📝 고1 수학 심화

📖 풀이:
(1) 전체 배열 수: $\dfrac{5!}{2!\cdot 2!\cdot 1!}=30$. (2) 사건 $X=$ '두 $A$가 이웃', $Y=$ '두 $B$가 이웃'라 하자. $|X|$: $AA$를 한 덩어리로 보고 $\{AA,B,B,C\}$ 배열 $=\dfrac{4!}{2!}=12$. 같은 방식으로 $|Y|=12$. $|X\cap Y|$: $AA$와 $BB$를 각각 덩어리로 보고 $\{AA,BB,C\}$ 배열 $=3!=6$. (3) 포함-배제 원리: $|X\cup Y|=12+12-6=18$. 따라서 두 $A$도 두 $B$도 이웃하지 않는 배열 수 $=30-18=12$.

📖 풀이:
1단계: $f(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+R(x)$, $\deg R<3$이므로 $R(x)$도 $(x-1)^2$으로 나누면 같은 나머지 $2x+1$을 가져야 한다. 따라서 $R(x)=a(x-1)^2+(2x+1)$ 꼴. 2단계: $(x-1)^2(x+2)Q(x)$가 $x=-2$에서 $0$이 되므로 $f(-2)=R(-2)$. 즉 $R(-2)=a\cdot 9+(2\cdot(-2)+1)=9a-3=6$. 3단계: $9a=9$이므로 $a=1$. 4단계: $R(x)=(x-1)^2+(2x+1)=x^2-2x+1+2x+1=x^2+2$.

📖 풀이:
1단계: $a_n=z^n+\dfrac{1}{z^n}$로 정의하면 $a_0=2$, $a_1=\sqrt{3}$. 점화식 $a_{n+1}=a_1\cdot a_n - a_{n-1}$이 성립한다. 2단계: 차례로 계산. $a_2=(\sqrt{3})^2-2=1$, $a_3=\sqrt{3}\cdot 1-\sqrt{3}=0$, $a_4=\sqrt{3}\cdot 0-1=-1$, $a_6=(a_3)^2-2=-2$. 3단계: $a_{12}=(a_6)^2-2=4-2=2$. 4단계: 검증. $z^2-\sqrt{3}z+1=0$의 두 근 $z=\dfrac{\sqrt{3}\pm i}{2}$는 단위원 위의 점이며 편각이 $\pm\dfrac{\pi}{6}$이다. 따라서 $z^{12}=e^{\pm 2\pi i}=1$이 되어 답은 $1+1=2$.

📖 풀이:
1단계: $y=|x^2-4x|$의 그래프 분석. $y=x^2-4x=x(x-4)$는 $x=0,4$에서 0, 꼭짓점 $(2,-4)$. 절댓값을 씌우면 $0\le x\le 4$에서 $y=-x^2+4x$ (위로 솟은 포물선, 꼭짓점 $(2,4)$), $x<0$ 또는 $x>4$에서 $y=x^2-4x$ (위로 발산). 2단계: 직선 $y=k$와의 교점 개수 분석. $k=0$이면 2개($x=0,4$), $0<k<4$이면 안쪽 위로 솟은 부분에서 2개와 바깥 위로 발산하는 부분에서 2개, 합 4개. $k=4$이면 안쪽 꼭짓점 1개와 바깥 2개로 3개, $k>4$이면 바깥 2개. 3단계: 따라서 정확히 4개의 실근을 가지려면 $0<k<4$.

📖 풀이:
1단계: 코시-슈바르츠 부등식의 엥겔(Engel) 형태(티투의 보조정리)를 적용한다. 양의 실수 $b_i$에 대해 $\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a_2^2}{b_2}+\dfrac{a_3^2}{b_3}\ge\dfrac{(a_1+a_2+a_3)^2}{b_1+b_2+b_3}$. 2단계: 분모 합 $(b+c)+(c+a)+(a+b)=2(a+b+c)=12$. 분자 합 $a+b+c=6$. 따라서 $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{2}=3$. 3단계: 등호는 $\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{c+a}=\dfrac{c}{a+b}$일 때, 즉 $a=b=c=2$일 때 성립하며 이때 좌변$=3\cdot\dfrac{4}{4}=3$. 4단계: 따라서 최솟값은 $3$.

