📝 고1 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 교점의 $x$좌표는 $f(x)=g(x)$의 해. $x^2 - 4x + a = -x^2 + 2x + b \Rightarrow 2x^2 - 6x + (a-b) = 0$.
2단계: 서로 다른 두 양의 실근 조건 (세 가지). (i) 판별식: $D/4 = 9 - 2(a-b) > 0 \Rightarrow a-b < \frac{9}{2}$. (ii) 두 근의 합 > 0: $\frac{6}{2} = 3 > 0$ ✓ 항상 성립. (iii) 두 근의 곱 > 0: $\frac{a-b}{2} > 0 \Rightarrow a-b > 0$.
3단계: 종합. $0 < a - b < \frac{9}{2}$.

📖 풀이:
1단계: 세 근을 $p-d, p, p+d$로 놓으면 합이 $3p = 6 \Rightarrow p = 2$. 따라서 가운데 근은 $2$.
2단계: 곱 조건. $(2-d)\cdot 2\cdot(2+d) = 2(4 - d^2) = -6 \Rightarrow 4 - d^2 = -3 \Rightarrow d^2 = 7$.
3단계: 두 근씩 곱의 합. $(2-d)\cdot 2 + 2(2+d) + (2-d)(2+d) = 4 - 2d + 4 + 2d + 4 - d^2 = 12 - 7 = 5$. 따라서 $a = 5$. 곱 $= -b = -6 \Rightarrow b = 6$. $a + b = 11$.

📖 풀이:
1단계: $\omega$는 $x^2+x+1=0$의 근이므로 $\omega^2 + \omega + 1 = 0$. 또한 $(x-1)(x^2+x+1) = x^3 - 1$에서 $\omega^3 = 1$.
2단계: 지수를 $3$으로 나눈 나머지를 구한다. $2024 = 3 \times 674 + 2$이므로 $\omega^{2024} = \omega^2$. $2023 = 3 \times 674 + 1$이므로 $\omega^{2023} = \omega$.
3단계: $\omega^{2024} + \omega^{2023} + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$.

📖 풀이:
1단계: 접점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선 방정식은 $x_1 x + y_1 y = 4$. 이 접선이 $A(0, 3)$을 지나므로 $3 y_1 = 4 \Rightarrow y_1 = \frac{4}{3}$.
2단계: 마찬가지로 $Q(x_2, y_2)$에서 $y_2 = \frac{4}{3}$.
3단계: 두 접점 $P$, $Q$가 모두 $y = \frac{4}{3}$ 위에 있으므로 직선 $PQ$의 방정식은 $y = \frac{4}{3}$. (이를 점 $A$의 원에 대한 '극선'이라 한다.)

📖 풀이:
1단계: 산술평균-기하평균 부등식. 양수 $a, b$에 대하여 $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ (등호는 $a=b$일 때).
2단계: $a = 4x$, $b = y$로 놓으면 $4x + y \geq 2\sqrt{4xy} = 2\sqrt{4 \cdot 9} = 2 \cdot 6 = 12$.
3단계: 등호 조건. $4x = y$이고 $xy = 9$. 두 식에서 $4x \cdot x = 9 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$, $y = 6$. 이때 $4 \cdot \frac{3}{2} + 6 = 12$로 실제로 도달 가능. 따라서 최솟값은 $12$.

📖 풀이:
1단계: $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$로 놓고 양변에 $(x-1)$을 곱하여 $y(x-1) = 2x + 1$.
2단계: $x$에 대해 정리. $yx - y = 2x + 1 \Rightarrow x(y - 2) = y + 1 \Rightarrow x = \dfrac{y+1}{y-2}$.
3단계: $x$와 $y$를 바꾸면 $f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$ (단, $x \neq 2$).

📖 풀이:
1단계: 홀수는 $1, 3, 5$ (3개), 짝수는 $2, 4, 6$ (3개). 교대 배치 패턴은 두 가지: '홀짝홀짝홀짝' 또는 '짝홀짝홀짝홀'.
2단계: 한 패턴에서 홀수 자리에 $1, 3, 5$를 배열하는 방법은 $3! = 6$가지, 짝수 자리에 $2, 4, 6$을 배열하는 방법도 $3! = 6$가지. 따라서 한 패턴당 $6 \times 6 = 36$개.
3단계: 두 패턴이 가능하므로 총 개수는 $36 \times 2 = 72$개. (어떤 자리에서 시작해도 첫 자리가 $0$이 아니므로 제외할 자연수 없음.)

