📝 고2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 양변에 $\log_2$를 취하면 $\log_2 x \cdot \log_2 x = \log_2 32 - 4\log_2 x = 5 - 4\log_2 x$.
2단계: $t = \log_2 x$로 치환하면 $t^2 + 4t - 5 = 0$, $(t+5)(t-1) = 0$이므로 $t = -5$ 또는 $t = 1$.
3단계: 따라서 $x = 2^{-5}$ 또는 $x = 2$이고, 두 실근의 곱은 $2^{-5} \cdot 2 = 2^{-4} = \dfrac{1}{16}$.

📖 풀이:
1단계: $b_n = a_n^{\,2}$로 놓으면 $b_{n+1} = b_n + 3$이므로 $\{b_n\}$은 공차 3인 등차수열.
2단계: $b_1 = a_1^{\,2} = 4$이므로 $b_n = 4 + 3(n - 1) = 3n + 1$.
3단계: $b_{20} = 61$이고 $a_n > 0$이므로 $a_{20} = \sqrt{61}$.

📖 풀이:
1단계: $f(x) = x^3 + \dfrac{a}{2}x^2$이고 $f'(x) = 3x^2 + ax = x(3x + a)$. 양수 $a$에 대해 극대점 $x = -\dfrac{a}{3}$, 극소점 $x = 0$.
2단계: 구간 $[-2,\ 1]$에서 후보값은 $f(-2) = 2a - 8$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1 + \dfrac{a}{2}$. (극대점은 구간 내에서 최솟값 후보 아님.)
3단계: $2a - 8 = -4$에서 $a = 2$. 이때 $a = 2 < 4$이므로 $f(-2) = -4$가 $f(0) = 0$보다 작아 실제 최솟값이 되며 조건을 만족한다.

📖 풀이:
1단계: 합의 영역은 $\{(k, j) : 1 \le k \le j \le 10\}$이다. 순서를 바꾸면 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}\sum_{j=k}^{10} j^2 = \sum_{j=1}^{10}\sum_{k=1}^{j} j^2$.
2단계: 안쪽 합에서 $j^2$은 $k$에 대한 상수이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{j} j^2 = j \cdot j^2 = j^3$.
3단계: $\displaystyle\sum_{j=1}^{10} j^3 = \left(\dfrac{10 \cdot 11}{2}\right)^{\!2} = 55^2 = 3025$.

📖 풀이:
1단계: $t = 2^x$로 놓으면 $t > 0$이고 $f(x) = t^2 - 4t = (t - 2)^2 - 4 = g(t)$.
2단계: $g(t)$는 $t = 2$에서 최솟값 $-4$, $t \to 0^+$에서 $g(0) = 0$으로 접근, $t \to \infty$에서 $g \to \infty$.
3단계: $t = 2^x$와 $x$의 대응이 일대일이므로 $g(t) = k$가 $t > 0$에서 서로 다른 두 양근을 가져야 한다. $t$의 그래프 위 수평선 $y = k$ 위치를 보면, 최솟값 $-4$보다 크고 $g(0) = 0$보다 작아야 두 양근이 나온다. 따라서 $-4 < k < 0$.

📖 풀이:
1단계: 항등식으로 $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin^2 2x$.
2단계: $1 - \dfrac{1}{2}\sin^2 2x = \dfrac{5}{8}$에서 $\sin^2 2x = \dfrac{3}{4}$, 즉 $\sin 2x = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. $2x \in [0, 4\pi]$이므로 $2x = \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}, \dfrac{7\pi}{3}, \dfrac{8\pi}{3}, \dfrac{10\pi}{3}, \dfrac{11\pi}{3}$.
3단계: 따라서 $x = \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{4\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}, \dfrac{11\pi}{6}$ (총 $8$개). 이들을 $(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6})$, $(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3})$, $(\dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{4\pi}{3})$, $(\dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6})$로 짝지으면 각 쌍의 합이 $2\pi$. 총합 $= 4 \cdot 2\pi = 8\pi$.