📖 풀이:
1단계: 작은 $n$부터 계산해 규칙을 찾는다. $f^1(x)=\dfrac{x}{1+x}$. $f^2(x)=f\!\left(\dfrac{x}{1+x}\right)=\dfrac{x/(1+x)}{1+x/(1+x)}=\dfrac{x/(1+x)}{(1+2x)/(1+x)}=\dfrac{x}{1+2x}$. 2단계: 같은 방식으로 $f^3(x)=\dfrac{x/(1+2x)}{1+x/(1+2x)}=\dfrac{x}{1+3x}$. 3단계: 일반항 추정 $f^n(x)=\dfrac{x}{1+nx}$. 수학적 귀납법으로 검증: $f^{n+1}(x)=f(f^n(x))=\dfrac{x/(1+nx)}{1+x/(1+nx)}=\dfrac{x}{1+(n+1)x}$. 4단계: $f^{2026}(1)=\dfrac{1}{1+2026\cdot 1}=\dfrac{1}{2027}$.

📖 풀이:
1단계: 전체 원순열의 수. 서로 다른 7명을 원탁에 앉히는 경우의 수는 $(7-1)!=6!=720$. 2단계: A, B가 이웃하는 경우의 수. A와 B를 한 묶음으로 보면 묶음 1개 + 나머지 5명 = 6개를 원탁에 앉히는 원순열. $(6-1)!=5!=120$. 묶음 안에서 A, B의 자리 바꾸기 $2!=2$. 따라서 이웃 경우는 $120\times 2=240$. 3단계: 여집합. 이웃하지 않는 경우는 $720-240=480$.

📖 풀이:
1단계: $n^2+84n=m^2$ ($m$은 양의 정수)로 둔다. 완전제곱 변형 $n^2+84n=(n+42)^2-1764$이므로 $(n+42)^2-m^2=1764$, 즉 $(n+42-m)(n+42+m)=1764$. 2단계: $a=n+42-m$, $b=n+42+m$이라 하면 $ab=1764=2^2\cdot 3^2\cdot 7^2$, $b>a>0$, $b-a=2m$ 짝수, $b+a=2(n+42)$ 짝수이므로 $a, b$의 홀짝성이 같다. $1764$가 짝수이므로 $a, b$ 모두 홀수일 수 없고 따라서 둘 다 짝수. 3단계: $a=2a'$, $b=2b'$로 두면 $a'b'=441=3^2\cdot 7^2$, $a'\le b'$. 약수쌍 $(a',b')\in\{(1,441),(3,147),(7,63),(9,49),(21,21)\}$. 4단계: 각 쌍에서 $n=a'+b'-42$. 차례로 $400, 108, 28, 16, 0$. $n=0$은 자연수가 아니므로 제외. 따라서 자연수 $n$은 $\{16, 28, 108, 400\}$의 4개.

📖 풀이:
1단계: 직각삼각형 ABC는 $A$에서 직각, $\overline{AB}=6$, $\overline{AC}=8$, $\overline{BC}=10$. 내접원의 중심은 두 직각변(축)으로부터 같은 거리 $r$만큼 떨어져 있으므로 중심 좌표는 $(r, r)$. 2단계: 빗변 $\overline{BC}$의 방정식. 절편형 $\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{8}=1$, 즉 $4x+3y-24=0$. 3단계: 중심 $(r,r)$에서 이 직선까지 거리가 반지름 $r$과 같다는 식 $\dfrac{|4r+3r-24|}{\sqrt{4^2+3^2}}=r$, 즉 $\dfrac{|7r-24|}{5}=r$. 작은 $r$에서 $7r-24<0$이므로 $24-7r=5r$, $12r=24$, $r=2$. 4단계: 내접원의 방정식 $(x-2)^2+(y-2)^2=4$. (참고: 내접원 반지름 공식 $r=(a+b-c)/2=(6+8-10)/2=2$로도 검증된다.)

