📝 고2 수학 일반

📖 풀이:
단계1: $n \ge 2$에서 $a_n = S_n - S_{n-1}$을 이용한다.
단계2: $S_{n-1} = (n-1)^2 + 3(n-1) = n^2 - 2n + 1 + 3n - 3 = n^2 + n - 2$이다.
단계3: 따라서 $a_n = (n^2+3n) - (n^2+n-2) = 2n + 2$이고, $a_{10} = 22$이다.

📖 풀이:
단계1: 교점은 $-x^2+4=1$에서 $x^2=3$, 즉 $x = \pm\sqrt{3}$이다.
단계2: 구간 $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$에서 위쪽 함수는 $-x^2+4$이므로 $\displaystyle S = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(3 - x^2)\,dx$이다.
단계3: 피적분함수가 우함수이므로 $S = 2\int_0^{\sqrt{3}}(3-x^2)\,dx = 2\Big[3x - \dfrac{x^3}{3}\Big]_0^{\sqrt{3}} = 2(3\sqrt{3} - \sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$이다.

📖 풀이:
단계1: 평균변화율은 $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1} = \dfrac{(27-27)-(1-3)}{2} = \dfrac{0-(-2)}{2} = 1$이다.
단계2: $f'(x) = 3x^2 - 6x$이므로 $f'(2) = 12 - 12 = 0$이다.
단계3: 따라서 (평균변화율) $-$ $f'(2) = 1 - 0 = 1$이다.

📖 풀이:
단계1: 원에 내접하는 정육각형은 중심각 $\dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}$인 합동 정삼각형 6개로 나뉜다.
단계2: 각 정삼각형은 두 변이 반지름 $3$이고 끼인각이 $\dfrac{\pi}{3}$이므로 한 변의 길이가 모두 $3$인 정삼각형이고, 넓이는 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3^2 = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}$이다.
단계3: 따라서 정육각형의 넓이는 $6 \times \dfrac{9\sqrt{3}}{4} = \dfrac{27\sqrt{3}}{2}$이다.

📖 풀이:
단계1: 양변의 역수를 취하기 위해 $b_n = \dfrac{1}{a_n}$으로 놓는다. 그러면 $b_{n+1} = \dfrac{1+2a_n}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 2 = b_n + 2$이다.
단계2: $\{b_n\}$은 $b_1 = \dfrac{1}{a_1} = 1$이고 공차가 $2$인 등차수열이므로 $b_n = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$이다.
단계3: 따라서 $a_n = \dfrac{1}{b_n} = \dfrac{1}{2n-1}$이다.

📖 풀이:
단계1: 미적분학의 기본정리에 의해 $f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$이다.
단계2: $f'(x) = 0$의 해는 $x = 1$ 또는 $x = 3$이다.
단계3: $x=1$ 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $f(x)$는 $x=1$에서 극댓값을 갖는다.

📖 풀이:
단계1: 분자에 $f(1)$을 빼고 더해 두 부분으로 나눈다: $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1+2h)-f(1)}{h} + \lim_{h\to 0}\dfrac{f(1)-f(1-h)}{h}$.
단계2: 첫째 극한은 $\displaystyle 2\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1+2h)-f(1)}{2h} = 2f'(1)$이고, 둘째 극한은 $-h=k$로 치환하면 $\displaystyle\lim_{k\to 0}\dfrac{f(1+k)-f(1)}{k} = f'(1)$이다.
단계3: 따라서 두 극한의 합은 $2f'(1) + f'(1) = 3f'(1) = 3 \cdot 5 = 15$이다.

📖 풀이:
로그의 뺄셈은 진수의 나눗셈으로 바꿀 수 있다. $\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 \frac{18}{2} = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$이다.

📖 풀이:
다항함수 미분법에 의해 $(x^n)' = nx^{n-1}$, 상수의 미분은 0이다. 따라서 $f'(x) = 3x^2 - 4x + 0 = 3x^2 - 4x$이다.

📖 풀이:
$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \neq -1$)을 이용한다. $\int 4x^3 dx = x^4$, $\int (-6x) dx = -3x^2$, $\int 2 dx = 2x$이므로 답은 $x^4 - 3x^2 + 2x + C$이다.

📖 풀이:
$\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$이므로 부등식은 $\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2-2x} \geq \left(\frac{1}{3}\right)^3$이 된다. 밑 $\frac{1}{3} < 1$이므로 부등호 방향이 반전되어 $x^2 - 2x \leq 3$, 즉 $x^2 - 2x - 3 \leq 0$이다. 인수분해하면 $(x-3)(x+1) \leq 0$이므로 $-1 \leq x \leq 3$이다.

📖 풀이:
$\sum_{k=1}^{10}(2k+1) = 2\sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} 1 = 2 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} + 10 = 110 + 10 = 120$이다.

📖 풀이:
$x \to 2$일 때 분모, 분자가 모두 0이 되는 $\frac{0}{0}$ 부정형이다. 분자를 인수분해하면 $x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$, 분모는 $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$이다. $x \neq 2$에서 약분하면 $\frac{x^2+2x+4}{x+2}$이고, $x \to 2$ 대입하면 $\frac{4+4+4}{4} = \frac{12}{4} = 3$이다.

