📝 고2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 첫 번째 극한에서 $f(x) - 2x^3$은 $x \to \infty$일 때 $3x^2$에 접근해야 하므로 $f(x)$의 최고차항은 $2x^3$이고 $x^2$ 계수가 $3$. 즉 $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + bx + c$ 꼴. 2단계: 두 번째 극한 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$가 유한히 존재하려면 분자의 상수항 $c = 0$이어야 하고, 이때 극한값은 $b$. 조건에서 $b = 4$. 3단계: $f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 4x$이므로 $f(2) = 16 + 12 + 8 = 36$.

📖 풀이:
1단계: $f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)$에서 극점은 $x = 0, \pm\sqrt{2}$. 4차함수의 양끝이 위로 향하므로 $x = \pm\sqrt{2}$에서 극소, $x = 0$에서 극대. 2단계: $f(0) = k$(극댓값), $f(\pm\sqrt{2}) = 4 - 8 + k = k - 4$(극솟값). 3단계: 서로 다른 네 실근 조건은 '극대 $> 0$ 이고 극소 $< 0$'. 즉 $k > 0$ 그리고 $k - 4 < 0$, 따라서 $0 < k < 4$.

📖 풀이:
1단계: 위치 $x(t) = \int_0^t v(s)\,ds = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t-3)^2$. $x(t) = 0$의 해는 $t = 0$(출발)과 $t = 3$(복귀)이므로 원점을 다시 지나는 시각은 $t = 3$. 2단계: $v(t) = 3(t-1)(t-3)$에서 $0 \le t \le 1$이면 $v \geq 0$, $1 \le t \le 3$이면 $v \leq 0$로 방향이 바뀐다. 3단계: 움직인 거리 $= \int_0^3 |v(t)|\,dt = \int_0^1 v\,dt - \int_1^3 v\,dt = [x(1) - x(0)] - [x(3) - x(1)] = 4 - (-4) = 8$.

📖 풀이:
1단계: 진수 조건 $x - 1 > 0$, $2x + 5 > 0$에서 $x > 1$. 2단계: 밑을 $2$로 통일하면 $\log_4(2x+5) = \frac{1}{2}\log_2(2x+5) = \log_2 \sqrt{2x+5}$. 따라서 부등식은 $\log_2(x-1) < \log_2 \sqrt{2x+5}$, 즉 $x - 1 < \sqrt{2x+5}$. 3단계: 양변 모두 양수($x > 1$)이므로 제곱 가능. $(x-1)^2 < 2x + 5 \Leftrightarrow x^2 - 4x - 4 < 0 \Leftrightarrow 2 - 2\sqrt{2} < x < 2 + 2\sqrt{2}$. 진수조건과 합치면 $1 < x < 2 + 2\sqrt{2} \approx 4.83$. 정수해는 $x = 2, 3, 4$의 3개.

📖 풀이:
1단계: 계차수열 $b_n = a_{n+1} - a_n = 2n$. 2단계: $n \geq 2$일 때 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n^2 - n + 1$. $n=1$에서 $1 - 1 + 1 = 1 = a_1$로 일반항이 모든 $n$에서 유효. 3단계: $\alpha = 1, \beta = -1, \gamma = 1$이므로 $\alpha + \beta + \gamma = 1 - 1 + 1 = 1$.

📖 풀이:
1단계: $T_n = \sum_{k=1}^n k \cdot a_k = n^2(n+1)$로 두면 $n \geq 2$에서 $n \cdot a_n = T_n - T_{n-1} = n^2(n+1) - (n-1)^2 n$. 2단계: 우변을 정리하면 $n \cdot a_n = n[n(n+1) - (n-1)^2] = n[n^2 + n - n^2 + 2n - 1] = n(3n - 1)$. 따라서 $a_n = 3n - 1$. 3단계: $n = 1$ 검산: $T_1 = 1 \cdot a_1 = 1^2 \cdot 2 = 2$에서 $a_1 = 2 = 3(1) - 1$로 일반항이 $n=1$에도 성립. 따라서 $a_{10} = 3 \cdot 10 - 1 = 29$.

