📝 고2 수학 심화

📖 풀이:
1단계: $t = \log_2 n$, $f(n) = \{t\}$(소수부분)로 놓으면 $\log_2 n^2 = 2t$이므로 $f(n^2) = \{2t\}$.
2단계: $\{t\} = \alpha$라 하면 (i) $0 \le \alpha < \tfrac12$일 때 $\{2t\} = 2\alpha$이므로 $\alpha + 2\alpha = 1$에서 $\alpha = \tfrac13$, (ii) $\tfrac12 \le \alpha < 1$일 때 $\{2t\} = 2\alpha - 1$이므로 $3\alpha - 1 = 1$에서 $\alpha = \tfrac23$.
3단계: 즉 $\log_2 n$의 소수부분이 $\tfrac13$ 또는 $\tfrac23$이어야 하므로 $n = 2^{m+1/3} = 2^m\sqrt[3]{2}$ 또는 $n = 2^{m+2/3} = 2^m\sqrt[3]{4}$ ($m$은 정수)이다. 그런데 $\sqrt[3]{2},\ \sqrt[3]{4}$는 무리수이므로 어떤 정수 $m$에 대해서도 $n$은 자연수가 될 수 없다.
4단계: 따라서 $2 \le n \le 100$에서 조건을 만족하는 자연수 $n$은 하나도 존재하지 않으므로, 모든 $n$의 값의 합은 $0$이다.

📖 풀이:
1단계: $f'(x) = \dfrac{1}{x \ln 2}$이므로 $\mathrm{A}$에서의 접선은 $y - \log_2 a = \dfrac{1}{a \ln 2}(x-a)$.
2단계: $y=0$ 대입 → $x = a - a \ln 2 \cdot \log_2 a = a(1 - \ln a)$이므로 $\mathrm{B}(a(1-\ln a),\,0)$. $x=0$ 대입 → $y = \log_2 a - \dfrac{1}{\ln 2} = \dfrac{\ln a - 1}{\ln 2}$이므로 $\mathrm{C}\left(0,\,\dfrac{\ln a - 1}{\ln 2}\right)$.
3단계: 삼각형 $\mathrm{OBC}$의 넓이 $= \dfrac{1}{2}|x_B||y_C| = \dfrac{1}{2}\cdot a|1-\ln a|\cdot\dfrac{|\ln a - 1|}{\ln 2} = \dfrac{a(\ln a - 1)^2}{2\ln 2}$.
4단계: 이 값이 $\dfrac{a}{2\ln 2}$와 같으므로 $(\ln a - 1)^2 = 1$, 즉 $\ln a - 1 = \pm 1$. $a>1$이므로 $\ln a = 2$, 따라서 $a = e^2$.

📖 풀이:
1단계: $\cos 2x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)$이므로 $\sin 3x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right)$.
2단계: $\sin A = \sin B$ → $A = B + 2n\pi$ 또는 $A = \pi - B + 2n\pi$.
(i) $3x = \dfrac{\pi}{2} - 2x + 2n\pi$ → $x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{2n\pi}{5}$.
(ii) $3x = \pi - \dfrac{\pi}{2} + 2x + 2n\pi$ → $x = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$.
3단계: $0 \le x < 2\pi$에서 (i)은 $n=0,1,2,3,4$ → $\dfrac{\pi}{10}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{9\pi}{10}, \dfrac{13\pi}{10}, \dfrac{17\pi}{10}$ (5개), (ii)는 $\dfrac{\pi}{2}$ (1개, 중복). 따라서 서로 다른 해는 $5$개.

📖 풀이:
1단계: 사인법칙에서 $\dfrac{\mathrm{BC}}{\sin \mathrm{A}} = 2R = 2$이므로 $\mathrm{BC} = 2\sin\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ (고정).
2단계: $\mathrm{B}+\mathrm{C} = \dfrac{2\pi}{3}$. $\mathrm{AB}=c=2\sin\mathrm{C}$, $\mathrm{AC}=b=2\sin\mathrm{B}$.
넓이 $S=\dfrac{1}{2}bc\sin\mathrm{A}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sin\mathrm{B}\cdot 2\sin\mathrm{C}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\sin\mathrm{B}\sin\mathrm{C}$.
3단계: 곱-합 공식 $\sin\mathrm{B}\sin\mathrm{C}=\dfrac{1}{2}[\cos(\mathrm{B}-\mathrm{C})-\cos(\mathrm{B}+\mathrm{C})]=\dfrac{1}{2}\left[\cos(\mathrm{B}-\mathrm{C})+\dfrac{1}{2}\right]$. $\mathrm{B}=\mathrm{C}$일 때 최대 $=\dfrac{3}{4}$. 따라서 $S_{\max}=\sqrt{3}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$.

