📝 고2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: $A(a, 3^a)$가 $y = -x + 6$ 위에 있으므로 $3^a = -a + 6$, 즉 $a + 3^a = 6$. 마찬가지로 $B(b, \log_3 b)$에서 $\log_3 b = -b + 6$, 즉 $b + \log_3 b = 6$. 2단계: $y = 3^x$와 $y = \log_3 x$는 서로 역함수이므로 $y = x$에 대해 대칭. 또 직선 $y = -x + 6$은 $y = x$와 수직이므로 두 교점 $A$와 $B$도 $y = x$에 대해 서로 대칭. 따라서 $(a, 3^a)$의 대칭점 $(3^a, a)$가 $B$와 일치하므로 $b = 3^a$, $\log_3 b = a$. 3단계: 구하는 값 $3^a + \log_3 b = 3^a + a = 6$. (1단계의 $a + 3^a = 6$과 일치)

📖 풀이:
1단계: 부분분수 분해. $\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\right]$ (두 분수의 차이를 통분해 보면 $\frac{(n+2) - n}{n(n+1)(n+2)} = \frac{2}{n(n+1)(n+2)}$이므로 $\frac{1}{2}$ 계수가 나옴). 2단계: 망원합(telescoping). $\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{11 \cdot 12}\right]$. 3단계: 계산. $\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2} - \frac{1}{132}\right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{66 - 1}{132} = \frac{1}{2} \cdot \frac{65}{132} = \frac{65}{264}$.

📖 풀이:
1단계: 계차수열 관계 $a_{n+1} - a_n = n^2 + n$. 일반항은 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(k^2 + k)$ ($n \ge 2$). 2단계: 시그마 공식. $\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$. 합치면 $\frac{(n-1)n[(2n-1) + 3]}{6} = \frac{(n-1)n(2n+2)}{6} = \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$. 3단계: $a_n = 1 + \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$. $a_{10} = 1 + \frac{9 \cdot 10 \cdot 11}{3} = 1 + 330 = 331$.

📖 풀이:
1단계: 정적분 $\int_0^1 t f(t)\,dt$는 적분변수 $t$가 완전히 사라진 상수이므로 이를 $k$로 놓자. 그러면 $f(x) = x^2 + k$ 형태의 이차함수. 2단계: 이 꼴을 다시 정의식에 대입해 $k$를 구한다. $k = \int_0^1 t(t^2 + k)\,dt = \int_0^1 t^3\,dt + k\int_0^1 t\,dt = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}$. 정리하면 $\frac{k}{2} = \frac{1}{4}$, $k = \frac{1}{2}$. 3단계: $f(x) = x^2 + \frac{1}{2}$이므로 $f(2) = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$.

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1단계) $f(2a) = 2^{2a} - 2^{-2a} = (2^a - 2^{-a})(2^a + 2^{-a}) = f(a) \cdot (2^a + 2^{-a})$로 인수분해한다. 2단계) $f(a) = 3$의 양변을 제곱하면 $(2^a - 2^{-a})^2 = 4^a - 2 + 4^{-a} = 9$이므로 $4^a + 4^{-a} = 11$이다. 3단계) $(2^a + 2^{-a})^2 = 4^a + 2 + 4^{-a} = 13$이므로 $2^a + 2^{-a} = \sqrt{13}$ (양수). 4단계) 따라서 $f(2a) = 3 \cdot \sqrt{13} = 3\sqrt{13}$.

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1단계) 두 곡선의 교점: $x^2 - 4x = -x^2 + 2x$에서 $2x^2 - 6x = 0$, $x(x - 3) = 0$이므로 $x = 0, 3$이다. 2단계) 구간 $[0, 3]$에서 $y = -x^2 + 2x$가 위에 있다. 위 곡선에서 아래 곡선을 빼면 $(-x^2 + 2x) - (x^2 - 4x) = -2x^2 + 6x$. 3단계) $\int_0^3 (-2x^2 + 6x)\,dx = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 \right]_0^3 = -18 + 27 = 9$.

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1단계) $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하면 $(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0$, 즉 $-\cos^2 x - \cos x = 0$. 2단계) 좌변을 인수분해: $-\cos x(\cos x + 1) = 0$이므로 $\cos x = 0$ 또는 $\cos x = -1$. 3단계) $\cos x = 0$에서 $x = \pi/2, 3\pi/2$. $\cos x = -1$에서 $x = \pi$. 4단계) 해의 합 $= \pi/2 + 3\pi/2 + \pi = 3\pi$.