📖 풀이:
1단계: 삼각형 전체 넓이 $\triangle ABC = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° = 12\sqrt{3}$.
2단계: $AD = \ell$로 놓으면 $\triangle ABD = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \ell \cdot \sin 30°$, $\triangle ACD = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot \ell \cdot \sin 30°$이고 합은 $\dfrac{\ell}{2}(6 + 8) \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{7\ell}{2}$.
3단계: 두 소삼각형의 넓이 합은 전체 넓이와 같다. $\dfrac{7\ell}{2} = 12\sqrt{3}$에서 $\ell = \dfrac{24\sqrt{3}}{7}$.

📖 풀이:
1단계: 접점에서 기울기가 같아야 하므로 $3x^2 - 6x = 3$, 즉 $x^2 - 2x - 1 = 0$. 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면 $\alpha + \beta = 2$, $\alpha\beta = -1$이고 $\alpha, \beta = 1 \pm \sqrt{2}$.
2단계: 각 접점에서 함숫값이 같다는 조건으로 $k = x^3 - 3x^2 - 3x$. 따라서 $k_1 = \alpha^3 - 3\alpha^2 - 3\alpha$, $k_2 = \beta^3 - 3\beta^2 - 3\beta$.
3단계: $\alpha^2 + \beta^2 = 4 - 2(-1) = 6$, $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = 8 + 6 = 14$. 따라서 $k_1 + k_2 = 14 - 3 \cdot 6 - 3 \cdot 2 = 14 - 18 - 6 = -10$.

📖 풀이:
1단계: 교점을 구한다. $x^2 = -x^2 + 4$에서 $x^2 = 2$이므로 $x = \pm\sqrt{2}$.
2단계: $[-\sqrt{2},\ \sqrt{2}]$에서 $-x^2 + 4 \ge x^2$이므로 넓이 $S = \displaystyle\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} [(-x^2 + 4) - x^2]\,dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2)\,dx$.
3단계: 피적분함수가 우함수이므로 $S = 2\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2)\,dx = 2\left[4x - \dfrac{2x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{2}} = 2\left(4\sqrt{2} - \dfrac{4\sqrt{2}}{3}\right) = \dfrac{16\sqrt{2}}{3}$.

📖 풀이:
1단계) 진수 조건: $x^2-2x > 0$, 즉 $x(x-2)>0$이므로 $x<0$ 또는 $x>2$.
2단계) 부등식 변형: $x^2-2x \le 2^3 = 8$, 즉 $x^2-2x-8 \le 0$이므로 $(x-4)(x+2)\le 0$, 따라서 $-2 \le x \le 4$.
3단계) 두 조건의 교집합: $-2 \le x < 0$ 또는 $2 < x \le 4$.
4단계) 정수해는 $x=-2, -1, 3, 4$의 4개.

📖 풀이:
1단계) $x=8$ 대입: 두 교점은 $(8, \log_2 8)=(8,3)$과 $(8, \log_2(8-k))$.
2단계) 두 점의 $x$좌표가 같으므로 거리는 세로 성분: $|3-\log_2(8-k)|=2$.
3단계) 절댓값을 풀면 $\log_2(8-k)=1$ 또는 $\log_2(8-k)=5$, 즉 $8-k=2$ 또는 $8-k=32$.
4단계) $k=6$ 또는 $k=-24$. 조건 $0<k<8$에 의해 $k=6$.

📖 풀이:
1단계) 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$에 대입: $\dfrac{1}{2}bc \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$이므로 $bc=24$.
2단계) 코사인법칙: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = (b+c)^2 - 2bc - 2bc\cdot\dfrac{1}{2} = (b+c)^2 - 3bc$.
3단계) 대입: $a^2 = 10^2 - 3\cdot 24 = 100 - 72 = 28$.
4단계) $a = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

📖 풀이:
1단계) $S = 1\cdot 1 + 2\cdot 2 + 3\cdot 4 + \cdots + n\cdot 2^{n-1}$로 전개.
2단계) 양변에 2 곱하기: $2S = 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + \cdots + (n-1)\cdot 2^{n-1} + n\cdot 2^n$.
3단계) $S - 2S$: $-S = (1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-1}) - n\cdot 2^n = (2^n - 1) - n\cdot 2^n = (1-n)2^n - 1$.
4단계) 정리하면 $S_n = (n-1)\cdot 2^n + 1$.
5단계) $S_{10} = 9 \cdot 1024 + 1 = 9216 + 1 = 9217$.