📖 풀이:
1단계: 짝수 차수 계수만 추출하려면 $f(1)+f(-1)$을 활용한다. $f(x)=(1+x+x^2)^{10}$에 대해 $f(1)=\sum_{k=0}^{20} a_k$, $f(-1)=\sum_{k=0}^{20}(-1)^k a_k$. 두 값을 더하면 홀수 차수 계수는 상쇄되고 짝수 차수 계수만 두 배로 남는다. 2단계: 각각 계산. $f(1)=(1+1+1)^{10}=3^{10}=59049$. $f(-1)=(1-1+1)^{10}=1^{10}=1$. 3단계: 짝수 차수 계수 합 $=\dfrac{f(1)+f(-1)}{2}=\dfrac{59049+1}{2}=\dfrac{59050}{2}=29525$.

📖 풀이:
1단계: 홀수 후보 $\{1, 3, 5\}$ 3개, 짝수 후보 $\{2, 4\}$ 2개. 2단계: 양 끝(2자리)에 홀수 3개 중에서 서로 다른 두 개를 순서를 고려해 배치하는 경우의 수 $_3P_2=3\times 2=6$. 3단계: 가운데 3자리에는 남은 숫자 3개(짝수 2개와 홀수 1개)를 모두 배치하면 되므로 $3!=6$. 4단계: 곱의 법칙에 따라 $6\times 6=36$.

📖 풀이:
1단계: 조건 $p$의 해집합을 구한다. $|x-1|\le 2 \iff -2\le x-1\le 2 \iff -1\le x\le 3$. 즉 $P=[-1, 3]$. 2단계: $p \iff q$이므로 $q$의 해집합도 $[-1, 3]$이어야 한다. 이차부등식 $x^2-ax+b\le 0$의 해가 닫힌 구간 $[-1, 3]$이 되려면 이차식의 두 근이 정확히 $-1$과 $3$이고 최고차 계수가 양수여야 한다. 3단계: 근과 계수의 관계로부터 $x^2-ax+b=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$. 따라서 $a=2$, $b=-3$. 4단계: $a+b=2+(-3)=-1$.

📖 풀이:
(1) 차분 $f(x+1)-f(x)$는 $f$의 차수보다 1 작은 다항식. 우변이 1차이므로 $f$는 2차 다항식. $f(x) = ax^2 + bx + c$로 놓는다. (2) $f(x+1) - f(x) = a(2x+1) + b = 2ax + (a+b)$. 우변 $6x+7$과 계수 비교: $2a = 6$이므로 $a=3$, $a + b = 7$이므로 $b = 4$. (3) $f(0) = c = 4$. 따라서 $f(x) = 3x^2 + 4x + 4$. $f(5) = 75 + 20 + 4 = 99$.

📖 풀이:
(1) $|z|^2 = z\bar{z} = 4$. (2) 항등식 $(z+\bar{z})^2 = z^2 + 2z\bar{z} + \bar{z}^2$를 이용. 즉 $(z+\bar{z})^2 = (z^2 + \bar{z}^2) + 2z\bar{z} = 4 + 8 = 12$. (3) $z + \bar{z} = \pm 2\sqrt{3}$. 검증: $z = \sqrt{3} + i$이면 $|z|^2 = 3+1 = 4$ ✓, $z^2 = 2 + 2\sqrt{3}i$, $\bar{z}^2 = 2 - 2\sqrt{3}i$, 합 $= 4$ ✓.