📖 풀이:
1단계: $\tan x = \sin 2x$에서 $\dfrac{\sin x}{\cos x} = 2\sin x \cos x$ (단, $\cos x \ne 0$). 양변에 $\cos x$를 곱하면 $\sin x = 2\sin x \cos^2 x$, 즉 $\sin x(1 - 2\cos^2 x) = 0$. 2단계: $\sin x = 0$이면 $x = 0, \pi$ (2개, $\cos x \ne 0$ 만족). 3단계: $\cos^2 x = \dfrac{1}{2}$이면 $\cos x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$이므로 $x = \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}$ (4개). 4단계: $x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}$는 tan 정의역에서 제외. 총 $2+4 = 6$개.

📖 풀이:
1단계: 점화식의 양변을 $3^{n+1}$로 나눈다. $\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \dfrac{a_n}{3^n} + \dfrac{2}{3}$. 2단계: $b_n = \dfrac{a_n}{3^n}$으로 치환하면 $b_{n+1} = b_n + \dfrac{2}{3}$이고 $b_1 = \dfrac{1}{3}$이므로 $\{b_n\}$은 공차 $\dfrac{2}{3}$인 등차수열. 따라서 $b_n = \dfrac{1}{3} + (n-1)\cdot\dfrac{2}{3} = \dfrac{2n-1}{3}$. 3단계: $a_n = 3^n \cdot b_n = (2n-1) \cdot 3^{n-1}$. 4단계: $a_5 = 9 \cdot 3^4 = 9 \cdot 81 = 729$.

📖 풀이:
1단계: 연속함수에서 함숫값의 부호가 바뀌는 구간마다 중간값 정리에 의해 적어도 한 개의 실근이 존재한다. 2단계: 주어진 함숫값의 부호는 차례로 $-, +, -, +, -$이므로 인접한 구간에서 $(0,1), (1,2), (2,3), (3,4)$ 네 구간 모두 부호가 바뀐다. 3단계: 따라서 각 구간마다 $f(x)=0$의 실근이 하나 이상 존재하므로 최소 4개. 4단계: 실제로 4개가 되는 함수 예시(각 구간에서 정확히 한 번만 부호가 바뀌는 함수)가 존재하므로 '최소'는 4이다.

📖 풀이:
1단계: 진수 조건에서 $x-1>0$이고 $x+2>0$이므로 $x>1$. 2단계: 좌변을 합치면 $\log_2\{(x-1)(x+2)\} \le 2$, 즉 $(x-1)(x+2) \le 4$. 3단계: 전개하여 $x^2 + x - 6 \le 0$, 즉 $(x+3)(x-2) \le 0$이므로 $-3 \le x \le 2$. 4단계: 진수 조건 $x>1$과 결합하면 $1 < x \le 2$, 즉 해집합은 $(1, 2]$. 따라서 $a=1, b=2$이므로 $ab=2$.

📖 풀이:
1단계: 부분분수 분해로 $\dfrac{1}{k(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}\right)$. 2단계: 망원합(텔레스코핑)을 적용하면 $S_n = \dfrac{1}{2}\left[\left(1 - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+2}\right)\right] = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}\right)$. 3단계: $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{(2n+3)}{(n+1)(n+2)}\right) = \dfrac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{4(n+1)(n+2)} = \dfrac{3n^2+5n}{4(n+1)(n+2)} = \dfrac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$. 4단계: $n=1$에서 검산: $\dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{1\cdot 3}$. 성립.

📖 풀이:
1단계: 합성하면 $f(x) = 5\sin(x+\alpha)$, 단 $\cos\alpha=\dfrac{3}{5}, \sin\alpha=\dfrac{4}{5}$이므로 $\alpha \in (0, \pi/2)$. 2단계: $f'(x) = 3\cos x - 4\sin x = 0$에서 $\tan x = \dfrac{3}{4}$. 이때 $x \in (0, \pi/2)$이고 $\sin x = \dfrac{3}{5}, \cos x = \dfrac{4}{5}$이므로 $f = \dfrac{9}{5} + \dfrac{16}{5} = 5$. 3단계: 끝점 값 $f(0) = 4$, $f(\pi) = -4$. 구간 전체에서 최댓값 $M = 5$, 최솟값 $m = -4$. 4단계: $M + m = 5 + (-4) = 1$.