📖 풀이:
1단계: 부등식을 한쪽으로 정리. $x^2 - 2x + 3 - (-x^2 + 4x + a) \geq 0 \Rightarrow 2x^2 - 6x + (3 - a) \geq 0$.
2단계: 모든 실수 $x$에 대해 위 부등식이 성립하려면, 이차항의 계수 $2 > 0$이고 판별식 $\leq 0$이어야 한다. $D/4 = 9 - 2(3 - a) \leq 0 \Rightarrow 9 - 6 + 2a \leq 0 \Rightarrow 2a \leq -3 \Rightarrow a \leq -\dfrac{3}{2}$.
3단계: 따라서 $a$의 최댓값은 $-\dfrac{3}{2}$. 이때 두 포물선은 한 점에서 접한다 (접점 $x = 3/2$).

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1단계: 인수분해. $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$, $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$. 따라서 좌변 $= (x-3)^2 (x+3)(x+1) \leq 0$.
2단계: $(x-3)^2 \geq 0$이고 $(x-3)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 3$. 따라서 부등식은 두 경우로 나뉜다: (i) $x = 3$ (좌변 $= 0$), 또는 (ii) $(x+3)(x+1) \leq 0$, 즉 $-3 \leq x \leq -1$.
3단계: 정수 해. (i)에서 $x = 3$. (ii)에서 $x \in \{-3, -2, -1\}$. 종합 $\{-3, -2, -1, 3\}$로 총 $4$개.

📖 풀이:
1단계: 합과 제곱합의 항등식 활용. $\left( \sum_{i=1}^n i \right)^2 = \sum_{i=1}^n i^2 + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} ij$. 따라서 $S_n = \dfrac{\left(\sum i\right)^2 - \sum i^2}{2}$.
2단계: $n = 5$일 때 $\sum_{i=1}^5 i = 15$, $\sum_{i=1}^5 i^2 = 1+4+9+16+25 = 55$.
3단계: $S_5 = \dfrac{15^2 - 55}{2} = \dfrac{225 - 55}{2} = \dfrac{170}{2} = 85$.

📖 풀이:
1단계: 먼저 7명에서 2명을 뽑는 방법은 $\binom{7}{2} = 21$가지. 남은 5명에서 2명을 뽑는 방법은 $\binom{5}{2} = 10$가지. 마지막 3명은 $\binom{3}{3} = 1$가지.
2단계: 단순 곱은 $21 \times 10 \times 1 = 210$. 그러나 두 개의 '2명짜리 조'는 서로 구분할 수 없는 같은 크기의 조이므로, 같은 분할이 $2!$번씩 중복되어 세어졌다.
3단계: 중복을 제거. $\dfrac{210}{2!} = 105$가지.

📖 풀이:
1단계: $(x-1)(x+2)$는 이차식이므로 나머지의 차수는 1 이하다. 나머지를 $R(x)=ax+b$로 놓는다.
2단계: 몫을 $Q(x)$라 하면 $P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b$. 나머지정리에 의해 $P(1)=3$, $P(-2)=-3$이므로 $a+b=3$, $-2a+b=-3$.
3단계: 두 식을 빼면 $3a=6$, $a=2$. 대입하면 $b=1$. 따라서 나머지는 $2x+1$.

📖 풀이:
1단계: $z=a+bi$ ($a,b$는 실수)로 놓으면 $z^2=(a^2-b^2)+2abi$, $\bar{z}=a-bi$. 따라서 $z^2+\bar{z}=(a^2-b^2+a)+(2ab-b)i=0$.
2단계: 실수부와 허수부가 모두 $0$이어야 하므로 $a^2-b^2+a=0$, $b(2a-1)=0$.
3단계: $b=0$이면 $a^2+a=0$에서 $a=0$ 또는 $a=-1$, 즉 $z=0,\,-1$. $2a-1=0$이면 $a=\frac{1}{2}$이고 $\frac{1}{4}-b^2+\frac{1}{2}=0$에서 $b=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$, 즉 $z=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i$.
4단계: 네 근의 합 $0+(-1)+\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=0$.