📖 풀이:
(1) $y = x^2 - 4x + k = (x-2)^2 + (k-4)$이므로 꼭짓점은 $(2, k-4)$, 위로 무한히 뻗는다. 이 포물선의 치역은 $[k-4, \infty)$. (2) 그래프가 띠 $-2 \le y \le 2$와 만나지 않으려면 치역이 이 구간과 서로소여야 한다. 치역이 위로 무한이므로 가능한 경우는 $k - 4 > 2$. (3) 즉 $k > 6$. 경계 $k=6$이면 꼭짓점이 $y=2$ 위에 정확히 있어 한 점에서 만나므로 제외.

📖 풀이:
(1) 정수근을 $x = n$이라 하면 $n^3 - kn + 2 = 0$, 즉 $kn = n^3 + 2$. 또한 $n^3 + 2$가 0이 아니어야 한다($n^3 = -2$인 정수 $n$ 없음). (2) 정수계수 다항식의 정수근 후보는 상수항 2의 약수: $n = \pm 1, \pm 2$. 각각 대입: $n=1$이면 $k=3$, $n=-1$이면 $k=-1$, $n=2$이면 $2k = 10$, $k=5$, $n=-2$이면 $-2k = -6$, $k=3$. (3) 서로 다른 $k$ 값은 $\{-1, 3, 5\}$. 합 $= -1 + 3 + 5 = 7$. (참고: $n=\pm 2$ 일 때 모두 $k=3$ 또는 다른 값으로 나오지만 같은 $k$는 한 번만 셈)

📖 풀이:
(1) 두 원의 방정식을 일반형으로 정리한 뒤 변끼리 빼면 두 식을 동시에 만족하는 점들의 자취가 직선이 된다(이차항이 소거됨). $C_1: x^2 + y^2 - 9 = 0$, $C_2: x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 + 16 - 16 = x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$. (2) $C_1 - C_2$: $-9 - (-6x - 8y + 9) = 0$, 즉 $6x + 8y - 18 = 0$. (3) 양변을 2로 나누면 $3x + 4y - 9 = 0$, 곧 $3x + 4y = 9$. 검증: 두 중심 사이 거리 $\sqrt{9+16}=5$이고 $|3-4| < 5 < 3+4$이므로 두 원은 두 점에서 만난다.

📖 풀이:
(1) $p$의 진리집합 $P = \{x \mid -2 \le x \le 4\}$. $p \Rightarrow q$이려면 $P \subseteq Q$ ($Q$는 $q$의 진리집합). (2) $f(x) = x^2 - 2x + a = (x-1)^2 + (a-1)$로 놓으면 $Q$는 $f(x) \le 0$의 해집합. $f$의 $[-2,4]$에서의 최댓값이 0 이하여야 한다. 꼭짓점 $x=1$에서 최솟값, 끝값 $x=-2, x=4$에서 모두 $f = 8 + a$로 최대. (3) $8 + a \le 0$, 즉 $a \le -8$. 따라서 최댓값은 $a = -8$. (검증: $a=-8$이면 $Q = [-2, 4] = P$이므로 $P \subseteq Q$ ✓.)

📖 풀이:
(1) $f(x) = |x| + 1 \ge 1$이므로 $f$의 치역은 $[1, \infty)$. $f(f(x)) = 4$에서 $y = f(x)$로 놓으면 $f(y) = 4$. (2) $f(y) = 4$의 해: $y \ge 0$인 영역에서 $y + 1 = 4$, $y = 3$ (적합). $y < 0$인 영역에서 $-y + 1 = 4$, $y = -3$인데 이 값은 $f$의 치역 밖($f \ge 1$)이므로 사용 불가. 즉 $f(x) = 3$만 풀면 된다. (3) $f(x) = 3$: $x \ge 0$이면 $x + 1 = 3$, $x = 2$ ✓. $x < 0$이면 $-x + 1 = 3$, $x = -2$ ✓. 따라서 실근은 $x = -2, 2$의 2개.

