📝 고1 수학 심화

📖 풀이:
1단계: $x$축과의 교점은 $x^2-6x+5=0\Rightarrow x=1,5$. 영역은 $1\le x\le 5$, $x^2-6x+5\le y\le 0$.
2단계: 정수 $x$별로 가능한 정수 $y$ 개수를 센다.
$x=1$: $y=0$ (1개), $x=2$: $-3\le y\le 0$ (4개), $x=3$: $-4\le y\le 0$ (5개), $x=4$: $-3\le y\le 0$ (4개), $x=5$: $y=0$ (1개).
3단계: $1+4+5+4+1=15$.

📖 풀이:
1단계: $B$의 부등식은 $(x-1)(x-b)\le 0$이므로 $B$의 두 끝점은 $1$과 $b$.
2단계: $A$의 두 끝점을 $\alpha,\beta\,(\alpha\le\beta)$라 하면 근과 계수의 관계로 $\alpha+\beta=4$, $\alpha\beta=a$.
3단계: $A=B$이려면 두 끝점이 일치해야 한다. 즉 $\{1,b\}=\{\alpha,\beta\}$, $1+b=4$에서 $b=3$, $a=1\cdot 3=3$. 따라서 $a+b=6$.

📖 풀이:
1단계: 첫 부등식은 $1\le x\le 4$, 정수해 $\{1,2,3,4\}$.
2단계: 둘째는 $(x-2)(x-a)\le 0$. $a\ge 2$이면 $2\le x\le a$, $a<2$이면 $a\le x\le 2$.
3단계: 교집합의 정수해를 분석한다.
(i) $a\ge 2$일 때 교집합은 $2\le x\le \min(4,a)$. 정수 3개($\{2,3,4\}$)이려면 $\min(4,a)\ge 4$, 즉 $a\ge 4$.
(ii) $a<2$일 때 교집합은 $\max(1,a)\le x\le 2$로 정수 최대 2개뿐이라 조건 불가.
따라서 $a\ge 4$.

📖 풀이:
1단계: 원을 표준형으로 정리한다. $(x-2)^2+(y+1)^2=9$. 중심 $(2,-1)$, 반지름 $3$.
2단계: 외부점 $P(x_1,y_1)$에서의 접점을 잇는 직선(극선)의 공식 $(x_1-h)(x-h)+(y_1-k)(y-k)=r^2$을 적용한다.
3단계: $(2-2)(x-2)+(4-(-1))(y-(-1))=9 \Rightarrow 0+5(y+1)=9 \Rightarrow 5y=4$.

📖 풀이:
1단계: $f^2(x)=f(f(x))=\dfrac{\frac{x-1}{x+1}-1}{\frac{x-1}{x+1}+1}=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)+(x+1)}=\dfrac{-2}{2x}=-\dfrac{1}{x}$.
2단계: $f^3(x)=f\!\left(-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{-\frac{1}{x}-1}{-\frac{1}{x}+1}=\dfrac{-1-x}{-1+x}=\dfrac{x+1}{1-x}$, $f^4(x)=f\!\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)=x$.
3단계: $f^4=\text{항등}$이므로 주기 $4$. $2026=4\cdot 506+2$이므로 $f^{2026}(2)=f^2(2)=-\dfrac{1}{2}$.

📖 풀이:
1단계: 원순열은 한 사람을 고정한다. A의 자리를 고정.
2단계: A에서 두 자리 떨어진 위치는 시계방향과 반시계방향 두 곳이 있고, 7명 자리에서는 서로 다른 자리이므로 B가 들어갈 위치는 $2$가지.
3단계: A와 B 사이의 한 자리에는 나머지 5명 중 1명이 오므로 $5$가지, 남은 4자리에 4명을 배치하는 방법은 $4!=24$. 총 $2\times 5\times 24=240$.

