📝 고2 수학 일반

📖 풀이:
1단계: $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$. 2단계: $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$. 3단계: 두 값을 더하면 $5 + 3 = 8$.

📖 풀이:
1단계: $500 = 2^2 \times 5^3$ 으로 소인수분해. 2단계: $\log_2 500 = \log_2 2^2 + \log_2 5^3 = 2 + 3\log_2 5$. 3단계: $\log_2 5 = a$ 이므로 $\log_2 500 = 3a + 2$.

📖 풀이:
1단계: x축으로 $p$만큼 평행이동하면 $x$ 대신 $x-p$ 대입. 2단계: y축으로 $q$만큼 평행이동하면 전체 식에 $+q$ 추가. 3단계: $x$ 대신 $x-1$ 을 넣고 전체에 $-3$ 을 더하면 $y = 2^{x-1} - 3$.

📖 풀이:
1단계: 진수조건 $x-1 > 0$ 이고 $x+1 > 0$ 이므로 $x > 1$. 2단계: 로그 합을 곱으로 바꾸면 $\log_2 (x-1)(x+1) = 3$, 즉 $\log_2 (x^2-1) = 3$. 3단계: $x^2 - 1 = 2^3 = 8$, 따라서 $x^2 = 9$, $x = \pm 3$. 4단계: 진수조건 $x > 1$ 을 만족하는 값은 $x=3$ 뿐.

📖 풀이:
1단계: $\sin \frac{\pi}{6} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. 2단계: $\cos \frac{\pi}{3} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. 3단계: 두 값을 더하면 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

📖 풀이:
1단계: $\sin x$ 의 범위는 $-1 \le \sin x \le 1$. 2단계: $2\sin x$ 의 범위는 $-2 \le 2\sin x \le 2$, 즉 $2\sin x + 1$ 의 범위는 $-1 \le y \le 3$. 3단계: 최댓값 3, 최솟값 $-1$, 합 = $3 + (-1) = 2$.

📖 풀이:
1단계: 주어진 식 양변을 제곱하면 $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \frac{1}{4}$. 2단계: 좌변 전개하면 $\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{1}{4}$. 3단계: 항등식 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 대입하면 $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$. 4단계: $2\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{4}$ 이므로 $\sin\theta\cos\theta = -\frac{3}{8}$.

📖 풀이:
1단계: 사인법칙 $\frac{a}{\sin A} = 2R$ 을 활용. 2단계: 값을 대입하면 $\frac{5}{\sin 30^\circ} = 2R$. 3단계: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ 이므로 $\frac{5}{1/2} = 10 = 2R$. 4단계: $R = 5$.

📖 풀이:
1단계: 코사인법칙 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ 적용. 2단계: 값 대입, $c^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ$. 3단계: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ 이므로 $c^2 = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$. 4단계: $c = 7$.

📖 풀이:
1단계: 등차수열의 일반항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$. 2단계: $a_1 = 2$, $d = 3$, $n = 10$ 대입. 3단계: $a_{10} = 2 + (10-1) \cdot 3 = 2 + 27 = 29$.

📖 풀이:
1단계: 시그마의 선형성으로 분리하면 $\sum_{k=1}^{10} (2k+1) = 2\sum_{k=1}^{10} k + \sum_{k=1}^{10} 1$. 2단계: $\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$ 이고 $\sum_{k=1}^{10} 1 = 10$. 3단계: 대입하면 $2 \cdot 55 + 10 = 110 + 10 = 120$.

📖 풀이:
1단계: $x = 2$ 대입 시 $\frac{0}{0}$ 의 부정형이므로 인수분해 필요. 2단계: 분자를 인수분해하면 $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. 3단계: 약분하면 $\lim_{x \to 2} (x+2)$. 4단계: 극한값은 $2 + 2 = 4$.

