📝 고2 수학 일반

📖 풀이:
사인법칙에 의해 $a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$이므로 주어진 식 $a\cos A = b\cos B$의 양변에 대입하면 $2R\sin A \cos A = 2R\sin B \cos B$. 양변에 2를 곱하면 $\sin 2A = \sin 2B$. 이 식이 성립하려면 $2A = 2B$ 또는 $2A + 2B = \pi$이다. 첫째 경우 $A = B$이므로 $a = b$인 이등변삼각형(ㄱ). 둘째 경우 $A + B = \dfrac{\pi}{2}$이므로 $C = \pi - (A+B) = \dfrac{\pi}{2}$인 직각삼각형(ㄴ). 정삼각형은 $A=B=C=60°$이므로 $A=B$를 만족하여 ㄱ에 포함되며 가능(ㄷ). 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 가능하다.

📖 풀이:
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2)$이므로 $f'(x) = 0$의 해는 $x = 1, 2$. 증감을 살펴보면 $x < 1$에서 $f'>0$(증가), $1<x<2$에서 $f'<0$(감소), $x>2$에서 $f'>0$(증가). 따라서 $x=1$에서 극댓값 $f(1) = 2 - 9 + 12 - 3 = 2$, $x=2$에서 극솟값 $f(2) = 16 - 36 + 24 - 3 = 1$. 곡선 $y=f(x)$와 수평선 $y=k$가 서로 다른 세 점에서 만나려면 $k$가 극솟값과 극댓값 '사이'에 있어야 한다(등호 포함 시 두 점에서만 만남). 따라서 $1 < k < 2$이다.

📖 풀이:
1단계: 각 항을 소인수로 변환한다. $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$
2단계: $4^{-\frac{1}{2}} = (2^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
3단계: 두 값을 곱한다. $4 \times \frac{1}{2} = 2$

📖 풀이:
1단계: $y = \log_2 x$의 점근선은 $x=0$ (y축)이다.
2단계: $y = \log_2(x-1) + 3$은 $y = \log_2 x$를 x축 방향으로 +1, y축 방향으로 +3만큼 평행이동한 그래프이다.
3단계: 점근선도 x축 방향으로 +1만큼 이동하므로 점근선은 $x = 1$이다.

📖 풀이:
1단계: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$에서 $\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
2단계: $\cos\theta = \pm\frac{4}{5}$
3단계: $\theta$가 제2사분면의 각이므로 $\cos\theta < 0$이다. 따라서 $\cos\theta = -\frac{4}{5}$

📖 풀이:
1단계: 등차수열의 일반항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$이다.
2단계: $a_7 - a_3 = 4d = 19 - 7 = 12$이므로 공차 $d = 3$이다.
3단계: $a_3 = a_1 + 2d = a_1 + 6 = 7$이므로 $a_1 = 1$

📖 풀이:
1단계: $45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5$로 소인수분해한다.
2단계: 로그의 성질에 의해 $\log_2 45 = \log_2(3^2 \times 5) = \log_2 3^2 + \log_2 5$
3단계: $= 2\log_2 3 + \log_2 5 = 2a + b$

📖 풀이:
1단계: 두 변과 끼인각을 알 때 넓이 공식은 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$이다.
2단계: $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$을 대입한다.
3단계: $S = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

📖 풀이:
1단계: $\int (3x^2 - 2x + 1)dx = x^3 - x^2 + x + C$
2단계: 미적분의 기본정리에 의해 $\int_0^2 (3x^2-2x+1)dx = [x^3 - x^2 + x]_0^2$
3단계: $= (8 - 4 + 2) - 0 = 6$

📖 풀이:
$2^x = t$ ($t > 0$)로 치환하면 $4^x = t^2$, $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t$이다. 방정식은 $t^2 - 10t + 16 = 0$이 된다. 이를 풀면 $t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}$이므로 $t_1 = 8$, $t_2 = 2$이다. $2^\alpha = 8 = 2^3$, $2^\beta = 2 = 2^1$이므로 $\alpha = 3$, $\beta = 1$이다. 따라서 $\alpha + \beta = 4$이다. (근과 계수의 관계로도 $2^{\alpha+\beta} = t_1 t_2 = 16 = 2^4$이므로 $\alpha + \beta = 4$이다.) 정답은 ③ 4이다.

📖 풀이:
1단계: $f(x) = x^3 - 2x + 1$의 도함수는 $f'(x) = 3x^2 - 2$이다.
2단계: 접선의 기울기는 $f'(1) = 3 - 2 = 1$이다.
3단계: 점 $(1, 0)$을 지나고 기울기가 1인 접선의 방정식은 $y - 0 = 1 \cdot (x - 1)$, 즉 $y = x - 1$이다.
4단계: $y = 0$일 때 $x = 1$이므로 x축과의 교점은 $(1, 0)$이다.