📖 풀이:
1단계: 약수 개수 함수의 곱셈성질로 $\tau(n)=6$인 자연수는 $n=p^5$ 또는 $n=p^2 q$ ($p,q$는 서로 다른 소수) 두 형태뿐이다.
2단계: $p^5\le 100$: $2^5=32$ 만 가능 → 1개.
3단계: $p^2 q\le 100$:
$p=2$: $q\le 25$, $q\ne 2$ 소수 $\{3,5,7,11,13,17,19,23\}$ → 8개.
$p=3$: $q\le 11$, $q\ne 3$ 소수 $\{2,5,7,11\}$ → 4개.
$p=5$: $q\le 4$, $q\ne 5$ 소수 $\{2,3\}$ → 2개.
$p=7$: $q\le 2$, $q=2$ → 1개. ($p\ge 11$이면 $p^2\ge 121>100$.)
총합: $1+8+4+2+1=16$.

📖 풀이:
1단계: 양변에 $(1-x)$를 곱한다. $(1-x)(1+x)=1-x^2$, $(1-x^2)(1+x^2)=1-x^4$, $\cdots$ 식으로 연쇄 적용하면 좌변은 $1-x^{16}$.
2단계: 따라서 원식 $=\dfrac{1-x^{16}}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^{15}$.
3단계: 모든 계수가 $1$이므로 $a_3=a_7=a_{12}=1$, 합은 $3$.

📖 풀이:
1단계: $z=a+bi$ ($a,b$는 실수)로 두면 $z+\bar{z}=2a=6$이므로 $a=3$.
2단계: $z\bar{z}=a^2+b^2=9+b^2=13$이므로 $b^2=4$.
3단계: $z-3=bi$이므로 $|z-3|^2=b^2=4$.

📖 풀이:
1단계: 최댓값을 가지므로 $a<0$이고 꼭짓점이 $x=1$이면 $-\dfrac{b}{2a}=1$, 즉 $b=-2a$.
2단계: $f(0)=c=1$.
3단계: 두 근의 차는 $\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}=2\sqrt{2}$. $b=-2a,\,c=1$ 대입하면 $\dfrac{\sqrt{4a^2-4a}}{-a}=2\sqrt{2}$ ($a<0$이므로 $|a|=-a$). 양변 제곱: $\dfrac{4a^2-4a}{a^2}=8$, $4a^2-4a=8a^2$, $a^2+a=0$, $a=-1$ ($a<0$). 따라서 $b=2,\,c=1$이고 $abc=-2$.

📖 풀이:
1단계: 등비수열의 합 공식으로 $S=\dfrac{z(z^{16}-1)}{z-1}=\dfrac{(1+i)(z^{16}-1)}{i}$.
2단계: $i$의 거듭제곱 패턴 활용. $z^2=(1+i)^2=2i$, $z^4=(2i)^2=-4$, $z^8=16$, $z^{16}=256$.
3단계: $S=\dfrac{(1+i)\cdot 255}{i}$. 분모를 실수화: $\dfrac{1+i}{i}=\dfrac{(1+i)(-i)}{-i\cdot i}=\dfrac{-i+1}{1}=1-i$.
4단계: 따라서 $S=255(1-i)=255-255i$.

📖 풀이:
1단계 (이차항이 0인 경우): $a=1$이면 좌변 $=3>0$이 모든 $x$에서 성립. 만족.
2단계 (이차식인 경우): $a\neq 1$이면 위로 볼록 조건 $a-1>0$, 즉 $a>1$이 필요.
3단계: 또한 판별식 $D/4=(a-1)^2-3(a-1)=(a-1)(a-4)<0$, 즉 $1<a<4$.
4단계: 두 경우 합치면 $1 \leq a < 4$. 함정: $a=1$을 빠뜨리면 ①, $a=4$를 포함하면 ③이 되어 오답.

📖 풀이:
1단계 (대칭식 변환): $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$. 주어진 값 대입하면 $28 = 64 - 12xy$, 즉 $xy=3$.
2단계 (기본대칭식 활용): $x+y=4$, $xy=3$이므로 $x, y$는 이차방정식 $t^2-4t+3=0$의 두 근.
3단계 (인수분해): $(t-1)(t-3)=0$이므로 $t=1$ 또는 $t=3$.
4단계: 두 미지수가 대칭이므로 $(x,y)=(1,3)$ 또는 $(3,1)$. (함정: ②는 $x+y=4$만 만족, 두 번째 식 위반.)