📖 풀이:
(1) $A(0,0)$에서 $P(2,1)$까지의 최단경로 수: 오른쪽 2번, 위로 1번, 총 3번 이동. 같은 것이 있는 순열의 수 $\dfrac{3!}{2!\,1!} = 3$. (2) $P(2,1)$에서 $B(4,3)$까지의 최단경로 수: 오른쪽 2번, 위로 2번, 총 4번 이동. $\dfrac{4!}{2!\,2!} = 6$. (3) $P$를 통과하는 경로는 $A \to P$ 경로와 $P \to B$ 경로를 결합한 것이므로 곱의 법칙으로 $3 \times 6 = 18$.

📖 풀이:
(1) 절대값 함수의 합 $\sum_{i=1}^{n} |x - a_i|$는 $\{a_i\}$의 중앙값(median)에서 최솟값을 가진다(고1 수준의 직관: 구간별 일차함수의 기울기가 부호 바뀔 때 최솟값). (2) $\{1, 3, 5\}$의 중앙값은 $3$. 구간별로 분석: $x < 1$에서 $f(x) = -3x + 9$ (감소), $1 \le x < 3$에서 $f(x) = -x + 7$ (감소), $3 \le x < 5$에서 $f(x) = x + 1$ (증가), $x \ge 5$에서 $f(x) = 3x - 9$ (증가). 부호 전환점은 $x = 3$. (3) $f(3) = 2 + 0 + 2 = 4$. 최솟값 $= 4$, $x = 3$.

📖 풀이:
(1) 항등식 $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$를 활용한다. (2) 주어진 값을 대입: $6^2 = 14 + 2(ab+bc+ca)$, 즉 $36 = 14 + 2(ab+bc+ca)$. (3) $2(ab+bc+ca) = 22$이므로 $ab + bc + ca = 11$.

📖 풀이:
(1) $z = a + bi$ ($a, b$는 실수)로 놓으면 $z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi = -3 + 4i$. 실수부와 허수부를 비교: $a^2 - b^2 = -3$, $2ab = 4$, 즉 $ab = 2$. (2) $a^2 + b^2 = \sqrt{(a^2-b^2)^2 + (2ab)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ (또는 $|z|^2 = |z^2|$로 직접 계산). 따라서 $a^2 = \dfrac{5 + (-3)}{2} = 1$, $b^2 = \dfrac{5 - (-3)}{2} = 4$. (3) $ab = 2 > 0$이므로 $a, b$는 같은 부호. $z = 1 + 2i$ 또는 $z = -1 - 2i$. (검증: $(1+2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$ ✓.)

📖 풀이:
(1) $f(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2 x + (ab + b) = a^2 x + b(a+1)$. 이 식이 항등적으로 $4x + 3$과 같으려면 $a^2 = 4$, $b(a+1) = 3$. (2) $a^2 = 4$에서 $a = 2$ 또는 $a = -2$. $a = 2$: $b(3) = 3$이므로 $b = 1$, $a + b = 3$. $a = -2$: $b(-1) = 3$이므로 $b = -3$, $a + b = -5$. (3) 따라서 $a + b$의 가능한 값은 $3$ 또는 $-5$. (검증: $a=2, b=1$이면 $f(f(x)) = 2(2x+1)+1 = 4x+3$ ✓; $a=-2, b=-3$이면 $f(f(x)) = -2(-2x-3) - 3 = 4x + 3$ ✓.)

📖 풀이:
1단계: 우변 전개. $(x^2 + x + 1)(x^2 + px + q) = x^4 + px^3 + qx^2 + x^3 + px^2 + qx + x^2 + px + q = x^4 + (p+1)x^3 + (p+q+1)x^2 + (p+q)x + q$.
2단계: 좌변과 계수 비교. $x^3$ 계수: $p+1 = 2 \Rightarrow p = 1$. 상수항: $q = 2$.
3단계: 검증. $x^2$ 계수: $p+q+1 = 4$ ✓. $x$ 계수: $p+q = 3$ ✓. 따라서 $p \cdot q = 1 \cdot 2 = 2$.