - \dfrac{\sin^2 2x}{2}$.
3단계) $0 \leq \sin^2 2x \leq 1$이므로 $\dfrac{1}{2} \leq f(x) \leq 1$. 최댓값 $M = 1$ ($\sin 2x = 0$일 때), 최솟값 $m = \dfrac{1}{2}$ ($\sin 2x = \pm 1$일 때). 따라서 $M + m = \dfrac{3}{2}$.

📖 풀이:
1단계) 안쪽 합부터 정리한다. 고정된 $i$에 대해 $\displaystyle\sum_{j=i}^{10}(i+j) = \sum_{j=i}^{10} i + \sum_{j=i}^{10} j = i(11-i) + \sum_{j=i}^{10} j$. 안쪽의 $j$합은 $\dfrac{(i+10)(11-i)}{2}$.
2단계) 합치면 $\displaystyle\sum_{j=i}^{10}(i+j) = i(11-i) + \dfrac{(i+10)(11-i)}{2} = (11-i)\left[i + \dfrac{i+10}{2}\right] = (11-i) \cdot \dfrac{3i+10}{2}$.
3단계) 따라서 $\displaystyle\sum_{i=1}^{10} \dfrac{(11-i)(3i+10)}{2} = \dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{10}(110 + 33i - 10i - 3i^2) = \dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{10}(110 + 23i - 3i^2)$. 계산하면 $\dfrac{1}{2}\left[110\cdot 10 + 23 \cdot \dfrac{10\cdot 11}{2} - 3 \cdot \dfrac{10\cdot 11 \cdot 21}{6}\right] = \dfrac{1}{2}[1100 + 1265 - 1155] = \dfrac{1210}{2} = 605$.