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1단계 (식 형태 통일): $C_1: x^2+y^2-4=0$, $C_2: x^2+y^2-4x-2y+1=0$.
2단계 (식의 차감): $C_1$에서 $C_2$를 빼면 이차항이 모두 소거되어 $4x+2y-5=0$이라는 일차식을 얻는다.
3단계 (논리): 두 교점 $A, B$는 $C_1$과 $C_2$ 둘 다 만족하므로 두 식의 차도 만족한다. 따라서 일차식 $4x+2y-5=0$ 위에 있다.
4단계: 일차식은 한 직선을 결정하므로 직선 $AB$의 방정식은 $4x+2y-5=0$.

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1단계 (전개): 좌변 $=ab+1+1+\dfrac{1}{ab}=ab+\dfrac{1}{ab}+2$.
2단계 (산술-기하 평균): $a, b>0$이므로 $ab>0$. 양수 $ab$와 $\dfrac{1}{ab}$에 대해 $ab+\dfrac{1}{ab}\geq 2\sqrt{ab\cdot \dfrac{1}{ab}}=2$.
3단계 (결합): 좌변 $\geq 2+2 = 4$. (증명 완료)
4단계 (등호): $ab=\dfrac{1}{ab}$일 때, 즉 $(ab)^2=1$이고 $ab>0$이므로 $ab=1$일 때 등호. 함정: $a=b$만으로는 부족 ($a=b=2$이면 좌변 $=2.5\cdot 2.5=6.25\neq 4$).

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1단계 (실험): $f^1(1)=\dfrac{1}{2}$, $f^2(1)=f\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1/2}{3/2}=\dfrac{1}{3}$, $f^3(1)=\dfrac{1/3}{4/3}=\dfrac{1}{4}$.
2단계 (패턴 추측): $f^n(1)=\dfrac{1}{n+1}$로 보인다.
3단계 (귀납법 검증): $f^{n+1}(1)=f\!\left(\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{1/(n+1)}{1+1/(n+1)}=\dfrac{1/(n+1)}{(n+2)/(n+1)}=\dfrac{1}{n+2}$. 패턴이 유지된다.
4단계: $n=10$ 대입하면 $f^{10}(1)=\dfrac{1}{11}$.

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1단계 (전체 수): 같은 것이 있는 순열 공식으로 $\dfrac{6!}{2!\,2!\,2!}=90$.
2단계 (포함-배제 설정): 사건 $A_i$를 '문자 $i$ 두 개가 이웃' (단, $i \in \{a, b, c\}$). $|A_i|=\dfrac{5!}{2!\,2!}=30$.
3단계: $|A_i \cap A_j|=\dfrac{4!}{2!}=12$, $|A_a \cap A_b \cap A_c|=3!=6$.
4단계 (포함-배제): $|A_a \cup A_b \cup A_c|=3\cdot 30 - 3\cdot 12 + 6 = 60$.
5단계: 이웃하지 않는 경우 $=90-60=30$.

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1단계 (좌변 전개): $f(g(x))=(ax+b)^2-2=a^2x^2+2abx+b^2-2$.
2단계 (우변 전개): $g(f(x))=a(x^2-2)+b=ax^2-2a+b$.
3단계 (항등식 계수비교): $\;a^2=a, \;\; 2ab=0, \;\; b^2-2=-2a+b$.
4단계 (경우 분석): $a^2=a$에서 $a=0$ 또는 $a=1$.
- $a=0$: 두 번째 식 자동 성립. 세 번째에서 $b^2-b-2=0$, 즉 $(b-2)(b+1)=0$, $b=2$ 또는 $b=-1$. 두 쌍 $(0,2),(0,-1)$.
- $a=1$: 둘째 식에서 $2b=0$, $b=0$. 셋째 식: $0-2=-2+0=-2$. 성립. 한 쌍 $(1,0)$.
5단계: 총 $3$개의 순서쌍.

