📝 고2 수학 일반

📖 풀이:
거듭제곱근을 유리지수로 바꾸어 계산한다.
1단계: $\sqrt[3]{2}=2^{1/3}$로 표현한다.
2단계: $\sqrt[6]{4}=\sqrt[6]{2^2}=2^{2/6}=2^{1/3}$이다.
3단계: 두 값을 곱하면 $2^{1/3}\times 2^{1/3}=2^{1/3+1/3}=2^{2/3}$.
4단계: $2^{2/3}=\sqrt[3]{2^2}=\sqrt[3]{4}$이다.

📖 풀이:
산의 높이를 $h=PH$, 수평거리를 $BH=x$라 둔다.
1단계: $\triangle PBH$에서 $\tan 45° = \dfrac{h}{x} = 1$이므로 $x = h$.
2단계: $\triangle PAH$에서 $AH = AB + BH = 100 + h$이고 $\tan 30° = \dfrac{h}{100+h} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
3단계: 양변에 $\sqrt{3}(100+h)$를 곱하면 $\sqrt{3}\,h = 100 + h$.
4단계: $h(\sqrt{3}-1) = 100$이므로 $h = \dfrac{100}{\sqrt{3}-1} = \dfrac{100(\sqrt{3}+1)}{2} = 50(\sqrt{3}+1)$.

📖 풀이:
두 변환을 순서대로 적용한다.
1단계 ($y$축 대칭): $x$ 자리에 $-x$를 대입한다. $y = \log_3 x \to y = \log_3(-x)$. 정의역은 $-x > 0$, 즉 $x < 0$.
2단계 ($x$축으로 $+1$ 평행이동): $x$ 자리에 $x-1$을 대입한다. $y = \log_3(-(x-1)) = \log_3(1-x)$.
3단계: 정의역은 $1-x > 0$, 즉 $x < 1$이며 점근선은 $x = 1$이다.

📖 풀이:
$y = \tan\theta$의 점근선은 $\theta = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ ($n$은 정수)이다.
1단계: $\theta = x - \dfrac{\pi}{4}$로 두면 $x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$.
2단계: $x = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4} + n\pi = \dfrac{3\pi}{4} + n\pi$.
3단계: $n = 0$일 때 $x = \dfrac{3\pi}{4}$로, 보기 ③과 일치한다.
4단계: 다른 보기 $x = \pi/4$는 $x$절편이고, $\pi/2$, $\pi$는 점근선 식 $\dfrac{3\pi}{4} + n\pi$를 만족하지 않는다.

📖 풀이:
위치 변화량은 속도의 정적분 $\displaystyle\int_0^3 v(t)\,dt$로 구한다.
1단계: $\displaystyle\int_0^3 (3t^2 - 6t)\,dt = \Big[t^3 - 3t^2\Big]_0^3$.
2단계: $t = 3$ 대입: $27 - 27 = 0$.
3단계: $t = 0$ 대입: $0$.
4단계: 따라서 위치 변화량은 $0 - 0 = 0$.
참고: 변화량이 0이라고 점이 움직이지 않은 것은 아니며, $0 \leq t \leq 2$에서는 음의 방향, $2 \leq t \leq 3$에서는 양의 방향으로 움직여 결과적으로 출발점으로 돌아온 것이다.

📖 풀이:
등비수열의 합 공식 $S_n = \dfrac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ ($r \neq 1$)을 이용한다.
1단계: $a_1 = 2$, $r = 3$, $n = 4$.
2단계: $S_4 = \dfrac{2(3^4 - 1)}{3 - 1} = \dfrac{2(81 - 1)}{2} = 81 - 1 = 80$.
검산: 항을 직접 더하면 $2 + 6 + 18 + 54 = 80$.

📖 풀이:
로그부등식은 정의역 조건과 부등식 동치 조건을 함께 따져야 한다.
1단계 (정의역): 진수 $2x - 1 > 0$이어야 하므로 $x > \dfrac{1}{2}$.
2단계 (밑이 1보다 큼): 밑 $3 > 1$이므로 부등식의 방향이 유지된다. $\log_3(2x-1) \leq 2 = \log_3 9$.
3단계: $2x - 1 \leq 9$이므로 $x \leq 5$.
4단계: $\dfrac{1}{2} < x \leq 5$를 만족하는 자연수는 $1, 2, 3, 4, 5$로 총 $5$개.

