📝 고2 수학 일반

📖 풀이:
단계 1: $\log_2 \sqrt{2} = \log_2 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.
단계 2: $\log_4 8$에서 밑변환을 한다. $\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$.
단계 3: $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$.

📖 풀이:
단계 1: 라디안을 도수로 변환할 때 $\pi$ 라디안 = $180°$를 이용한다.
단계 2: $\frac{5\pi}{6}$ 라디안 $= \frac{5}{6} \times 180° = 150°$.
따라서 답은 $150°$이다.

📖 풀이:
단계 1: $y = \log_2(x-1) + 2$는 $y = \log_2 x$를 $x$축 방향으로 +1, $y$축 방향으로 +2 평행이동한 그래프이다.
단계 2: 정의역은 $x - 1 > 0$, 즉 $x > 1$. 따라서 ②는 거짓.
단계 3: 점근선은 $x - 1 = 0$, 즉 $x = 1$. ①은 거짓.
단계 4: $x = 2$ 대입: $y = \log_2 1 + 2 = 0 + 2 = 2$. 점 $(2, 2)$를 지난다. ③ 정답.
단계 5: $y$축 방향으로 +2만큼 이동했으므로 ④는 거짓.

📖 풀이:
단계 1: $\cos x$의 치역은 $-1 \le \cos x \le 1$.
단계 2: $2\cos x$의 치역은 $-2 \le 2\cos x \le 2$.
단계 3: $2\cos x + 1$의 치역은 $-1 \le 2\cos x + 1 \le 3$.
단계 4: 최댓값 3 ($\cos x = 1$, 즉 $x=0, 2\pi$일 때), 최솟값 $-1$ ($\cos x = -1$, 즉 $x = \pi$일 때).
단계 5: 합 $= 3 + (-1) = 2$.

📖 풀이:
단계 1: 다항함수의 부정적분 공식 $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$를 항별로 적용한다.
단계 2: $\int 3x^2\,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.
단계 3: $\int -4x\,dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$.
단계 4: $\int 5\,dx = 5x$.
단계 5: 합치면 $x^3 - 2x^2 + 5x + C$.

📖 풀이:
단계 1: 평균변화율의 정의는 $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$이다.
단계 2: $f(4) = 16 + 12 = 28$.
단계 3: $f(1) = 1 + 3 = 4$.
단계 4: 평균변화율 $= \frac{28 - 4}{4 - 1} = \frac{24}{3} = 8$.

📖 풀이:
단계 1: 호도법에서 호의 길이 $l = r\theta$이므로 중심각 $\theta = \frac{l}{r} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.
단계 2: 부채꼴의 넓이 공식 $S = \frac{1}{2}r^2\theta$를 이용한다.
단계 3: $S = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{36 \cdot 2\pi}{6} = 12\pi$.
별해: $S = \frac{1}{2}rl = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\pi = 12\pi$로 더 빠르게 구할 수 있다.

📖 풀이:
단계 1: $n = m$일 때 가정: $\sum_{k=1}^{m}(2k-1) = m^2$.
단계 2: $n = m+1$일 때 좌변: $\sum_{k=1}^{m+1}(2k-1) = \sum_{k=1}^{m}(2k-1) + (2(m+1) - 1)$.
단계 3: 따라서 추가되는 항은 $k = m+1$일 때의 항인 $2(m+1) - 1 = 2m + 1$이다.
단계 4: 검증: $m^2 + (2m+1) = (m+1)^2$이 성립하므로 귀납적 증명이 완료된다.

📖 풀이:
단계 1: 진수조건 확인. $x+1>0$이고 $x-2>0$이어야 하므로 $x > 2$.
단계 2: 좌변을 합친다. $\log_2((x+1)(x-2)) \le 2 = \log_2 4$.
단계 3: 밑이 2(>1)이므로 부등식 방향 유지: $(x+1)(x-2) \le 4$.
단계 4: 전개하면 $x^2 - x - 2 \le 4$, 즉 $x^2 - x - 6 \le 0$.
단계 5: 인수분해 $(x-3)(x+2) \le 0$, 따라서 $-2 \le x \le 3$.
단계 6: 진수조건 $x>2$와의 교집합: $2 < x \le 3$.
단계 7: 자연수는 $x = 3$ 하나. 답은 1개.