📖 풀이:
1단계: 접점을 $(t, t^3 - 3t^2)$, $t > 0$이라 하면 $y' = 3x^2 - 6x$에서 접선의 기울기는 $3t^2 - 6t$. 접선의 방정식은 $y = (3t^2 - 6t)(x-t) + t^3 - 3t^2$. 2단계: $y$절편(x=0 대입)은 $-(3t^2 - 6t)t + t^3 - 3t^2 = -2t^3 + 3t^2$. 3단계: $g(t) = -2t^3 + 3t^2$, $t > 0$. $g'(t) = -6t^2 + 6t = 6t(1-t)$. 따라서 $0 < t < 1$에서 증가, $t > 1$에서 감소. 4단계: $t=1$에서 최대이고 $g(1) = 1$. 접점의 $x$좌표 = $1$.

📖 풀이:
1단계: $(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1$을 이용하여 전개한다. 2단계: $(k+1)^3 + 2(k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2 = k^3 + 3k^2 + 5k + 3$. 3단계: 여기서 $k^3 + 2k$를 빼면 $3k^2 + 3k + 3 = 3(k^2 + k + 1)$. 4단계: 가정에 의해 $k^3 + 2k$가 3의 배수이고, 차이 또한 $3(k^2+k+1)$로 3의 배수이므로 $(k+1)^3 + 2(k+1)$도 3의 배수. 따라서 모든 자연수 $n$에 대해 성립.

📖 풀이:
1단계: 위치함수는 속도의 정적분. $x(t) = \displaystyle\int_0^t (s^2 - 4s + 3)\,ds = \dfrac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t$. 2단계: $x(t) = 0$을 풀면 $\dfrac{t}{3}(t^2 - 6t + 9) = 0$, 즉 $\dfrac{t}{3}(t-3)^2 = 0$. 3단계: $t = 0$ (출발) 또는 $t = 3$ (이중근). 4단계: $t > 0$에서 처음으로 원점으로 되돌아오는 시각은 $t = 3$. 속도는 $v(3) = 9 - 12 + 3 = 0$이어서 속도가 0인 상태로 원점에 도달한다.

📖 풀이:
1단계: 점 $P$가 내부에 있고 세 각이 각각 $120°$이므로 삼각형 $ABC$는 삼각형 $APB$, $BPC$, $CPA$ 세 부분으로 나누어진다. 2단계: 각 부분 삼각형의 넓이는 두 변과 끼인각 공식 $\dfrac{1}{2}ab\sin C$로 구할 수 있다. $\sin 120° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이므로 각각 $\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$, $\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$, $\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$. 3단계: 합하면 $3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} + \dfrac{15\sqrt{3}}{4} = \dfrac{12\sqrt{3} + 20\sqrt{3} + 15\sqrt{3}}{4} = \dfrac{47\sqrt{3}}{4}$. 4단계: 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 $\dfrac{47\sqrt{3}}{4}$.

📖 풀이:
1단계: 두 곡선 $y=2^x$와 $y=\log_2 x$는 $y=x$에 대하여 대칭. 직선 $y=-x+k$는 $y=x$와 수직이므로, 직선 위의 두 점 $A, B$는 $y=x$에 대하여 서로 대칭. 2단계: $A=(a, 2^a)$이면 $B=(2^a, a)$. $A$가 직선 위에 있으면 $2^a = -a + k$, 즉 $k = 2^a + a$. 3단계: $\overline{AB}^2 = (a - 2^a)^2 + (2^a - a)^2 = 2(2^a - a)^2$이므로 $\overline{AB} = \sqrt{2}\,|2^a - a| = 2\sqrt{2}$, 즉 $|2^a - a| = 2$. 4단계: $a > 0$에서 $h(a) = 2^a - a$는 $h(0)=1, h(1)=1, h(2)=2$이고 $a \ge 1$에서 증가하므로 $2^a - a = 2$의 양의 해는 $a=2$. 따라서 $k = 2^2 + 2 = 6$.