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1단계) $t = 2^x + 2^{-x}$로 치환. 산술·기하평균 부등식에 의해 $t \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2$, 등호는 $x = 0$에서 성립. 2단계) $t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = 4^x + 4^{-x} + 2$이므로 $4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$. 3단계) 주어진 식에 대입: $f = (t^2 - 2) - 2t + 3 = t^2 - 2t + 1 = (t - 1)^2$. 4단계) $t \ge 2$에서 $(t-1)^2$은 $t = 2$일 때 최소이고 값은 $(2 - 1)^2 = 1$. 따라서 최솟값은 $1$.

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1단계) 원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 $180°$이므로 $\angle BCD = 180° - 120° = 60°$. 2단계) 삼각형 $ABD$에서 코사인법칙: $\overline{BD}^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120° = 9 + 25 + 15 = 49$. 따라서 $\overline{BD} = 7$. 3단계) 삼각형 $BCD$에서 코사인법칙: $49 = \overline{BC}^2 + 9 - 6 \cdot \overline{BC} \cdot \cos 60° = \overline{BC}^2 - 3\overline{BC} + 9$. 4단계) 정리하면 $\overline{BC}^2 - 3\overline{BC} - 40 = 0$, $(\overline{BC} - 8)(\overline{BC} + 5) = 0$. 양수이므로 $\overline{BC} = 8$.

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1단계) 접선의 기울기가 $-1$이므로 $f'(x) = 3x^2 - 4 = -1$에서 $x^2 = 1$, $x = \pm 1$. $x = 1$에서 절편 $a = -2 < 0$이므로 부적합. $x = -1$에서 $f(-1) = -1 + 4 = 3$이고 접선은 $y - 3 = -(x + 1)$, 즉 $y = -x + 2$이므로 $a = 2$. 2단계) 곡선과 접선의 교점: $x^3 - 4x = -x + 2$, 즉 $x^3 - 3x - 2 = 0$. 인수분해하면 $(x + 1)^2 (x - 2) = 0$이므로 $x = -1$(접점, 중근), $x = 2$. 3단계) 구간 $[-1, 2]$에서 접선 $y = -x + 2$가 곡선 $y = x^3 - 4x$보다 위에 있다. 넓이 $= \int_{-1}^{2} \{(-x + 2) - (x^3 - 4x)\} dx = \int_{-1}^{2} (-x^3 + 3x + 2) dx$. 4단계) $\left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2} = (-4 + 6 + 4) - (-\tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{2} - 2) = 6 - (-\tfrac{3}{4}) = \frac{27}{4}$.

📖 풀이:
1단계) 밑 변환 $\log_4 y = \frac{1}{2}\log_2 y$를 이용해 첫 식을 정리: $\log_2 x + \tfrac{1}{2}\log_2 y = 5$. 양변에 2를 곱하면 $2\log_2 x + \log_2 y = 10$, 즉 $\log_2(x^2 y) = 10$이므로 $x^2 y = 2^{10} = 1024$. 2단계) 같은 방식으로 두 번째 식에서 $\log_2(x y^2) = 8$이므로 $x y^2 = 2^{8} = 256$. 3단계) 두 식을 곱하면 $x^3 y^3 = 1024 \times 256 = 2^{18}$, 즉 $(xy)^3 = 2^{18}$. 4단계) 따라서 $xy = 2^{6} = 64$.

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1단계) $f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3 = 3(x^2 - 2ax + 1)$. 극값 존재 조건은 판별식 $4a^2 - 4 > 0$, 즉 $|a| > 1$. 2단계) 근의 공식으로 극점 $\alpha = a - \sqrt{a^2 - 1}$, $\beta = a + \sqrt{a^2 - 1}$, 거리 $\beta - \alpha = 2\sqrt{a^2 - 1}$. 3단계) 3차 계수 $1$인 3차함수의 극댓값과 극솟값의 차 공식: $\frac{(\beta - \alpha)^3}{2} = \frac{(2\sqrt{a^2 - 1})^3}{2} = 4(a^2 - 1)^{3/2}$. 4단계) $4(a^2 - 1)^{3/2} = 4$에서 $(a^2 - 1)^{3/2} = 1$, 즉 $a^2 - 1 = 1$, $a^2 = 2$. 양수이므로 $a = \sqrt{2}$ (조건 $a > 1$도 만족).

