📝 고2 수학 일반

📖 풀이:
각 항을 소인수의 거듭제곱으로 표현한다. $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4$. $27^{-\frac{1}{3}} = (3^3)^{-\frac{1}{3}} = 3^{-1} = \dfrac{1}{3}$. $16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2$. 따라서 $4 \times \dfrac{1}{3} \times 2 = \dfrac{8}{3}$.

📖 풀이:
$y = x^2 - 2x = x(x-2)$이므로 $x$축과 만나는 점은 $x=0, 2$. 이 구간에서 $y \le 0$이므로 넓이는 $S = \int_0^2 |x^2-2x|\,dx = -\int_0^2 (x^2-2x)\,dx = -\left[\dfrac{x^3}{3}-x^2\right]_0^2 = -\left(\dfrac{8}{3}-4\right) = -\left(-\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{4}{3}$.

📖 풀이:
$f(x) = x^3 - 2x^2 + 3$이라 하면 $f'(x) = 3x^2 - 4x$. 접점에서의 기울기는 $f'(1) = 3 - 4 = -1$. 접선의 방정식은 $y - 2 = -1(x-1)$, 즉 $y = -x + 3$. $x$축과 만나는 점은 $y=0$일 때이므로 $0 = -x+3$, $x = 3$.

📖 풀이:
$\infty - \infty$ 부정형이므로 분모와 분자에 $\sqrt{x^2+3x+1}+x$를 곱한다. $\dfrac{(\sqrt{x^2+3x+1}-x)(\sqrt{x^2+3x+1}+x)}{\sqrt{x^2+3x+1}+x} = \dfrac{3x+1}{\sqrt{x^2+3x+1}+x}$. 분모·분자를 $x$로 나누면 $\dfrac{3+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}$. $x \to \infty$일 때 $\dfrac{3+0}{\sqrt{1}+1} = \dfrac{3}{2}$.

📖 풀이:
두 변과 그 사잇각이 주어졌으므로 삼각형의 넓이 공식 $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$를 적용한다. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin 60° = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.

📖 풀이:
1단계: 로그의 정의에 의해 $\log_2(x+3)=3$은 $x+3 = 2^3 = 8$과 같다.
2단계: $x = 8 - 3 = 5$.
3단계: 진수조건 $x+3 > 0$, 즉 $x > -3$이고 $x=5$는 이 조건을 만족한다.
따라서 답은 $x=5$.

📖 풀이:
1단계: $a_2 = 2a_1 + 3 = 2\times1 + 3 = 5$.
2단계: $a_3 = 2a_2 + 3 = 2\times5 + 3 = 13$.
따라서 $a_3 = 13$.

📖 풀이:
1단계: $x=0$일 때 $3^0 = 1$이므로 ①은 그래프 위의 점이다.
2단계: $x=1$일 때 $3^1 = 3$이므로 ②도 옳다.
3단계: $x=-1$일 때 $3^{-1} = \dfrac{1}{3}$이므로 ③도 옳다.
4단계: $x=2$일 때 $3^2 = 9 \ne 6$이므로 $(2,6)$은 그래프 위에 있지 않다.
따라서 옳지 않은 것은 ④.

📖 풀이:
1단계: 기본 관계식 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용한다.
2단계: $\cos^2\theta = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$.
3단계: $\cos\theta = \pm\dfrac{4}{5}$.
4단계: $\theta$가 제2사분면의 각이므로 $\cos\theta < 0$.
따라서 $\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$.

📖 풀이:
1단계: 사인법칙에 의해 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin A} = \dfrac{\overline{AC}}{\sin B}$.
2단계: $\dfrac{\sqrt{6}}{\sin 60°} = \dfrac{\overline{AC}}{\sin 45°}$.
3단계: $\overline{AC} = \dfrac{\sqrt{6} \cdot \sin 45°}{\sin 60°} = \dfrac{\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{4} = 2$.
따라서 $\overline{AC} = 2$.