📖 풀이:
삼각형 ABC의 넓이를 두 가지 방법으로 표현한 뒤 등식을 세운다.
1단계: 전체 넓이 $S(\triangle ABC) = \dfrac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \sin 60° = \dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$.
2단계: AD가 $\angle A$의 이등분선이므로 $\angle BAD = \angle CAD = 30°$.
$S(\triangle ABD) = \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{AD}\cdot \sin 30° = \dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot \overline{AD}\cdot \dfrac{1}{2} = \overline{AD}$.
$S(\triangle ACD) = \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AC}\cdot \overline{AD}\cdot \sin 30° = \dfrac{1}{2}\cdot 5 \cdot \overline{AD}\cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{5\,\overline{AD}}{4}$.
3단계: 두 부분의 넓이 합이 전체와 같다. $\overline{AD} + \dfrac{5\,\overline{AD}}{4} = \dfrac{9\,\overline{AD}}{4} = 5\sqrt{3}$.
4단계: $\overline{AD} = \dfrac{20\sqrt{3}}{9}$.

📖 풀이:
$S_n$과 $a_n$ 사이의 관계 $a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \geq 2$)을 활용한다.
1단계 (첫째항): $n = 1$이면 $S_1 = a_1 = 2a_1 - 1$이므로 $a_1 = 1$.
2단계 ($n \geq 2$): $a_n = S_n - S_{n-1} = (2a_n - 1) - (2a_{n-1} - 1) = 2a_n - 2a_{n-1}$.
3단계: 정리하면 $a_n = 2a_{n-1}$이므로 $\{a_n\}$은 첫째항 $1$, 공비 $2$인 등비수열이다.
4단계: $a_n = 2^{n-1}$이므로 $a_5 = 2^4 = 16$.

📖 풀이:
극한값이 유한하므로 분모와 함께 분자도 $0$으로 수렴해야 한다.
1단계 (분자 영 조건): $x \to 2$에서 분모 $\to 0$인데 극한이 유한하므로 분자도 $\to 0$. 즉 $4 + 2a + b = 0$, 곧 $b = -2a - 4$ ... ($\ast$)
2단계 (인수분해): 분자를 $(x-2)(x-c)$ 형태로 두면 $x^2 + ax + b = x^2 -(2+c)x + 2c$. 비교하면 $a = -(2+c)$, $b = 2c$.
3단계 (극한 계산): $\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x-c)}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x-c) = 2 - c = 5$이므로 $c = -3$.
4단계 (값 정리): $a = -(2 + (-3)) = 1$, $b = 2(-3) = -6$. 검산: ($\ast$)에서 $b = -2(1) - 4 = -6$ 일치.
5단계: $a + b = 1 + (-6) = -5$.

📖 풀이:
각 거듭제곱근을 정수로 정리한다.
• $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$
• $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$
• $\sqrt{16} = \sqrt{4^2} = 4$
따라서 $3 + 3 - 4 = 2$.

📖 풀이:
등비수열의 일반항은 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$이다.
• $a_1 = 2$, $r = 3$, $n = 5$
• $a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$

📖 풀이:
$\tan\theta = \dfrac{4}{3}$이고 $\theta$가 제1사분면이므로 $\sin\theta, \cos\theta > 0$이다.
• 직각삼각형에서 대변 $4$, 밑변 $3$이라 하면 빗변은 $\sqrt{3^2+4^2}=5$
• $\sin\theta = \dfrac{4}{5}$, $\cos\theta = \dfrac{3}{5}$
• $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{7}{5}$

📖 풀이:
한 점에서의 접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수와 같다.
• $y' = 2x + 3$
• $x = 1$을 대입하면 $y'(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$
따라서 접선의 기울기는 $5$.

📖 풀이:
부정적분을 먼저 구한다.
• $\int (2x+1)\,dx = x^2 + x + C$
• $\int_1^3 (2x+1)\,dx = \left[x^2 + x\right]_1^3 = (9+3) - (1+1) = 12 - 2 = 10$

📖 풀이:
로그의 성질을 활용해 식을 정리한다.
• $y = \log_4 x^2 = 2\log_4 x$ ($x > 0$)
• $x = 8$을 대입: $k = 2 \log_4 8$
• 밑변환: $\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}$
• 따라서 $k = 2 \cdot \dfrac{3}{2} = 3$
검산: $\log_4 64 = 3$ ($4^3 = 64$). ✓

📖 풀이:
산 아래에서 Q까지의 수평거리를 $x$, 산의 높이를 $h$라 하자.
• Q에서: $\tan 60° = \dfrac{h}{x} = \sqrt{3}$ → $h = \sqrt{3}\,x$
• P에서: $\tan 30° = \dfrac{h}{x + 100} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ → $\sqrt{3}\,h = x + 100$
• 첫 식을 둘째 식에 대입: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\,x = x + 100$ → $3x = x + 100$ → $x = 50$
• $h = \sqrt{3} \cdot 50 = 50\sqrt{3}\,\text{m}$