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1단계) 좌표 설정: $A = (0,0,0)$, $B = (2,0,0)$, $C = (1, \sqrt{3}, 0)$. $D$는 밑면 $ABC$ 위로 높이 $h$에 있는 꼭짓점으로 밑면의 중심 $(1, \sqrt{3}/3, 0)$ 위에 위치. $|AD| = 2$에서 $h^2 + 4/3 = 4$이므로 $h = 2\sqrt{6}/3$. 따라서 $D = (1, \sqrt{3}/3, 2\sqrt{6}/3)$. 2단계) $M = (1, 0, 0)$, $\vec{MC} = (0, \sqrt{3}, 0)$, $\vec{MD} = (0, \sqrt{3}/3, 2\sqrt{6}/3)$. 크기: $|\vec{MC}| = \sqrt{3}$, $|\vec{MD}| = \sqrt{1/3 + 24/9} = \sqrt{27/9} = \sqrt{3}$. 3단계) 내적: $\vec{MC} \cdot \vec{MD} = 0 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}/3 + 0 = 1$. 4단계) $\cos(\angle CMD) = \dfrac{\vec{MC} \cdot \vec{MD}}{|\vec{MC}||\vec{MD}|} = \dfrac{1}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}$.

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1단계) 정적분은 상수이므로 $A = \int_0^1 f(t) dt$, $B = \int_{-1}^1 f(t) dt$로 놓으면 $f(x) = 3x^2 - 2Ax + B$. 2단계) $A$의 값을 계산: $A = \int_0^1 (3t^2 - 2At + B) dt = [t^3 - At^2 + Bt]_0^1 = 1 - A + B$. 따라서 $2A = 1 + B$, 즉 $A = \dfrac{1 + B}{2}$. 3단계) $B$의 값을 계산: $\int_{-1}^1 3t^2 dt = 2$, $\int_{-1}^1 (-2At) dt = 0$(홀함수), $\int_{-1}^1 B dt = 2B$. 따라서 $B = 2 + 2B$, 즉 $B = -2$. 4단계) $A = \dfrac{1 - 2}{2} = -\dfrac{1}{2}$. $f(x) = 3x^2 + x - 2$. 따라서 $f(2) = 12 + 2 - 2 = 12$.

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1단계: $t = 2^x$로 치환하면 $t > 0$이고 방정식은 $t^2 - 6t + k = 0$. 원 방정식의 서로 다른 두 실근은 $t$에 대한 서로 다른 두 양의 실근에 대응한다. 2단계: 판별식 $D = 36 - 4k > 0 \Rightarrow k < 9$. 두 근의 합 $= 6 > 0$ (자동 성립). 두 근의 곱 $= k > 0$. 3단계: 세 조건의 공통 범위는 $0 < k < 9$.

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1단계: $y = (\sqrt{2})^x$과 $y = \log_{\sqrt{2}} x$는 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이다. 밑은 $1 < \sqrt{2} < e^{1/e}\,(\approx 1.445)$를 만족하므로 두 곡선은 실제로 서로 다른 두 점에서 만난다. 두 함수를 같은 방향으로 $x$축 방향 $m$만큼 평행이동한 $f$, $g$의 그래프는 직선 $y = x - m$에 대하여 대칭을 이룬다. 2단계: 서로 다른 두 교점은 이 대칭축에 대하여 대칭이므로, 두 교점을 잇는 선분의 중점은 반드시 대칭축 위에 있다. 3단계: 중점 $(5, 3)$을 $y = x - m$에 대입하면 $3 = 5 - m \Rightarrow m = 2$. (실제로 $m = 2$이면 $(\sqrt{2})^u = u$의 해 $u = 2,\,4$로부터 두 교점은 $(4, 2)$, $(6, 4)$이고 그 중점이 정확히 $(5, 3)$이다.)

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1단계: 사인법칙에 의하여 $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$이므로 $a = 3k$, $b = 5k$, $c = 7k$ ($k > 0$)로 둔다. 2단계: 가장 긴 변 $c$에 대응하는 각 $C$의 크기를 코사인법칙으로 구하면 $\cos C = \dfrac{(3k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2 \cdot 3k \cdot 5k} = \dfrac{9 + 25 - 49}{30} = -\dfrac{1}{2}$. 따라서 $C = 120°$, $\sin C = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. 3단계: 넓이 $= \dfrac{1}{2} \cdot 3k \cdot 5k \cdot \sin 120° = \dfrac{15\sqrt{3}}{4} k^2$. 이 값이 $\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$이므로 $k^2 = 1$, $k = 1$. 가장 긴 변의 길이는 $7k = 7$.