📖 풀이:
1단계: $n=k+1$일 때 좌변의 마지막 항은 $2(k+1)-1 = 2k+1$이다.
2단계: 따라서 가정식의 양변에 $2k+1$을 더해야 한다.
3단계: 확인: $k^2 + (2k+1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$ 로 우변이 성립한다.
따라서 정답은 $2k+1$.

📖 풀이:
1단계: $9^x = (3^x)^2$이므로 $3^x = t\ (t>0)$로 치환하면 $t^2 - 4t + 3 = 0$.
2단계: 인수분해하면 $(t-1)(t-3) = 0$이므로 $t=1$ 또는 $t=3$.
3단계: $t=1$이면 $3^x=1 \Rightarrow x = 0$.
4단계: $t=3$이면 $3^x=3 \Rightarrow x = 1$.
5단계: 두 실근의 합은 $0 + 1 = 1$.

📖 풀이:
1단계: $f$는 다항함수이므로 모든 구간에서 연속이다.
2단계: 각 후보 구간의 양 끝 함숫값을 계산한다.
- $f(-3) = -27 + 9 + 1 = -17 < 0$, $f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1 < 0$: 부호 같음.
- $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 > 0$, $f(0) = 1 > 0$: 부호 같음.
- $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0$, $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0$: 부호 다름.
- $f(2) = 3 > 0$, $f(3) = 27 - 9 + 1 = 19 > 0$: 부호 같음.
3단계: 구간 $(1, 2)$에서만 $f$의 부호가 바뀌므로 중간값 정리에 의해 실근이 반드시 존재한다.
따라서 답은 ③.

📖 풀이:
1단계: 속도 $v(t)$는 위치의 도함수이므로 $v(t) = x'(t) = 3t^2 - 12t + 9$.
2단계: $v(t) = 0$이면 $3t^2 - 12t + 9 = 0 \Rightarrow t^2 - 4t + 3 = 0$.
3단계: 인수분해: $(t-1)(t-3) = 0$ 이므로 $t = 1$ 또는 $t = 3$.
4단계: 두 시각의 합은 $1 + 3 = 4$.
따라서 답은 $4$.

📖 풀이:
1단계: 가장 긴 변 $a=7$의 대각인 $\angle A$가 가장 크다.
2단계: 코사인법칙에 의해
$$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{25 + 9 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2}.$$
3단계: $0° < A < 180°$에서 $\cos A = -\dfrac{1}{2}$이므로 $A = 120°$.
따라서 가장 큰 각은 $120°$.

📖 풀이:
1단계: 계차가 $a_{n+1} - a_n = 2n$이므로 계차수열 기법을 쓴다.
2단계: $n \geq 2$일 때
$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1} - a_k) = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k.$$
3단계: $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$이므로 $a_n = n^2 - n + 2$.
4단계: $a_{10} = 10^2 - 10 + 2 = 92$.
따라서 $a_{10} = 92$.

📖 풀이:
1단계: 점 $A(a, 2^a)$가 $y = -x+6$ 위에 있으므로 $2^a = -a + 6$, 즉 $2^a + a = 6$.
2단계: $a = 2$를 대입하면 $4 + 2 = 6$ 성립. 따라서 $A = (2, 4)$.
3단계: 두 곡선 $y=2^x$와 $y=\log_2 x$는 직선 $y=x$에 대해 대칭이고, 직선 $y=-x+6$ 역시 $y=x$에 대해 대칭이다. 따라서 $A$를 $y=x$에 대해 대칭시킨 점 $(4, 2)$가 $y=\log_2 x$ 위의 점이며 동시에 $y=-x+6$ 위에 있다. 즉 $B = (4, 2)$.
4단계: $\overline{AB} = \sqrt{(4-2)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$.
따라서 $\overline{AB} = 2\sqrt{2}$.