📖 풀이:
1단계: 도함수를 구하면 $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. 2단계: $f'(x) = 0$ 의 해는 $x = 0$ 또는 $x = 2$. 3단계: 증감표 작성. $x < 0$ 에서 $f' > 0$ (증가), $0 < x < 2$ 에서 $f' < 0$ (감소), $x > 2$ 에서 $f' > 0$ (증가). 4단계: $x = 0$ 에서 극대이므로 극댓값은 $f(0) = 0 - 0 + 4 = 4$.

📖 풀이:
1단계: $3x^2$ 의 부정적분은 $x^3$, $2x$ 의 부정적분은 $x^2$. 2단계: 따라서 $\int (3x^2 + 2x) \, dx = x^3 + x^2 + C$. 3단계: 정적분 계산 $[x^3 + x^2]_0^2 = (8 + 4) - (0 + 0) = 12$.

📖 풀이:
1단계: $f(x) = x^2 + 2x$의 도함수 $f'(x) = 2x + 2$.
2단계: 접점 $x=1$에서의 기울기 $f'(1) = 2(1) + 2 = 4$.
3단계: 점$(1,3)$을 지나고 기울기 4인 직선: $y - 3 = 4(x - 1)$, 정리하면 $y = 4x - 1$.

📖 풀이:
1단계: 평행이동 공식: $y = f(x)$를 $x$축으로 $p$, $y$축으로 $q$만큼 이동하면 $y - q = f(x - p)$.
2단계: $f(x) = \log_2 x$, $p=3$, $q=1$ 대입.
3단계: $y - 1 = \log_2(x - 3)$, 즉 $y = \log_2(x-3) + 1$.
검산: 원 그래프 위 점 $(1,0)$은 이동 후 $(4,1)$이고, $\log_2(4-3)+1 = 0+1 = 1$로 맞음.

📖 풀이:
1단계: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$.
2단계: $f'(x) = 0$에서 $x = -1$ 또는 $x = 3$. 증감표로 $x=-1$에서 극대, $x=3$에서 극소.
3단계: 극댓값 $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$.
4단계: 극솟값 $f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$.
5단계: 차 = $10 - (-22) = 32$.

📖 풀이:
부정적분을 구하면 $\int (3x^2-2x+1)\,dx = x^3-x^2+x+C$이다. 미적분 기본정리에 의해 $\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx = [x^3-x^2+x]_0^2 = (2^3-2^2+2)-0 = 8-4+2 = 6$이다. 항별로 계산해도 $\int_0^2 3x^2\,dx = [x^3]_0^2 = 8$, $\int_0^2 (-2x)\,dx = [-x^2]_0^2 = -4$, $\int_0^2 1\,dx = 2$이므로 합은 $8-4+2=6$이다. 따라서 정답은 ① 6이다.

📖 풀이:
$\frac{0}{0}$ 부정형이므로 분자를 인수분해하면 $x^2-4=(x-2)(x+2)$. 따라서 $\lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$.

📖 풀이:
등비수열의 일반항은 $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$. 따라서 $a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$.

📖 풀이:
항등식 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$에서 $\sin^2\theta = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$. 제1사분면이므로 $\sin\theta > 0$, 따라서 $\sin\theta = \dfrac{4}{5}$.

📖 풀이:
점화식에 차례로 대입한다. $a_2 = 3a_1 - 1 = 3 \cdot 2 - 1 = 5$. $a_3 = 3a_2 - 1 = 3 \cdot 5 - 1 = 14$.

📖 풀이:
코사인법칙 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$를 적용한다. $c^2 = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot \dfrac{1}{2} = 74 - 35 = 39$. 따라서 $c = \sqrt{39}$.

📖 풀이:
$x=1$에서 연속이려면 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$이어야 한다. 좌극한: $\lim_{x \to 1^-}(x^2+a) = 1+a$. 우극한: $\lim_{x \to 1^+}(2x+3) = 5$. 따라서 $1+a = 5$, $a = 4$.

📖 풀이:
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$. $f'(x)=0$의 해는 $x=1, 3$. 증감표를 살펴보면 $x=1$에서 $f'$의 부호가 양에서 음으로, $x=3$에서 음에서 양으로 바뀐다. 따라서 $x=1$에서 극대, $x=3$에서 극소.