📖 풀이:
1단계: $n \ge 2$에서 $a_n = S_n - S_{n-1} = \{n a_n - n(n-1)\} - \{(n-1)a_{n-1} - (n-1)(n-2)\}$. 2단계: 정리하면 $a_n = n a_n - (n-1) a_{n-1} - n(n-1) + (n-1)(n-2)$, 즉 $(n-1) a_n = (n-1) a_{n-1} + 2(n-1)$. 양변을 $n - 1 \ne 0$으로 나누면 $a_n = a_{n-1} + 2$. 3단계: $\{a_n\}$은 $a_1 = 2$, 공차 2인 등차수열이므로 $a_n = 2n$. 따라서 $a_{10} = 20$.

📖 풀이:
1단계: $[x^2]$는 $x^2$가 정수를 지나는 순간 점프한다. $0 \le x < 2$에서 $x^2 \in [0, 4)$이므로 $x^2 = 1, 2, 3$에서 점프, 즉 $x = 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$. 2단계: $[x]$는 $x$가 정수가 될 때 점프하며, 구간 $0 \le x < 2$에서 점프점은 $x = 1$ 하나뿐. 3단계: 두 가우스 함수의 점프가 같은 방향(양의 방향)이므로 합에서 상쇄가 일어나지 않는다. 불연속점의 합집합은 $\{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}\}$으로 3개.

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1단계: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$, $f'(t) = 3t^2 - 12t + 9$. 곡선 위의 접점 $(t, f(t))$에서의 접선이 $P(1, k)$를 지날 조건은 $k = f(t) + f'(t)(1 - t)$. 2단계: 대입·정리하면 $k = (t^3 - 6t^2 + 9t) + (3t^2 - 12t + 9)(1 - t) = -2t^3 + 9t^2 - 12t + 9$. 이를 $g(t)$라 두자. 3단계: $g'(t) = -6t^2 + 18t - 12 = -6(t - 1)(t - 2)$. $g(t)$는 $t = 1$에서 극소 $g(1) = 4$, $t = 2$에서 극대 $g(2) = 5$. 수평선 $y = k$가 $g(t)$ 그래프와 서로 다른 세 점에서 만나는 $k$의 범위는 $4 < k < 5$.

📖 풀이:
1단계: 미적분의 기본정리로 $f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$. 영점은 $x = 1, 3$. 2단계: 부호 분석에서 $x < 1$이면 $f' > 0$, $1 < x < 3$이면 $f' < 0$, $x > 3$이면 $f' > 0$. 따라서 $x = 1$에서 극대, $x = 3$에서 극소. 3단계: $f(1) = \int_0^1 (t^2 - 4t + 3)\, dt = \left[\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}$. $f(3) = \left[\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_0^3 = 9 - 18 + 9 = 0$. 극댓값과 극솟값의 차는 $\frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3}$.

📖 풀이:
1단계: $s = 2^a$, $t = 3^b$으로 놓으면 $st = 6$, $s + t = 5$. 근과 계수의 관계에서 $s, t$는 이차방정식 $u^2 - 5u + 6 = 0$의 두 근이고 $u = 2$ 또는 $u = 3$. 2단계: 경우 1) $2^a = 2, 3^b = 3$이면 $a = 1, b = 1$이므로 $ab = 1$. 경우 2) $2^a = 3, 3^b = 2$이면 $a = \log_2 3, b = \log_3 2$. 3단계: 밑변환으로 $\log_2 3 \cdot \log_3 2 = \log_2 3 \cdot \dfrac{1}{\log_2 3} = 1$. 두 경우 모두 $ab = 1$.

📖 풀이:
1단계: 항등식 $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin^2(2x)$. 2단계: 부등식을 정리하면 $1 - \dfrac{1}{2}\sin^2(2x) \le \dfrac{5}{8}$, 즉 $\sin^2(2x) \ge \dfrac{3}{4}$, 다시 $|\sin(2x)| \ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. 3단계: 한 주기 $\theta \in [0, 2\pi)$에서 $|\sin \theta| \ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}$의 해 길이는 $\dfrac{2\pi}{3}$. $2x \in [0, 4\pi)$는 두 주기이므로 $2x$ 변수에서 해 길이 $\dfrac{4\pi}{3}$, $x$로 환산하면 $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$.