📖 풀이:
점화식을 차례로 적용한다.
• $a_1 = 2$
• $a_2 = a_1 + 3\cdot 1 = 2 + 3 = 5$
• $a_3 = a_2 + 3\cdot 2 = 5 + 6 = 11$
• $a_4 = a_3 + 3\cdot 3 = 11 + 9 = 20$
• $a_5 = a_4 + 3\cdot 4 = 20 + 12 = 32$
검산(계차합): $a_5 = a_1 + \sum_{k=1}^{4} 3k = 2 + 3 \cdot \dfrac{4 \cdot 5}{2} = 2 + 30 = 32$. ✓

📖 풀이:
$x = 3$에서 연속이려면 $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) = a$여야 한다.
• $\dfrac{0}{0}$ 꼴이므로 인수분해로 부정형을 푼다.
• $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3$ (단, $x \neq 3$)
• $\lim_{x \to 3}(x + 3) = 6$
• 따라서 $a = 6$

📖 풀이:
접점에서의 미분계수가 접선의 기울기 $m$이다.
• $y' = 3x^2 - 4x + 1$
• $m = y'(1) = 3 - 4 + 1 = 0$
접선의 방정식은 점 $(1, 1)$을 지나고 기울기가 $0$이므로:
• $y - 1 = 0 \cdot (x - 1)$ → $y = 1$
• $m = 0$, $n = 1$이므로 $m + n = 1$

📖 풀이:
두 곡선의 교점을 먼저 구한다.
• $x^2 - 4 = -x^2 + 2x$ → $2x^2 - 2x - 4 = 0$ → $(x-2)(x+1) = 0$
• 교점의 x좌표: $x = -1, 2$
구간 $[-1, 2]$에서 $-x^2 + 2x$가 위쪽임을 확인한다(예: $x=0$에서 위 $0$, 아래 $-4$).
넓이 $S$는:
$S = \displaystyle\int_{-1}^{2}\big[(-x^2+2x) - (x^2-4)\big]\,dx = \int_{-1}^{2}(-2x^2+2x+4)\,dx$
$= \left[-\dfrac{2x^3}{3} + x^2 + 4x\right]_{-1}^{2}$
$= \left(-\dfrac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\dfrac{2}{3} + 1 - 4\right) = \dfrac{20}{3} - \left(-\dfrac{7}{3}\right) = \dfrac{27}{3} = 9$

📖 풀이:
코사인법칙: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.
• $b^2 + c^2$를 합과 곱으로 표현: $b^2 + c^2 = (b+c)^2 - 2bc = 8^2 - 2 \cdot 12 = 64 - 24 = 40$
• $2bc\cos A = 2 \cdot 12 \cdot \dfrac{1}{4} = 6$
• 대입: $a^2 = 40 - 6 = 34$
• $a > 0$이므로 $a = \sqrt{34}$

📖 풀이:
실제로 움직인 거리는 $\displaystyle\int_0^4 |v(t)|\,dt$.
• $v(t) = 3t(t - 2) = 0$의 해는 $t = 0, 2$
• $0 \leq t \leq 2$: $v(t) \leq 0$ (점 P가 음의 방향)
• $2 \leq t \leq 4$: $v(t) \geq 0$ (점 P가 양의 방향)
구간을 나누어 계산한다.
[1] $\int_0^2 -(3t^2 - 6t)\,dt = \int_0^2 (6t - 3t^2)\,dt = [3t^2 - t^3]_0^2 = 12 - 8 = 4$
[2] $\int_2^4 (3t^2 - 6t)\,dt = [t^3 - 3t^2]_2^4 = (64 - 48) - (8 - 12) = 16 - (-4) = 20$
총 움직인 거리 = $4 + 20 = 24$

📖 풀이:
$x = 1$에서 연속이려면 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 한다. 좌극한: $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} 2x = 2$. 우극한 및 함숫값: $f(1) = 1 + a$. 따라서 $1 + a = 2$이므로 $a = 1$.

📖 풀이:
등대 발치를 $\text{F}$, 꼭대기를 $\text{T}$라 하고 $\overline{\text{PF}}=a$, $\overline{\text{QF}}=b$라 하자. 직각삼각형에서 $\tan 30° = \dfrac{h}{a}$이므로 $a = h\sqrt{3}$. $\tan 60° = \dfrac{h}{b}$이므로 $b = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$. 한편 $a - b = 20$이므로 $h\sqrt{3} - \dfrac{h}{\sqrt{3}} = \dfrac{3h - h}{\sqrt{3}} = \dfrac{2h}{\sqrt{3}} = 20$. 따라서 $h = 10\sqrt{3}\,(\text{m})$.