📖 풀이:
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$이다. $f'(x) = 0$의 해는 $x = 0, 2$이다. 증감표를 그리면 $x = 0$에서 부호가 +→-로 바뀌므로 극대, $x = 2$에서 -→+로 바뀌므로 극소이다. 따라서 극댓값은 $f(0) = 4$이다.

📖 풀이:
점화식에 차례로 대입한다. $a_1 = 1$, $a_2 = 2 \cdot 1 + 3 = 5$, $a_3 = 2 \cdot 5 + 3 = 13$, $a_4 = 2 \cdot 13 + 3 = 29$이다. 일반항으로 검증하면 $a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$이므로 $a_n + 3 = (a_1 + 3) \cdot 2^{n-1} = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$, 즉 $a_n = 2^{n+1} - 3$이다. 따라서 $a_4 = 2^5 - 3 = 32 - 3 = 29$이다. 정답은 ① 29이다.

📖 풀이:
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 대입하면 $2(1 - \cos^2 x) - 3\cos x = 0$, 즉 $2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0$이다. $\cos x = t$로 치환하면 $2t^2 + 3t - 2 = 0 \Rightarrow (2t-1)(t+2) = 0$, $t = \frac{1}{2}$ 또는 $t = -2$이다. $-1 \leq \cos x \leq 1$이므로 $\cos x = \frac{1}{2}$만 유효하다. $0 \leq x < 2\pi$에서 해는 $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$이고, 합은 $\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$이다.

📖 풀이:
양변을 같은 밑으로 통일한다. $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$이고 $27 = 3^3$이므로 $3^{2x} \geq 3^3$. 밑 $3 > 1$이므로 지수의 부등호 방향이 그대로 유지되어 $2x \geq 3$, 따라서 $x \geq \frac{3}{2}$이다.

📖 풀이:
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{4}{3}$이므로 비례를 이용해 직각삼각형의 세 변을 3, 4, 5로 둘 수 있다. 제3사분면에서는 $\sin\theta < 0$, $\cos\theta < 0$이므로 $\sin\theta = -\frac{4}{5}$, $\cos\theta = -\frac{3}{5}$. 따라서 $\sin\theta + \cos\theta = -\frac{4}{5} - \frac{3}{5} = -\frac{7}{5}$.

📖 풀이:
등비수열의 합 공식 $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ ($r \neq 1$)을 이용한다. $a_1 = 5$, $r = -2$, $n=6$이므로 $r^6 = (-2)^6 = 64$. 따라서 $S_6 = \frac{5(1-64)}{1-(-2)} = \frac{5 \cdot (-63)}{3} = \frac{-315}{3} = -105$이다.

📖 풀이:
먼저 도함수를 구한다. $f(x) = x^3 - 4x$이므로 $f'(x) = 3x^2 - 4$. 미분계수 $f'(2)$를 구하면 $f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 = 12 - 4 = 8$이다.

📖 풀이:
나무 높이를 $h$라 하자. 직각삼각형 $BPH$에서 $\tan 45° = \frac{h}{\overline{BH}}$이므로 $\overline{BH} = h$. 직각삼각형 $APH$에서 $\tan 30° = \frac{h}{\overline{AH}}$이므로 $\overline{AH} = \frac{h}{\tan 30°} = h\sqrt{3}$. $\overline{AH} - \overline{BH} = \overline{AB} = 50$이므로 $h\sqrt{3} - h = 50$, $h(\sqrt{3}-1) = 50$, $h = \frac{50}{\sqrt{3}-1} = \frac{50(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{50(\sqrt{3}+1)}{2} = 25(\sqrt{3}+1)$ (m).

📖 풀이:
먼저 부정적분(역도함수)을 구하면 $\int (x^2 + 2x) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + C$. 정적분의 값은 위끝과 아래끝에서의 함숫값의 차다. 위끝 대입: $\frac{2^3}{3} + 2^2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{20}{3}$. 아래끝 대입: $\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$. 따라서 정적분의 값은 $\frac{20}{3} - \frac{2}{3} = \frac{18}{3} = 6$이다.

📖 풀이:
$x \neq 2$에서는 분수함수가 연속이므로 $x = 2$에서의 연속만 확인하면 된다. $x \to 2$일 때 분모가 0이 되므로 극한이 존재하려면 분자도 $x = 2$를 대입했을 때 0이 되어야 한다. $4 + 2a - 6 = 0$이므로 $a = 1$. 이때 $\dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+3)}{x - 2} = x + 3$ ($x \neq 2$). $\lim_{x \to 2} (x+3) = 5$이므로 연속 조건에 의해 $b = 5$. 따라서 $a + b = 1 + 5 = 6$이다.

📖 풀이:
$\log_3 x = t$로 치환하면 방정식은 $t^2 - 4t + 3 = 0$이 된다. 인수분해하면 $(t-1)(t-3) = 0$이므로 $t = 1$ 또는 $t = 3$. 즉 $\log_3 x = 1$이면 $x = 3$, $\log_3 x = 3$이면 $x = 27$. 두 실근의 곱은 $3 \times 27 = 81$이다.

📖 풀이:
부분분수 분해를 이용한다. $\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right)$. 따라서 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{10}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right) = \dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{19} - \dfrac{1}{21}\right)\right]$. 망원합(중간항 소거)으로 $= \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{21}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{20}{21} = \dfrac{10}{21}$이다.