📖 풀이:
1단계) $b_n = a_{n+1} - 2a_n$으로 놓으면 $b_{n+1} = a_{n+2} - 2a_{n+1} = 3a_{n+1} - 6a_n = 3(a_{n+1} - 2a_n) = 3b_n$. 따라서 $b_1 = 5 - 2 = 3$, $b_n = 3^n$.
2단계) $c_n = a_{n+1} - 3a_n$으로 놓으면 $c_{n+1} = a_{n+2} - 3a_{n+1} = 2a_{n+1} - 6a_n = 2c_n$. $c_1 = 5 - 3 = 2$, $c_n = 2^n$.
3단계) $b_n - c_n = a_n$이므로 $a_n = 3^n - 2^n$.
4단계) $a_5 = 243 - 32 = 211$.

📖 풀이:
1단계) $S_1$의 넓이 $=1$, $C_1$의 반지름 $=\dfrac{1}{2}$이므로 넓이 $=\dfrac{\pi}{4}$.
2단계) $S_2$는 $C_1$에 내접하므로 대각선이 $C_1$의 지름 $1$. 한 변 $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, 넓이 $=\dfrac{1}{2}$. 이 관계가 매 단계마다 반복되어 넓이의 공비는 $\dfrac{1}{2}$.
3단계) 정사각형 넓이 합: $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots = \dfrac{1}{1-\tfrac{1}{2}} = 2$.
4단계) 원 넓이 합: $\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{8} + \cdots = \dfrac{\pi/4}{1-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{\pi}{2}$.
5단계) 합은 $2 + \dfrac{\pi}{2}$.

📖 풀이:
1단계) 공통 접점을 $x=t$라 하면 함숫값이 같아야 하므로 $t^3 = -t^2 + k$ ... (i).
2단계) 접선의 기울기가 같아야 하므로 $3t^2 = -2t$, 즉 $t(3t+2)=0$이므로 $t=0$ 또는 $t=-\dfrac{2}{3}$.
3단계) $t=0$: (i)에서 $k=0$.
4단계) $t=-\dfrac{2}{3}$: $k = t^3 + t^2 = -\dfrac{8}{27} + \dfrac{4}{9} = -\dfrac{8}{27} + \dfrac{12}{27} = \dfrac{4}{27}$.
5단계) 모든 $k$의 합: $0 + \dfrac{4}{27} = \dfrac{4}{27}$.

📖 풀이:
1단계) 접선 구하기: $y'=3x^2$이므로 $y'(1)=3$. 접선은 $y-1=3(x-1)$, 즉 $y=3x-2$.
2단계) 곡선과 접선의 교점: $x^3 = 3x-2 \Rightarrow x^3 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)^2(x+2)=0$. $x=1$(접점)과 $x=-2$.
3단계) $-2 \le x \le 1$에서 $x^3 \ge 3x-2$ (예: $x=0$에서 $0 \ge -2$).
4단계) 넓이 $= \displaystyle\int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2)\, dx = \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{3x^2}{2} + 2x\right]_{-2}^{1}$.
5단계) $= \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 2\right) - \left(4 - 6 - 4\right) = \dfrac{3}{4} - (-6) = \dfrac{27}{4}$.

📖 풀이:
1단계) 자연수이므로 $x>0$. $\log_3 x^2 = 2\log_3 x$.
2단계) $t=\log_3 x$로 놓으면 부등식은 $t^2 > 2t$, 즉 $t(t-2)>0$이므로 $t<0$ 또는 $t>2$.
3단계) $t<0$: $\log_3 x < 0 \Rightarrow 0 < x < 1$. 자연수 없음.
4단계) $t>2$: $\log_3 x > 2 \Rightarrow x > 9$.
5단계) $10 \le x \le 100$의 자연수는 $100-10+1 = 91$개.