📖 풀이:
1단계: 부등식을 한쪽으로 모으면 $f(x)=x^2-2(k-1)x+(k^2+2k-3)>0$이 모든 실수 $x$에서 성립해야 한다.
2단계: 이차항 계수가 양수이므로 그래프는 아래로 볼록. 모든 $x$에서 $f(x)>0$이려면 그래프가 $x$축과 만나지 않아야 하고, 이는 판별식 $D<0$과 동치이다.
3단계: $D/4=(k-1)^2-(k^2+2k-3)=k^2-2k+1-k^2-2k+3=-4k+4<0$. 따라서 $k>1$.
4단계: 검산: $k=2$이면 $f(x)=x^2-2x+5=(x-1)^2+4>0$, 항상 성립.

📖 풀이:
1단계: 첫 부등식 $(x-1)(x-4)<0$의 해는 $1<x<4$.
2단계: 둘째 부등식은 $(x-2)(x-a)>0$. $a>2$이면 해 $x<2$ 또는 $x>a$, $a<2$이면 $x<a$ 또는 $x>2$, $a=2$이면 $x\neq 2$.
3단계: 두 해의 교집합이 정확히 $(1,2)$이려면 $a\geq 2$인 경우를 본다. $a=2$이면 교집합이 $(1,2)\cup(2,4)$, $2<a<4$이면 $(1,2)\cup(a,4)$로 모두 $(1,2)$를 초과한다. $a\geq 4$이면 $x>a$ 부분이 $(1,4)$ 밖이므로 교집합이 $(1,2)$로 정확히 일치.
4단계: $a<2$인 경우는 교집합이 $(2,4)$ 또는 $(1,a)\cup(2,4)$로 조건 불만족. 따라서 $a\geq 4$.

📖 풀이:
1단계: 주어진 원의 방정식을 표준형으로 정리한다. $x^2-4x+y^2-6y+9=0 \Rightarrow (x-2)^2+(y-3)^2=4$. 중심 $O'(2,3)$, 반지름 $r=2$.
2단계: 점 $A(7,-1)$과 중심 $O'$ 사이의 거리는 $d=\sqrt{(7-2)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$. $d>r$이므로 $A$는 원의 외부.
3단계: 원 위 점 $P$에 대해 $|\overline{AP}|$의 최댓값은 직선 $O'A$가 원과 만나는 먼 쪽 점에서 $d+r=\sqrt{41}+2$, 최솟값은 가까운 쪽 점에서 $d-r=\sqrt{41}-2$.
4단계: 최댓값과 최솟값의 합은 $(\sqrt{41}+2)+(\sqrt{41}-2)=2\sqrt{41}$.

📖 풀이:
1단계: 양변이 모두 음이 아니므로 제곱하여 비교한다. $(|a+b|)^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(|a|+|b|)^2=a^2+2|a||b|+b^2=a^2+2|ab|+b^2$.
2단계: 두 값의 차는 $(|a|+|b|)^2-(a+b)^2=2(|ab|-ab)\geq 0$. 등호는 $|ab|=ab$일 때, 즉 $ab\geq 0$일 때.
3단계: 역으로 $ab\geq 0$이면 $|ab|=ab$이므로 위 차가 $0$. 따라서 $|a+b|=|a|+|b|$가 성립.
4단계: 함정 검토: ①(적어도 하나가 $0$)은 충분조건이다. 예를 들어 $b=0$이면 $|a+0|=|a|=|a|+|0|$로 항상 등호가 성립한다. 그러나 $a=1, b=2$처럼 둘 다 $0$이 아니어도 등호가 성립하므로 ①은 필요조건이 아니다. 즉 ①은 충분조건이지만 필요조건이 아니어서 필요충분조건이 아니다. ③($a=b$)은 $ab=a^2\geq 0$이므로 충분조건이지만 $a=1, b=2$에서 보듯 필요조건이 아니다. ④($|a|=|b|$)는 $a=1, b=-1$일 때 $|a|=|b|$이지만 $|a+b|=0\neq 2=|a|+|b|$이므로 충분조건조차 아니다. 따라서 필요충분조건은 ②뿐이다.