📖 풀이:
1단계: $\log_{10} N = 2 + \alpha$ ($0 \le \alpha < 1$, $N$은 3자리 수). $\log_{10}\dfrac{1}{N}=-\log_{10}N=-2-\alpha$.
2단계: $-2-\alpha$의 소수부분은 $1-\alpha$ (단, $\alpha\ne 0$). $\alpha=0$이면 $-2-0=-2$의 소수부분 $=0$.
3단계: 소수부분 일치 조건 → $\alpha = 1-\alpha$ → $\alpha = \dfrac{1}{2}$, 또는 $\alpha=0$. $\alpha=1/2$: $N=10^{2.5}=100\sqrt{10}\approx 316.23$ 자연수 아님. $\alpha=0$: $N=100$. 따라서 $N=100$ 단 하나.

📖 풀이:
1단계: 점화식 $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$의 특수해를 $a_n = C\cdot 3^n$으로 놓으면 $3C = 2C + 1$에서 $C = 1$이고, 동차해는 $D\cdot 2^n$이므로 일반해는 $a_n = 3^n + D\cdot 2^n$.
2단계: $a_1 = 1$에서 $3 + 2D = 1$, 즉 $D = -1$. 따라서 $a_n = 3^n - 2^n$.
3단계: 검산하면 $a_1 = 3 - 2 = 1$, $a_2 = 9 - 4 = 5 = 2\cdot 1 + 3$, $a_3 = 27 - 8 = 19 = 2\cdot 5 + 9$로 모두 점화식을 만족한다. 보기 ②, ③은 $a_1 \ne 1$이고, ④는 $a_2 = 6 - 2 = 4 \ne 5$이므로 제외된다. 정답은 ① $a_n = 3^n - 2^n$이다.

📖 풀이:
1단계: 가정 $\sum_{i=1}^{k}\dfrac{1}{\sqrt{i}} \ge \sqrt{k}$. 양변에 $\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}$을 더하면 좌변 $=\sum_{i=1}^{k+1}\dfrac{1}{\sqrt{i}}$, 우변 $\ge \sqrt{k}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}$.
2단계: 따라서 $\sqrt{k}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \ge \sqrt{k+1}$임을 보이면 된다.
3단계: 양변에 $\sqrt{k+1}$을 곱하면 $\sqrt{k(k+1)}+1 \ge k+1$ ↔ $\sqrt{k(k+1)} \ge k$ ↔ $k(k+1) \ge k^2$ ↔ $k \ge 0$. 참.

📖 풀이:
1단계: $x\to 1$에서 분모 $\to 0$이므로 극한이 존재하려면 분자도 $\to 0$. 즉 $1+a+b=0$, $b=-1-a$.
2단계: $x^2+ax+b=x^2+ax-1-a=(x-1)(x+1+a)$이므로 $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=1+1+a=2+a$.
3단계: 연속 조건 → $c=2+a$. 따라서 $a+b+c=a+(-1-a)+(2+a)=1+a$. $a$가 임의이므로 값이 하나로 결정되지 않는다.

📖 풀이:
1단계: $f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)$. $a>0$이므로 극대점 $x=0$, 극소점 $x=2a$. 극댓값 $f(0)=4$, 극솟값 $f(2a)=8a^3-12a^3+4=4-4a^3$.
2단계: 서로 다른 두 점에서 만날 조건 → 극값 중 하나가 $0$. 극댓값 $4 \ne 0$이므로 극솟값 $=0$.
3단계: $4-4a^3=0$ → $a^3=1$ → $a=1$.

📖 풀이:
1단계: $\displaystyle\int_0^1 tf(t)\,dt$는 상수이므로 $k$라 놓으면 $f(x) = x^2 + k$.
2단계: $k = \displaystyle\int_0^1 t(t^2 + k)\,dt = \int_0^1 (t^3 + kt)\,dt = \dfrac{1}{4} + \dfrac{k}{2}$.
3단계: $k - \dfrac{k}{2} = \dfrac{1}{4}$에서 $\dfrac{k}{2} = \dfrac{1}{4}$, 즉 $k = \dfrac{1}{2}$. 따라서 $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{2}$이고 $f(1) = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$이다. 정답은 ① $\dfrac{3}{2}$이다.