📖 풀이:
단계 1: 도함수를 구한다. $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$.
단계 2: $f'(x) = 0$의 해는 $x = 0, 2$. 둘 다 닫힌구간 $[-1, 3]$ 내부에 있다.
단계 3: 끝점과 임계점에서의 함숫값을 계산한다.
$f(-1) = -1 - 3 + 2 = -2$.
$f(0) = 0 - 0 + 2 = 2$.
$f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$.
$f(3) = 27 - 27 + 2 = 2$.
단계 4: 최댓값 $= 2$ ($x = 0$ 또는 $x = 3$에서), 최솟값 $= -2$ ($x = -1$ 또는 $x = 2$에서).
단계 5: 합 $= 2 + (-2) = 0$.

📖 풀이:
각 항을 차례로 정리한다.
1) 항등식 $a^{\log_a x} = x$ 에 의해 $3^{\log_3 5} = 5$.
2) $\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$.
3) $\log_2 \sqrt{8} = \log_2 8^{1/2} = \dfrac{1}{2}\log_2 8 = \dfrac{1}{2}\cdot 3 = \dfrac{3}{2}$.
따라서 (주어진 식) $= 5 - 2 + \dfrac{3}{2} = 3 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2}$.

📖 풀이:
$y = 2^{x+1} - 3$ 의 점근선은 $y = -3$ 이고, $2^{x+1} > 0$ 이므로 항상 $y > -3$ 이다.
1) y절편: $x=0 \Rightarrow y = 2 - 3 = -1$ (음수).
2) x절편: $2^{x+1} = 3 \Rightarrow x = \log_2 3 - 1 \approx 0.58$ (양수).
3) $x < 0$ 이면 $y < 2^1 - 3 = -1 < 0$ 이므로 점은 제3사분면 또는 y축 음의 부분.
4) $x > 0$ 일 때, $0 < x < \log_2 3 - 1$ 이면 $y < 0$ 이므로 제4사분면, $x > \log_2 3 - 1$ 이면 $y > 0$ 이므로 제1사분면.
따라서 그래프는 제1, 3, 4 사분면을 지나지만 $x<0,\ y>0$ 인 제2사분면은 지나지 않는다.

📖 풀이:
동경이 같다는 것은 두 각이 $2\pi$ 의 정수배만큼 차이남을 뜻한다.
$\dfrac{17\pi}{6} - 2\pi = \dfrac{17\pi}{6} - \dfrac{12\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$.
이때 $0 \le \dfrac{5\pi}{6} < 2\pi$ 이므로 조건을 만족한다.
따라서 $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$.

📖 풀이:
시그마의 분배성과 합 공식을 사용한다.
$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(2k+3) = 2\sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} 3$
$= 2\cdot\dfrac{10\cdot 11}{2} + 3\cdot 10$
$= 2\cdot 55 + 30 = 110 + 30 = 140$.

📖 풀이:
다항함수의 미분법을 그대로 적용한다.
$f'(x) = 6x^2 - 2x$.
$f'(2) = 6\cdot 4 - 2\cdot 2 = 24 - 4 = 20$.

📖 풀이:
$\overline{\mathrm{BC}} = x$ 라 두면 $\overline{\mathrm{AC}} = x + 30$.
점 B에서: $\tan 60° = \dfrac{h}{x} \Rightarrow h = \sqrt{3}\,x$ ... ①
점 A에서: $\tan 30° = \dfrac{h}{x+30} \Rightarrow h = \dfrac{x+30}{\sqrt{3}}$ ... ②
①, ② 에서 $\sqrt{3}\,x = \dfrac{x+30}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow 3x = x + 30 \Rightarrow 2x = 30 \Rightarrow x = 15$.
따라서 $h = \sqrt{3}\cdot 15 = 15\sqrt{3}$ m.