📖 풀이:
1단계: $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2+1)=2(x^2+1)-1=2x^2+1$.
2단계: $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x-1)=(2x-1)^2+1=4x^2-4x+2$.
3단계: $2x^2+1=4x^2-4x+2$를 정리하면 $2x^2-4x+1=0$. 근의 공식으로 $x=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
4단계: 두 근의 합은 근과 계수의 관계에 의해 $-\frac{-4}{2}=2$.

📖 풀이:
1단계: 같은 것이 있는 순열. 7개 자리에 7개 문자를 모두 배열하는 전체 방법은 $7!=5040$.
2단계: 그러나 $a$가 2개로 같고, $b$가 2개로 같고, $c$가 2개로 같으므로 같은 문자끼리의 순서 교환은 같은 배열로 친다.
3단계: 따라서 답은 $\dfrac{7!}{2!\cdot 2!\cdot 2!}=\dfrac{5040}{8}=630$.

📖 풀이:
1단계: 항등식 $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$를 이용한다. $36=14+2(xy+yz+zx)$이므로 $xy+yz+zx=11$.
2단계: 핵심 항등식 $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$를 적용한다.
3단계: 대입하면 $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=6\cdot(14-11)=6\cdot 3=18$.

📖 풀이:
1단계: $-x^2+4x+k=0 \Leftrightarrow x^2-4x-k=0$. 두 실근을 $\alpha, \beta$라 하면 근과 계수의 관계로 $\alpha+\beta=4$, $\alpha\beta=-k$.
2단계: 두 교점 사이 거리 $|\alpha-\beta|=6$이므로 양변 제곱: $(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=16+4k=36$.
3단계: 따라서 $4k=20$, $k=5$.
4단계: 검산: $x^2-4x-5=(x-5)(x+1)=0$, 두 교점 $(-1,0), (5,0)$ 사이 거리 $6$. 또한 두 실근 조건 $D=16+4k>0$, 즉 $k>-4$를 만족.

📖 풀이:
1단계: 우변 $x+2\geq 0$이어야 하므로 $x\geq -2$가 필요조건. 또한 절댓값의 부호로 경우를 나눈다.
2단계: 경우 1, $x^2-4\geq 0$ (즉 $x\leq -2$ 또는 $x\geq 2$): $x^2-4=x+2 \Rightarrow x^2-x-6=0 \Rightarrow (x-3)(x+2)=0$. $x=3$(조건 만족), $x=-2$(조건 만족).
3단계: 경우 2, $-2<x<2$: $-(x^2-4)=x+2 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow (x+2)(x-1)=0$. $x=1$(조건 만족), $x=-2$(조건 미달).
4단계: 모든 실근 $\{-2, 1, 3\}$의 합 $=-2+1+3=2$. (중복 $x=-2$는 한 번만 셈)

📖 풀이:
1단계: 역함수의 정의에 의해 $g(3)=a$이면 $f(a)=3$.
2단계: $\dfrac{2a+1}{a-1}=3$ ($a\neq 1$). 양변에 $a-1$을 곱하면 $2a+1=3(a-1)=3a-3$.
3단계: $2a+1=3a-3 \Rightarrow a=4$. 정의역 조건 $a\neq 1$ 만족.
4단계: 검산: $f(4)=\dfrac{2\cdot 4+1}{4-1}=\dfrac{9}{3}=3$. 따라서 $g(3)=4$.

📖 풀이:
1단계: 일차식의 합이 같아지도록 짝을 묶는다. $(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$, $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$.
2단계: 공통 부분을 치환한다. $t=x^2+5x+5$로 두면 두 식은 $t-1$과 $t+1$.
3단계: 원식 $=(t-1)(t+1)+1=t^2-1+1=t^2=(x^2+5x+5)^2$.

📖 풀이:
1단계: 분모를 실수화한다. $z=\dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{2i}{2}=i$.
2단계: $i^k$는 $k=1,2,3,4$에서 $i,-1,-i,1$이고 그 합은 $0$. 즉 연속한 4항의 합은 항상 $0$.
3단계: $2026=4\times 506+2$이므로 처음 $4\times 506=2024$항의 합은 $0$. 남은 두 항은 $i^{2025}+i^{2026}=i+(-1)=-1+i$.