📖 풀이:
1단계: 교점을 구한다. $x^2 - 2x = x$에서 $x^2 - 3x = 0$, $x(x-3) = 0$이므로 $x = 0$ 또는 $x = 3$이다.
2단계: $0 \leq x \leq 3$에서 $x \geq x^2 - 2x$이므로 넓이 $S = \int_0^3 \{x - (x^2 - 2x)\} dx = \int_0^3 (3x - x^2)dx$
3단계: $= \left[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2}$

📖 풀이:
양변을 밑 2로 통일한다. $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$, $8^{x-1} = (2^3)^{x-1} = 2^{3x-3}$. 밑이 같으므로 지수를 비교하면 $2x = 3x - 3$, 따라서 $x = 3$.

📖 풀이:
등차수열의 일반항 공식 $a_n = a_1 + (n-1)d$를 이용한다. $a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 1$이므로 $a_{10} = 4 \cdot 10 - 1 = 39$.

📖 풀이:
$f(x) = 2x^2 + 3x$의 도함수는 $f'(x) = 4x + 3$. 따라서 $f'(1) = 4 \cdot 1 + 3 = 7$.

📖 풀이:
사인법칙에 의해 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$. $a = \overline{BC} = 5$, $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$이므로 $2R = \dfrac{5}{\frac{1}{2}} = 10$, 즉 $R = 5$. 따라서 외접원의 넓이는 $\pi R^2 = 25\pi$.

📖 풀이:
점화식의 양변의 역수를 취하면 $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1 + 2a_n}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 2$. $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 치환하면 $b_1 = 1$, 공차 $2$인 등차수열. $b_n = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$이므로 $a_n = \dfrac{1}{2n - 1}$. 따라서 $a_5 = \dfrac{1}{9}$.

📖 풀이:
등비수열의 합 공식 $S_n = \dfrac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ (단, $r \neq 1$)을 이용. $S_5 = \dfrac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = \dfrac{2 \cdot 242}{2} = 242$.

📖 풀이:
$x=1$에서 연속일 조건은 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) = k$. $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x+1)(x-1)}{x - 1} = \lim\limits_{x \to 1}(x + 1) = 2$. 따라서 $k = 2$.

📖 풀이:
$y = A\sin(bx)$의 주기는 $\dfrac{2\pi}{|b|}$, 최댓값은 $|A|$. 여기서 $A = 2$, $b = \dfrac{1}{2}$이므로 주기 $= \dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi$, 최댓값 $= 2$. 합은 $4\pi + 2$.

📖 풀이:
속도가 음이 아닐 때 이동거리는 속도의 정적분과 같다. $\displaystyle\int_0^3 (2t + 3)\,dt = \left[t^2 + 3t\right]_0^3 = (9 + 9) - 0 = 18$.

📖 풀이:
$2^x > 4 = 2^2$로 양변의 밑을 같게 만든다. 지수함수 $y = 2^x$은 밑이 $1$보다 크므로 증가함수. 따라서 $x > 2$.

📖 풀이:
길이 $2$, $3$ 사이의 각을 $C$라 하면 대변은 $4$. 코사인법칙에서 $\cos C = \dfrac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \dfrac{-3}{12} = -\dfrac{1}{4}$. 삼각형의 내각이므로 $0 < C < \pi$에서 $\sin C > 0$. $\sin^2 C = 1 - \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{16}$이므로 $\sin C = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$. 넓이 $S = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin C = 3 \cdot \dfrac{\sqrt{15}}{4} = \dfrac{3\sqrt{15}}{4}$.

📖 풀이:
$\frac{0}{0}$ 꼴이므로 분자를 유리화한다. $\dfrac{\sqrt{x^2+5} - 3}{x - 2} \cdot \dfrac{\sqrt{x^2+5} + 3}{\sqrt{x^2+5} + 3} = \dfrac{x^2 + 5 - 9}{(x-2)(\sqrt{x^2+5}+3)} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(\sqrt{x^2+5}+3)} = \dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}$. $x \to 2$일 때 $\dfrac{4}{\sqrt{9} + 3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

📖 풀이:
밑면은 한 변의 길이가 $12 - 2x$인 정사각형, 높이는 $x$. 부피 $V(x) = x(12 - 2x)^2$. $V'(x) = (12-2x)^2 + x \cdot 2(12-2x)(-2) = (12-2x)\left\{(12-2x) - 4x\right\} = (12-2x)(12-6x)$. $V'(x) = 0$에서 $x = 6$ 또는 $x = 2$. 정의역 $0 < x < 6$에서 $x = 2$가 유일한 임계점이고 이때 최대. $V(2) = 2 \cdot (12 - 4)^2 = 2 \cdot 64 = 128$.