📖 풀이:
1단계: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$를 대입하여 방정식을 $2\sin^3 x + 1 - 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$으로 정리하면 $2\sin^3 x - 2\sin^2 x - \sin x = 0$. 2단계: 공통인수 $\sin x$로 묶으면 $\sin x(2\sin^2 x - 2\sin x - 1) = 0$. 3단계: $\sin x = 0$이면 $x = 0, \pi$ (2개). $2\sin^2 x - 2\sin x - 1 = 0$이면 $\sin x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$인데, $\frac{1+\sqrt{3}}{2} \approx 1.37$은 부적합. $\frac{1-\sqrt{3}}{2} \approx -0.37$은 $-1 < \sin x < 0$이므로 3, 4사분면에서 2개 해. 4단계: 총 $2 + 2 = 4$개.

📖 풀이:
1단계: 외접원 반지름 $R=2$와 사인법칙에 의해 $BC = 2R\sin A = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. 2단계: 코사인법칙으로 $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60°$를 적용하면 $12 = AB^2 + AC^2 - 12$, 즉 $AB^2 + AC^2 = 24$. 따라서 $(AB + AC)^2 = 24 + 2 \cdot 12 = 48$, $AB + AC = 4\sqrt{3}$. 3단계: 각이등분선 길이 공식 $AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A/2)}{AB + AC}$에 대입. $AD = \frac{2 \cdot 12 \cdot \cos 30°}{4\sqrt{3}} = \frac{24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 3$.

📖 풀이:
1단계: 배각공식 $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$, $2\sin x \cos x = \sin 2x$를 이용해 $f(x) = 1 - \cos 2x + \sqrt{3}\sin 2x$로 변형. 2단계: 합성. $f(x) = 1 + (\sqrt{3}\sin 2x - \cos 2x) = 1 + 2\sin(2x - \frac{\pi}{6})$. 따라서 $M = 1 + 2 = 3$. 3단계: 최댓값 조건 $\sin(2x - \frac{\pi}{6}) = 1$에서 $2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$, $x = \frac{\pi}{3} + n\pi$. 구간 $[0, 2\pi)$에서 $x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$. 4단계: $S = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$, $3M + S = 9 + \frac{5\pi}{3}$.

📖 풀이:
1단계: 우변을 인수분해. $x^3 - 2x^2 - 4x + 8 = x^2(x-2) - 4(x-2) = (x-2)(x^2 - 4) = (x-2)(x-2)(x+2) = (x-2)^2(x+2)$. 2단계: 좌변 $(x^2-4) = (x-2)(x+2)$. 따라서 $(x-2)(x+2)f(x) = (x-2)^2(x+2)$. $x \neq 2, -2$에서 양변을 $(x-2)(x+2)$로 나누면 $f(x) = x - 2$. 3단계: $f$가 모든 실수에서 연속이므로 $x \to 2$의 극한 $f(2) = 0$, $x \to -2$의 극한 $f(-2) = -4$. 따라서 $f(2) + f(-2) = 0 + (-4) = -4$.

📖 풀이:
1단계: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$이므로 주어진 식을 $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)f(x)}{(x-2)(x+2)}$로 변형. 2단계: $x \neq 2$에서 $(x-2)$를 약분하면 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x+2} = 3$. 3단계: $f$가 $x = 2$에서 연속이므로 극한은 $\frac{f(2)}{2+2} = \frac{f(2)}{4}$이고 이 값이 3이므로 $f(2) = 12$.

📖 풀이:
1단계: $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2)$. 극점은 $x = 0, 1, 2$. 2단계: $f(0) = a$ (극소), $f(1) = 1 - 4 + 4 + a = 1 + a$ (극대), $f(2) = 16 - 32 + 16 + a = a$ (극소). 최고차 계수가 양수인 4차이므로 '극소·극대·극소' 패턴이고 두 극솟값이 동일하게 $a$. 3단계: 서로 다른 네 실근을 가지려면 극댓값 $> 0$이고 극솟값 $< 0$. 즉 $1 + a > 0$이고 $a < 0$. 정리하면 $-1 < a < 0$.