📝 고2 수학 일반

📖 풀이:
1단계: 두 변과 끼인각이 주어진 삼각형의 넓이는 $S = \frac{1}{2}bc\sin A$로 구한다.
2단계: $S = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \times \sin 60° = 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
3단계: 따라서 $S = 12\sqrt{3}$

📖 풀이:
1단계: 점화식의 양변에 $1$을 더하면 $a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$
2단계: $b_n = a_n + 1$로 치환하면 $\{b_n\}$은 $b_1 = 2$, 공비 $2$인 등비수열이므로 $b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$
3단계: 따라서 $a_n = 2^n - 1$이고, $a_5 = 2^5 - 1 = 31$

📖 풀이:
1단계: 분자 $x^2 - 3x + 2$를 인수분해하면 $(x-1)(x-2)$
2단계: $\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-1} = x - 2$ ($x \ne 1$)
3단계: $\lim_{x \to 1}(x - 2) = 1 - 2 = -1$

📖 풀이:
1단계: 그래프가 점 $(8, 3)$을 지나므로 $\log_a 8 = 3$
2단계: 로그의 정의에 의해 $a^3 = 8$
3단계: $8 = 2^3$이므로 $a = 2$

📖 풀이:
1단계: $\cos x = -\frac{1}{2}$인 기준각은 $\frac{\pi}{3}$이고, $\cos$ 값이 음수인 사분면은 제2, 제3사분면이다.
2단계: $0 \leq x \leq 2\pi$ 범위의 두 해는 $x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$와 $x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$
3단계: 두 해의 합은 $\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$

📖 풀이:
1단계: 부정적분을 구하면 $\int (3x^2 - 2x + 1)\, dx = x^3 - x^2 + x + C$
2단계: $\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\, dx = \left[x^3 - x^2 + x\right]_0^2$
3단계: $= (8 - 4 + 2) - 0 = 6$

📖 풀이:
1단계: 합을 분리하면 $\sum_{k=1}^{10}(2k-1) = 2\sum_{k=1}^{10} k - \sum_{k=1}^{10} 1$
2단계: $\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$, $\sum_{k=1}^{10} 1 = 10$
3단계: $2 \times 55 - 10 = 110 - 10 = 100$

📖 풀이:
1단계: 코사인법칙에 의해 $\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \cos A = 36 + 16 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4} = 52 - 12 = 40$
2단계: $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$이므로 $\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ($A$는 삼각형의 내각이므로 양수)
3단계: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 3\sqrt{15}$, 따라서 $\overline{BC}^2 \cdot S = 40 \cdot 3\sqrt{15} = 120\sqrt{15}$

📖 풀이:
1단계: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$이므로 $x = 0$에서 극대, $x = 2$에서 극소가 된다.
2단계: 극댓값은 $f(0) = k$, 극솟값은 $f(2) = 8 - 12 + k = k - 4$
3단계: 삼차함수가 $x$축과 서로 다른 세 점에서 만나려면 (극댓값) $\times$ (극솟값) $< 0$, 즉 $k(k - 4) < 0$이므로 $0 < k < 4$

📖 풀이:
1단계: $v(t) = 6t(t - 1)$이므로 $v(t) = 0$인 시각은 $t = 0, 1$. $0 < t < 1$에서 $v(t) < 0$, $t > 1$에서 $v(t) > 0$
2단계: 실제 움직인 거리는 $\int_0^3 |v(t)|\, dt = \int_0^1 (6t - 6t^2)\, dt + \int_1^3 (6t^2 - 6t)\, dt$
3단계: $\int_0^1 (6t - 6t^2)\, dt = [3t^2 - 2t^3]_0^1 = 1$, $\int_1^3 (6t^2 - 6t)\, dt = [2t^3 - 3t^2]_1^3 = (54 - 27) - (2 - 3) = 28$. 따라서 총 이동거리는 $1 + 28 = 29$

📖 풀이:
로그의 뺄셈은 진수의 나눗셈과 같다. $\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 \frac{24}{3} = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$이다.

📖 풀이:
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$이므로 $\cos^2\theta = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$. 제1사분면에서 $\cos\theta > 0$이므로 $\cos\theta = \frac{3}{5}$이다.

📖 풀이:
$a_5 = a_1 + 4d$이므로 $19 = 3 + 4d$. 따라서 $4d = 16$, $d = 4$이다.

📖 풀이:
$\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$이므로 부등식은 $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} > \left(\frac{1}{2}\right)^3$. 밑 $\frac{1}{2}$가 1보다 작으므로 부등호 방향이 바뀌어 $x-1 < 3$, 즉 $x < 4$이다.

📖 풀이:
코사인법칙 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$를 적용하면 $c^2 = 49 + 64 - 2\cdot 7\cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 113 - 56 = 57$. 따라서 $c = \sqrt{57}$이다.

📖 풀이:
$\frac{0}{0}$ 부정형이므로 분자를 인수분해한다. $\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$. 따라서 $\displaystyle\lim_{x\to 2}(x+2) = 4$이다.

📖 풀이:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$이므로 $x=1$에서 극대, $x=3$에서 극소. $f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$, $f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$. 따라서 차는 $5 - 1 = 4$이다.

📖 풀이:
$\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx = \left[x^3 - x^2 + x\right]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = 6$이다.

📖 풀이:
사인법칙 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$에서 $\frac{a}{\sin 30°} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 45°}$. 따라서 $a = \frac{\sin 30°}{\sin 45°} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 4\sqrt{2} = 4$이다.

📖 풀이:
$x=2$에서 연속이려면 $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2+ax-6}{x-2}$가 존재해야 한다. 분모가 0이 되므로 분자도 0이어야 하니 $4 + 2a - 6 = 0$, $a = 1$. 그러면 $\frac{x^2+x-6}{x-2} = \frac{(x-2)(x+3)}{x-2} = x+3$이고 극한값은 $5$. 따라서 $b=5$, $a+b=6$이다.

📖 풀이:
$(2k-1)^2 = 4k^2 - 4k + 1$이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(4k^2 - 4k + 1) = 4\sum k^2 - 4\sum k + \sum 1 = 4\cdot\frac{10\cdot 11\cdot 21}{6} - 4\cdot\frac{10\cdot 11}{2} + 10 = 4\cdot 385 - 220 + 10 = 1540 - 220 + 10 = 1330$이다.

📖 풀이:
교점은 $x^2 - 2x = x$에서 $x^2 - 3x = 0$, $x = 0$ 또는 $x = 3$. 구간 $[0, 3]$에서 직선이 포물선 위에 있으므로 넓이 $S = \displaystyle\int_0^3 \{x - (x^2 - 2x)\}dx = \int_0^3 (3x - x^2)dx = \left[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}$이다.

📖 풀이:
1단계: $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$
2단계: $\log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-3} = -3$
3단계: $3 + (-3) = 0$

📖 풀이:
1단계: 등비수열의 일반항 $a_n = a \cdot r^{n-1}$
2단계: $a_4 = 2 \cdot 3^{4-1} = 2 \cdot 27 = 54$

📖 풀이:
1단계: $\int (3x^2+1)\,dx = x^3 + x + C$
2단계: $[x^3 + x]_0^2 = (8 + 2) - (0 + 0) = 10$