📖 풀이:
1단계: $y=2^x$와 $y=\log_2 x$는 $y=x$에 대해 대칭. 두 곡선이 교점을 가지려면 $y=x$ 위의 점에서 만나야 함 (또는 $y=x$에 대해 대칭인 쌍으로).
2단계: $2^x=x$의 해를 분석. $g(x)=2^x-x$, $g'(x)=2^x\ln 2-1=0$ → $x=-\log_2(\ln 2)\approx 0.529$. $g$의 최솟값 $\approx 2^{0.529}-0.529 \approx 1.443-0.529>0$. 따라서 $2^x>x$ 항상 성립, $y=x$와 교점 없음.
3단계: 대칭성에 의해 $y=2^x$와 $y=\log_2 x$도 $y=x$ 위에서 만나지 않고, 대칭쌍도 존재하지 않음 ($2^a=b$, $2^b=a$, $a\ne b$인 해 없음). 따라서 교점은 $0$개.

📖 풀이:
1단계: $f(x)=5\sin(x+\alpha)$ ($\alpha$는 $\tan\alpha=\frac{4}{3}$). 치역 $[-5,5]$, 주기 $2\pi$.
2단계: $0\le x<2\pi$에서 $f(x)$는 한 주기를 지나므로, 수평선 $y=k$와의 교점은 $|k|<5$일 때 정확히 $2$개, $|k|=5$일 때 $1$개, $|k|>5$일 때 $0$개.
3단계: $|k|<5$인 정수 $k$ → $k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$ → $9$개.

📖 풀이:
1단계: $\log_2 n = \frac{p}{q}$ (기약분수, $q \ge 2$)이면 $n = 2^{p/q}$인데, $n$이 자연수이려면 $n = 2^k$ 꼴이어야 한다. 2단계: 따라서 $\log_2 n$이 유리수인 $100$ 이하 자연수는 $2^k \le 100$인 $k \ge 0$. 3단계: $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$에서 $n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$의 7개.

📖 풀이:
1단계: $y' = 2^x \ln 2$이므로 점 $\mathrm{P}$에서의 접선은 $y - 2^a = 2^a \ln 2\,(x - a)$.
2단계: $y=0$에서 $x = a - \dfrac{1}{\ln 2}$이므로 $\mathrm{Q}\left(a - \dfrac{1}{\ln 2},\,0\right)$, $x=0$에서 $y = 2^a(1 - a\ln 2)$이므로 $\mathrm{R}\left(0,\,2^a(1 - a\ln 2)\right)$.
3단계: $1 - a\ln 2 = -\ln 2\left(a - \dfrac{1}{\ln 2}\right)$이므로 넓이 $S(a) = \dfrac{1}{2}\left|a - \dfrac{1}{\ln 2}\right|\cdot 2^a\,|1 - a\ln 2| = \dfrac{\ln 2}{2}\,2^a\left(a - \dfrac{1}{\ln 2}\right)^2$.
4단계: $S'(a) = \dfrac{\ln 2}{2}\,2^a\left(a - \dfrac{1}{\ln 2}\right)\left[\ln 2\left(a - \dfrac{1}{\ln 2}\right) + 2\right]$. $S'(a)=0$의 해는 $a = \dfrac{1}{\ln 2}$ (이때 $\mathrm{Q}=\mathrm{R}=\mathrm{O}$로 삼각형이 무너짐)와 $a = \dfrac{1}{\ln 2} - \dfrac{2}{\ln 2} = -\dfrac{1}{\ln 2}$.
5단계: $a = -\dfrac{1}{\ln 2}$의 좌우에서 $S'$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 넓이는 이 점에서 극대이다. 따라서 $a = -\dfrac{1}{\ln 2}$.

📖 풀이:
1단계: $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$이므로 좌변 $= 1 + \cos 2x + \sqrt{3}\sin 2x = 1 + 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$. 2단계: $f(x) = 1 + 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$는 최댓값 3, 최솟값 -1, 주기 $\pi$이다. $\theta = 2x + \frac{\pi}{6}$로 놓으면 $0 \le x < 2\pi$일 때 $\theta$는 $\frac{\pi}{6} \le \theta < \frac{\pi}{6} + 4\pi$ (길이 $4\pi$, 즉 사인함수가 꼭 두 주기) 범위를 움직인다. 3단계: 방정식은 $\sin\theta = \frac{k-1}{2}$가 된다. $-1 < \frac{k-1}{2} < 1$ 즉 $-1 < k < 3$이면 한 주기마다 서로 다른 두 해가 있어 두 주기에서 모두 서로 다른 네 실근을 갖는다. 4단계: $\frac{k-1}{2} = \pm 1$ (즉 $k = 3$ 또는 $k = -1$)이면 각 주기에서 사인곡선과 접하여 두 주기에서 해가 2개뿐이고, 범위를 벗어나면 해가 없다. 따라서 서로 다른 네 실근을 가질 조건은 $-1 < k < 3$이다. (실제로 $k = 0$, $k = 2$를 대입하면 각각 네 실근임을 확인할 수 있다.)