📖 풀이:
1단계) 분모 $x-2 \to 0$인데 극한값이 유한하므로 분자도 $0$으로 수렴해야 한다: $f(2)=0$, 즉 $8 + 2a + b = 0$ ... (i).
2단계) 극한은 $x=2$에서 미분계수의 정의: $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2} = f'(2) = 15$.
3단계) $f'(x) = 3x^2 + a$이므로 $f'(2) = 12 + a = 15$, 즉 $a = 3$.
4단계) (i)에 대입: $b = -8 - 2a = -14$.
5단계) $a + b = 3 + (-14) = -11$.

📖 풀이:
1단계) $n = 1$일 때 $S_1 = a_1 = 2a_1 - 1$이므로 $a_1 = 1$.
2단계) $n \ge 2$에서 $a_n = S_n - S_{n-1} = (2a_n - n^2) - (2a_{n-1} - (n-1)^2)$을 정리하면 $a_n = 2a_{n-1} + 2n - 1$.
3단계) $b_n = a_n + 2n + 3$으로 놓으면 $b_n = (2a_{n-1} + 2n - 1) + 2n + 3 = 2a_{n-1} + 4n + 2 = 2(a_{n-1} + 2n + 1) = 2\big(a_{n-1} + 2(n-1) + 3\big) = 2b_{n-1}$이다. 즉 $\{b_n\}$은 공비 $2$인 등비수열.
4단계) $b_1 = a_1 + 2 + 3 = 6$이므로 $b_n = 6 \cdot 2^{n-1} = 3 \cdot 2^n$, 따라서 $a_n = 3\cdot 2^n - 2n - 3$.
5단계) $a_{10} = 3\cdot 1024 - 20 - 3 = 3072 - 23 = 3049$.

📖 풀이:
1단계: $\log_{10} 6^{20} = 20 \log_{10} 6 = 20(\log_{10} 2 + \log_{10} 3)$. 2단계: $= 20(0.3010 + 0.4771) = 20 \times 0.7781 = 15.562$. 3단계: 정수부분이 $15$이므로 $6^{20}$은 $10^{15}$ 이상 $10^{16}$ 미만의 수, 즉 자릿수는 $15+1 = 16$자리.

📖 풀이:
1단계: $\cos x \neq 0$ (즉 $x \neq \pi/2, 3\pi/2$) 조건에서 $\sin x = \frac{\sin x}{\cos x}$. 양변에 $\cos x$를 곱하면 $\sin x \cos x = \sin x$, 즉 $\sin x (\cos x - 1) = 0$. 2단계: $\sin x = 0$이면 $x = 0, \pi, 2\pi$; $\cos x = 1$이면 $x = 0, 2\pi$. 합집합은 $\{0, \pi, 2\pi\}$. 3단계: 이 값들은 모두 $\cos x \neq 0$ 조건을 만족하므로 해는 총 3개.

📖 풀이:
1단계: $f$는 단조증가 연속함수이고 $g = f^{-1}$이므로, 두 그래프의 교점은 직선 $y=x$ 위에 존재한다. 즉 $f(x) = x$의 해를 찾으면 된다. 2단계: $2^{x-1} = x$에서 $x=1$이면 $2^0=1$, $x=2$이면 $2^1=2$이므로 둘 다 해. 3단계: 함수 $h(x) = 2^{x-1} - x$의 이계도함수 $h''(x) = 2^{x-1}(\ln 2)^2 > 0$이므로 $h$는 볼록함수, 따라서 근은 최대 2개. 두 근 $x=1, 2$가 전부이고 합은 $1+2=3$.

📖 풀이:
1단계: 넓이 공식 $S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}bc \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}bc$에서 $\frac{\sqrt{3}}{4}bc = 4\sqrt{3}$, 즉 $bc = 16$. 2단계: 코사인법칙 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A = (b+c)^2 - 2bc - 2bc \cdot \frac{1}{2} = (b+c)^2 - 3bc$. 3단계: $a^2 = 8^2 - 3 \cdot 16 = 64 - 48 = 16$, 따라서 $a = 4$.