📖 풀이:
점화식에 차례로 대입한다.
$a_1 = 1$
$a_2 = 2\cdot 1 + 3 = 5$
$a_3 = 2\cdot 5 + 3 = 13$
$a_4 = 2\cdot 13 + 3 = 29$
$a_5 = 2\cdot 29 + 3 = 61$.
[참고] 양변에 3을 더하면 $a_{n+1}+3 = 2(a_n+3)$ 이므로 수열 $\{a_n+3\}$ 은 첫째항 $4$, 공비 $2$ 인 등비수열이고, $a_n + 3 = 4\cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$, 즉 $a_n = 2^{n+1} - 3$. $a_5 = 2^6 - 3 = 61$.

📖 풀이:
적분 변수가 $t$ 이고 위끝이 $x$ 이므로 직접 계산한다.
$f(x) = \displaystyle\int_0^x (3t^2 - 2t)\,dt = \Big[t^3 - t^2\Big]_0^x = x^3 - x^2$.
따라서 $f(2) = 2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4$.

📖 풀이:
삼각형 $\mathrm{ABD}$ 에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 4$, $\overline{\mathrm{AD}} = 6$, 끼인각 $\angle \mathrm{BAD} = 60°$.
끼인각이 주어진 두 변의 대변에 대한 공식을 적용하면:
$\overline{\mathrm{BD}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AD}}^2 - 2\cdot\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AD}}\cos 60°$
$= 16 + 36 - 2\cdot 4\cdot 6\cdot \dfrac{1}{2}$
$= 52 - 24 = 28$.
따라서 $\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

📖 풀이:
1) 일반항을 구한다.
$n \ge 2$ 일 때 $a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - \{(n-1)^2 + 2(n-1)\}$
$= (n^2 - (n-1)^2) + 2 = (2n - 1) + 2 = 2n + 1$.
또 $a_1 = S_1 = 3 = 2\cdot 1 + 1$ 이므로 모든 자연수 $n$ 에 대해 $a_n = 2n+1$.
2) 부분분수 변환.
$\dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k+3}\right)$.
3) 합 계산.
$\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{23}\right) = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{20}{69} = \dfrac{10}{69}$.

📖 풀이:
분모가 $x \to 2$ 일 때 $0$ 으로 수렴하는데 극한값이 유한($=5$)하므로 분자도 $x \to 2$ 일 때 $0$ 으로 수렴해야 한다.
1) $4 + 2a + b = 0 \Rightarrow b = -2a - 4$ ... ①
2) 분자를 $(x-2)(x+c)$ 형태로 인수분해하면 $x^2 + (c-2)x - 2c$, 따라서 $a = c - 2$, $b = -2c$.
3) 그러면 $\displaystyle\lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x+c)}{x-2} = 2 + c = 5 \Rightarrow c = 3$.
4) $a = 3 - 2 = 1$, $b = -2\cdot 3 = -6$.
따라서 $a + b = 1 + (-6) = -5$.

📖 풀이:
$f(x)$ 가 극값을 갖지 않으려면 도함수 $f'(x)$ 가 부호를 바꾸지 않아야 한다. 즉, 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f'(x) \ge 0$ 이어야 한다.
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + (a+6)$.
이차계수 $3 > 0$ 이므로 모든 $x$ 에서 $f'(x) \ge 0$ 일 조건은 판별식 $\le 0$ 이다.
$\dfrac{D}{4} = a^2 - 3(a+6) \le 0$
$\Rightarrow a^2 - 3a - 18 \le 0$
$\Rightarrow (a - 6)(a + 3) \le 0$
$\Rightarrow -3 \le a \le 6$.
[보충] $a = -3$ 또는 $a = 6$ 이면 $f'(x)$ 가 한 점에서 $0$ 이고 다른 곳에서 양이므로 극값이 없다(증가함수). 등호 포함.

📖 풀이:
1단계: $\sqrt[3]{27} = 27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3$
2단계: $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$
3단계: 두 값을 곱하면 $3 \times 2 = 6$

📖 풀이:
1단계: 등비수열의 일반항 공식은 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$이다.
2단계: $a_1 = 3$, $r = 2$이므로 $a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16$
3단계: 따라서 $a_5 = 48$

📖 풀이:
1단계: $F(x) = \int (3x^2 + 2x) dx = x^3 + x^2 + C$
2단계: $F(1) = 1 + 1 + C = 2 + C = 5$이므로 $C = 3$
3단계: 따라서 $F(x) = x^3 + x^2 + 3$, $F(2) = 8 + 4 + 3 = 15$