📖 풀이:
1단계: 코사인 법칙: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cos 60° = AB^2 + AC^2 - AB \cdot AC = 28$. 2단계: AM-GM에 의해 $AB^2 + AC^2 \ge 2 \cdot AB \cdot AC$이므로 $28 = AB^2 + AC^2 - AB \cdot AC \ge 2 AB \cdot AC - AB \cdot AC = AB \cdot AC$. 3단계: 등호는 $AB = AC$일 때 성립. 이때 $AB \cdot AC = 28$. (AD 수선 조건은 D가 BC 위에 있을 조건을 보장.)

📖 풀이:
1단계: 내부 합 $\sum_{i=1}^{k}(2i-1) = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} - k = k^2 + k - k = k^2$. 2단계: 따라서 전체 합은 $\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385$. 3단계: 답은 385.

📖 풀이:
1단계: $x \to 1$에서 분모 $x - 1 \to 0$이고 극한이 존재하므로 분자도 $0$이어야 한다. 즉 $1 + a + b = 0$이므로 $a + b = -1$.
2단계: 분자를 $(x-1)(x-\beta)$로 인수분해하면 $b = \beta$, $a = -(1+\beta)$이다. $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{(x-1)(x-\beta)}{x-1} = 1 - \beta = 3$에서 $\beta = -2$이므로 $b = -2$, $a = 1$.
3단계: $x = 1$에서 연속이므로 $c = \displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 3$.
4단계: $a + b + c = 1 + (-2) + 3 = 2$. (또는 $a + b = -1$, $c = 3$에서 $a + b + c = -1 + 3 = 2$로 개별 $a, b$에 무관하게 고정된다.) 따라서 정답은 ③ 2이다.

📖 풀이:
1단계: $f(x) = 2x + b$의 실근 개수는 $g(x) = f(x) - (2x+b) = x^3 - 3x^2 - 2x + (a-b)$의 실근 개수와 같다. 2단계: $g'(x) = 3x^2 - 6x - 2 = 0$에서 $x = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{3}$, 두 실근이 존재하므로 극대·극소를 가짐. 3단계: 세 실근을 가지려면 극댓값 $\times$ 극솟값 $< 0$이어야 함. 이 조건이 $a$, $b$에 대한 관계식을 결정.

📖 풀이:
1단계: 부분분수 분해: $\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right)$. 2단계: $a_n = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right) = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right)$ (망원합). 3단계: $n \to \infty$에서 $\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+2} \to 0$이므로 극한 $= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

📖 풀이:
1단계: 사인법칙 $\frac{a}{\sin A} = 2R = 2$이므로 $\sin A = \frac{a}{2}$. 따라서 $\sin A + \sin B + \sin C = \frac{a + b + c}{2}$ = 둘레의 절반. 2단계: $A + B + C = \pi$ 제약 하에 젠센 부등식 활용: $\sin$은 $[0, \pi]$에서 오목함수이므로 $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \le \sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 3단계: 최댓값은 $3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. 등호는 $A = B = C = \pi/3$ (정삼각형)일 때.

📖 풀이:
1단계: $f'(x) = 3x^2 + a$. $f'(-1) = 3 + a = 0$에서 $a = -3$. 2단계: $f(-1) = -1 + 3 + b = 4$에서 $b = 2$. 따라서 $f(x) = x^3 - 3x + 2$. 3단계: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$에서 $x = \pm 1$. $x = 1$에서 극솟값 $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$.

📖 풀이:
1단계: 주어진 점화식의 양변의 역수를 취한다. $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1 + 2a_n}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 2$.
2단계: $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 놓으면 $b_{n+1} = b_n + 2$이고 $b_1 = 1$이므로 $\{b_n\}$은 첫째항 1, 공차 2인 등차수열, 일반항 $b_n = 2n - 1$.
3단계: $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} b_k = \sum_{k=1}^{10}(2k - 1) = 2 \cdot 55 - 10 = 100$.

📖 풀이:
1단계: $v(t) = (t-1)(t-3)$이므로 부호는 $[0,1]$에서 양, $[1,3]$에서 음, $[3,4]$에서 양이다.
2단계: 이동 거리는 $\displaystyle\int_0^4 |v(t)|\,dt = \int_0^1 v\,dt - \int_1^3 v\,dt + \int_3^4 v\,dt$로 구간을 나눈다.
3단계: $F(t) = \dfrac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t$라 하면 $F(0)=0,\ F(1)=\dfrac{4}{3},\ F(3)=0,\ F(4)=\dfrac{4}{3}$. 따라서 이동 거리 $= \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = 4$.