📖 풀이:
1단계: 밑 변환에 의해 $\log_x 81 = \dfrac{\log_3 81}{\log_3 x} = \dfrac{4}{\log_3 x}$.
2단계: $\log_3 x = t$로 놓으면 $x > 1$이므로 $t > 0$이고, 식은 $t + \dfrac{4}{t}$이 된다.
3단계: 산술-기하 평균 부등식에 의해
$$t + \dfrac{4}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \dfrac{4}{t}} = 2\sqrt{4} = 4.$$
4단계: 등호는 $t = \dfrac{4}{t}$, 즉 $t^2 = 4$에서 $t = 2$일 때. 이때 $\log_3 x = 2$이므로 $x = 9 > 1$ 로 조건을 만족한다.
따라서 최솟값은 $4$.

📖 풀이:
1단계: 교점의 $x$좌표는 $x^3 - 2x = x$, 즉 $x^3 - 3x = 0$에서 $x(x^2 - 3) = 0$. 따라서 $x = -\sqrt{3},\ 0,\ \sqrt{3}$.
2단계: 교점이 세 개이므로 두 개의 닫힌 영역이 생긴다.
- $0 < x < \sqrt{3}$에서 $x=1$ 대입: $y=x$는 $1$, $y=x^3-2x$는 $-1$. 따라서 $x > x^3 - 2x$.
- $-\sqrt{3} < x < 0$에서 $x=-1$ 대입: $y=x$는 $-1$, $y=x^3-2x$는 $1$. 따라서 $x^3-2x > x$.
3단계: $f(x) = x - (x^3 - 2x) = 3x - x^3$로 두면 $f$는 기함수이므로 두 영역의 넓이가 같다.
4단계: 총 넓이
$$S = 2\int_0^{\sqrt{3}}(3x - x^3)\,dx = 2\left[\dfrac{3x^2}{2} - \dfrac{x^4}{4}\right]_0^{\sqrt{3}} = 2\left(\dfrac{9}{2} - \dfrac{9}{4}\right) = 2 \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{9}{2}.$$
따라서 넓이는 $\dfrac{9}{2}$.

📖 풀이:
단계1: $50 = \dfrac{100}{2}$로 변형한다.
단계2: 로그의 성질에 의해 $\log 50 = \log 100 - \log 2$이다.
단계3: $\log 100 = 2$이고 $\log 2 = a$이므로 $\log 50 = 2 - a$이다.

📖 풀이:
단계1: 등차수열의 합 공식 $S_n = \dfrac{n}{2}\{2a_1 + (n-1)d\}$을 사용한다.
단계2: $a_1=3$, $d=4$, $n=20$을 대입하면 $S_{20} = \dfrac{20}{2}(6 + 19\cdot 4) = 10 \cdot 82$이다.
단계3: 따라서 $S_{20} = 820$이다.

📖 풀이:
단계1: 다항함수는 모든 실수에서 연속이므로 극한값은 함숫값과 일치한다.
단계2: $x=2$를 그대로 대입하면 $2^3 - 3\cdot 2 + 1 = 8 - 6 + 1$이다.
단계3: 따라서 극한값은 $3$이다.

📖 풀이:
단계1: 호도법에서 부채꼴 넓이 공식은 $S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$이다.
단계2: $r=6$, $\theta=\dfrac{\pi}{3}$을 대입하면 $S = \dfrac{1}{2}\cdot 36 \cdot \dfrac{\pi}{3}$이다.
단계3: 계산하면 $S = 6\pi$이다.

📖 풀이:
단계1: 전개하면 $k(k+1) = k^2 + k$이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(k^2+k) = \sum_{k=1}^{10}k^2 + \sum_{k=1}^{10}k$이다.
단계2: 공식에 의해 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k^2 = \dfrac{10\cdot 11\cdot 21}{6} = 385$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}k = \dfrac{10\cdot 11}{2} = 55$이다.
단계3: 따라서 합은 $385 + 55 = 440$이다.

📖 풀이:
단계1: 반둘레 $s = \dfrac{5+6+7}{2} = 9$이다.
단계2: 헤론의 공식 $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$에 대입하면 $S = \sqrt{9\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216}$이다.
단계3: $\sqrt{216} = \sqrt{36\cdot 6} = 6\sqrt{6}$이므로 넓이는 $6\sqrt{6}$이다.