📝 고2 수학 일반

📖 풀이:
1단계: 진수 조건 $x-1>0$, $x+1>0$이므로 $x>1$
2단계: 좌변 $\log_2[(x-1)(x+1)] = \log_2(x^2-1)$
3단계: $x^2 - 1 = 2^3 = 8$, $x^2 = 9$, $x = \pm 3$
4단계: 진수 조건에서 $x>1$이므로 $x=3$

📖 풀이:
1단계: $\sum_{k=1}^{10}(2k+3) = 2\sum_{k=1}^{10}k + \sum_{k=1}^{10}3$
2단계: $\sum_{k=1}^{10}k = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$
3단계: $2 \cdot 55 + 3 \cdot 10 = 110 + 30 = 140$

📖 풀이:
1단계: 연속 조건 $\lim_{x\to 1^-}f(x) = \lim_{x\to 1^+}f(x) = f(1)$
2단계: 좌극한 $\lim_{x\to 1^-}(x^2+a) = 1+a$
3단계: 우극한 $\lim_{x\to 1^+}(3x-1) = 2$
4단계: $1 + a = 2$이므로 $a = 1$

📖 풀이:
1단계: 밑 $\frac{1}{2}$가 $0<\text{밑}<1$이므로 부등식 방향이 뒤집힘
2단계: $x^2 - 3 \leq 2x$
3단계: $x^2 - 2x - 3 \leq 0$, $(x-3)(x+1) \leq 0$
4단계: $-1 \leq x \leq 3$

📖 풀이:
1단계: $f(x) = x^3 - 2x + 1$, $f'(x) = 3x^2 - 2$
2단계: 점 $(1,0)$에서 접선의 기울기 $f'(1) = 3 - 2 = 1$
3단계: 접선의 방정식 $y - 0 = 1 \cdot (x - 1)$, 즉 $y = x - 1$
4단계: $x$축과 만나는 점은 $y=0$일 때 $x = 1$
5단계: 접점이 $x$축 위의 점이므로 접선이 $x$축과 만나는 점은 접점 $(1,0)$ 자체. 따라서 $x=1$

📖 풀이:
1단계: $y = x^2 - 4 = 0$의 해는 $x = \pm 2$
2단계: 구간 $[-2, 2]$에서 $x^2 - 4 \leq 0$이므로 곡선이 $x$축 아래
3단계: 넓이 $S = \int_{-2}^{2}|x^2-4|\,dx = \int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx$
4단계: $\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

📖 풀이:
$\sqrt[4]{27} = 27^{1/4} = (3^3)^{1/4} = 3^{3/4}$이다. 따라서 $\log_3 \sqrt[4]{27} = \log_3 3^{3/4} = \frac{3}{4}$이다.

📖 풀이:
도함수 $f'(x) = 3x^2 + 4x - 5$를 구한다. $f'(2) = 3(4) + 4(2) - 5 = 12 + 8 - 5 = 15$이다.

📖 풀이:
코사인법칙 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$에서 $64 = 49 + 25 - 2(7)(5)\cos B = 74 - 70\cos B$이다. 따라서 $70\cos B = 10$, $\cos B = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$이다.

📖 풀이:
$(2k+1)^2 - (2k-1)^2 = \{(2k+1)+(2k-1)\}\{(2k+1)-(2k-1)\} = (4k)(2) = 8k$이다. 따라서 $\sum_{k=1}^{10}\{(2k+1)^2 - (2k-1)^2\} = \sum_{k=1}^{10} 8k = 8 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} = 8 \cdot 55 = 440$이다. 망원합으로 직접 계산해도 $\sum_{k=1}^{10}\{(2k+1)^2-(2k-1)^2\} = 21^2 - 1^2 = 441 - 1 = 440$이다. 따라서 정답은 ④ 440이다.

📖 풀이:
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하면 $2(1-\cos^2 x) - 3\cos x - 3 = 0$, 즉 $-2\cos^2 x - 3\cos x - 1 = 0$이고 양변에 $-1$을 곱하면 $2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0$이다. $\cos x = t$로 치환하면 $(2t+1)(t+1) = 0$이므로 $t = -\frac{1}{2}$ 또는 $t = -1$이다. $\cos x = -\frac{1}{2}$일 때 $x = \frac{2\pi}{3}$ 또는 $x = \frac{4\pi}{3}$이고, $\cos x = -1$일 때 $x = \pi$이다. 따라서 모든 해의 합은 $\frac{2\pi}{3} + \pi + \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi + 3\pi + 4\pi}{3} = \frac{9\pi}{3} = 3\pi$이다.

📖 풀이:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$이므로 $f'(x) = 0$의 해는 $x=1, 3$이다. $x=1$에서 극대, $x=3$에서 극소이다. 극댓값 $f(1) = 1 - 6 + 9 + k = 4 + k$, 극솟값 $f(3) = 27 - 54 + 27 + k = k$이다. 두 극값의 곱이 $5$이므로 $k(4+k) = 5$, 즉 $k^2 + 4k - 5 = 0$, $(k-1)(k+5) = 0$에서 $k = 1$ 또는 $k = -5$이다. 두 극값이 모두 양수이려면 극솟값 $k > 0$이어야 하므로 $k = 1$이다. 따라서 극댓값은 $f(1) = 4 + k = 5$이다.

📖 풀이:
$y = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$의 x절편은 $x=1, 3$이다. $1 < x < 3$에서 $y < 0$이므로 넓이는

$S = -\int_1^3 (x^2-4x+3)dx = -\left[\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x\right]_1^3$
$= -\left\{(9 - 18 + 9) - (\frac{1}{3} - 2 + 3)\right\} = -\left\{0 - \frac{4}{3}\right\} = \frac{4}{3}$이다.

📖 풀이:
밑변환 공식을 이용하여 밑을 2로 통일한다. $\log_4 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 4} = \dfrac{5}{2}$. 따라서 답은 $\dfrac{5}{2}$이다.

📖 풀이:
등비수열의 일반항은 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$이다. $a_5 = 3 \cdot (-2)^4 = 3 \cdot 16 = 48$. 음의 공비라도 짝수 번째 거듭제곱은 양수가 됨에 유의한다.

📖 풀이:
$\dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}$이므로 제3사분면 각이다. $\cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$. 단위원 위의 동경 끝점의 x좌표가 코사인 값임을 이용한다.

📖 풀이:
$f(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$로 전개하면 $f'(x) = 2x + 2$. 따라서 $f'(2) = 2 \cdot 2 + 2 = 6$. 합성함수의 미분으로도 $f'(x) = 2(x+1)$로 같은 결과를 얻는다.

📖 풀이:
$\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^2+1)\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3} + x\right]_{-1}^{1} = \left(\dfrac{1}{3} + 1\right) - \left(-\dfrac{1}{3} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + 2 = \dfrac{8}{3}$. 피적분함수가 우함수(짝수함수)이므로 $2\int_0^1 (x^2+1)\,dx$로 계산해도 된다.

📖 풀이:
점 $(3, 10)$을 함수식에 대입하면 $10 = 2^3 + a$. 즉 $10 = 8 + a$이므로 $a = 2$. 이때 그래프는 $y = 2^x$를 y축 방향으로 2만큼 평행이동한 것이며, 점근선은 $y = 2$이다.

📖 풀이:
외접원 반지름을 $R$이라 하면 $a = 2R\sin A$이므로 $a:b:c = \sin A:\sin B:\sin C = 3:4:5$. $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$이므로 삼각형 $ABC$는 변 $c$가 빗변인 직각삼각형 ($\angle C = 90°$)이다. 따라서 각 $A$에서 $\cos A = \dfrac{\text{인접변}}{\text{빗변}} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{4}{5}$.

📖 풀이:
점화식에 차례로 대입한다. $a_2 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$, $a_3 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$, $a_4 = 2 \cdot 7 + 1 = 15$. (참고로 일반항은 $a_n = 2^n - 1$로 메르센 수의 형태이다.)

📖 풀이:
$\dfrac{0}{0}$ 꼴의 부정형이므로 분자·분모를 인수분해한다. $x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$, $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. 따라서 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x\to 1}\dfrac{x^2+x+1}{x+1} = \dfrac{1+1+1}{1+1} = \dfrac{3}{2}$.

📖 풀이:
원에 내접하는 사각형이므로 $\angle A + \angle C = 180°$, 즉 $\cos C = -\cos A$. 삼각형 $ABD$에서 $BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2\cdot AB\cdot AD\cos A = 4 + 9 - 12\cos A = 13 - 12\cos A$. 삼각형 $BCD$에서 $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2\cdot BC\cdot CD\cos C = 36 + 25 + 60\cos A = 61 + 60\cos A$. 두 식을 연립하면 $13 - 12\cos A = 61 + 60\cos A$, $\cos A = -\dfrac{2}{3}$. 따라서 $BD^2 = 13 - 12\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right) = 13 + 8 = 21$, $\overline{BD} = \sqrt{21}$.

📖 풀이:
양변에 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1 + 2a_n}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 2$. 즉 수열 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$은 첫째항 $\dfrac{1}{2}$, 공차 $2$인 등차수열이다. 일반항은 $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{1}{2} + 2(n-1) = \dfrac{4n - 3}{2}$이므로 $a_n = \dfrac{2}{4n-3}$. 따라서 $a_5 = \dfrac{2}{4\cdot 5 - 3} = \dfrac{2}{17}$.

📖 풀이:
$f(x) = x^3 - 3x^2 + a$이라 하면 $f(1) = 1 - 3 + a = a - 2$, $f'(x) = 3x^2 - 6x$, $f'(1) = -3$. 점 $(1, a-2)$에서의 접선은 $y - (a - 2) = -3(x - 1)$, 즉 $y = -3x + a + 1$. 이 직선이 원점 $(0, 0)$을 지나므로 $0 = a + 1$, $a = -1$.