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1단계 (인수 표현): 최고차계수가 $1$인 삼차식 $f(x)$가 $(x-1)^2$로 나누어떨어지므로 $f(x)=(x-1)^2(x-r)$로 둘 수 있다.
2단계 (조건 활용): $f(2)=(2-1)^2(2-r)=2-r=4$, 따라서 $r=-2$.
3단계 (전개): $f(x)=(x-1)^2(x+2)=(x^2-2x+1)(x+2)$.
$\quad =x^3+2x^2-2x^2-4x+x+2 = x^3-3x+2$.
4단계 (계수 비교): $a=0$, $b=-3$, $c=2$. 검산: $f(1)=1-3+2=0$, $f(2)=8-6+2=4$. ✓

📖 풀이:
1단계 (제곱합 변환): $z^2+\bar{z}^2=(z+\bar{z})^2-2z\bar{z}=2^2-2\cdot 2=0$.
2단계 (네제곱합 변환): $z^4+\bar{z}^4=(z^2+\bar{z}^2)^2-2(z\bar{z})^2 = 0^2 - 2\cdot 2^2 = -8$.
3단계 (검증): $z+\bar{z}=2,z\bar{z}=2$이면 $z, \bar{z}$는 $t^2-2t+2=0$의 두 근, 즉 $z=1\pm i$. $(1+i)^4 = ((1+i)^2)^2 = (2i)^2=-4$. 같은 방식으로 $(1-i)^4=-4$. 합 $-8$. ✓

📖 풀이:
1단계 (점거듭제곱 관찰): 원 밖의 점 $P$에서 원과 만나는 임의의 할선의 두 교점 $A, B$에 대하여 $\overline{PA}\cdot \overline{PB}$는 직선 방향에 관계없이 $|OP|^2-r^2$로 일정.
2단계 (구체 계산): $|OP|^2=3^2+4^2=25$, $r^2=5$.
3단계: 따라서 $\overline{PA}\cdot \overline{PB}=25-5=20$.
4단계 (검증, 특수 직선): $P$와 $O$를 지나는 직선($y=\dfrac{4}{3}x$) 사용 시 두 교점은 $(\pm 1)\cdot \sqrt{5}/5 \cdot (3,4)$ 위에 위치. $\overline{PA}\cdot \overline{PB}=(|OP|+r)(|OP|-r)=(5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})=25-5=20$. ✓

📖 풀이:
1단계: 항등식이므로 양변에 $x=1$을 대입하면 $2^{10}=1024=a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{10}$. 2단계: $x=-1$을 대입하면 $0^{10}=0=a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots+a_{10}$. 3단계: 두 식을 변끼리 더하면 홀수 차수 항이 모두 소거되어 $1024+0=2(a_0+a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10})$. 따라서 짝수 차수 계수의 합은 $\dfrac{1024}{2}=512$이다.

📖 풀이:
1단계 (㉠): $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{(a-b)^2}{ab}\ge 0$이므로 성립 (등호 $a=b$). 2단계 (㉡): 양변이 양수이므로 제곱하여 비교한다. $a^2+b^2-\dfrac{(a+b)^2}{2}=\dfrac{2(a^2+b^2)-(a+b)^2}{2}=\dfrac{(a-b)^2}{2}\ge 0$이므로 성립. 3단계 (㉢): $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)}=\dfrac{(a-b)^2}{ab(a+b)}\ge 0$이므로 성립. 결론: 세 부등식 모두 절대부등식이며 등호 조건은 모두 $a=b$로 일치한다.

📖 풀이:
1단계: 계수가 좌우 대칭이므로 상반방정식. $x=0$은 해가 아니므로 양변을 $x^2$으로 나누면 $\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+8=0$. 2단계: $t=x+\dfrac{1}{x}$로 놓으면 $x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$이므로 $(t^2-2)-5t+8=0\Rightarrow t^2-5t+6=0\Rightarrow(t-2)(t-3)=0$. 3단계: $t=2$일 때 $x+\dfrac{1}{x}=2\Rightarrow x^2-2x+1=0\Rightarrow x=1$ (중근). $t=3$일 때 $x+\dfrac{1}{x}=3\Rightarrow x^2-3x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$. 4단계: 서로 다른 실근은 $1,\ \dfrac{3+\sqrt{5}}{2},\ \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$이고 그 합은 $1+\dfrac{(3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})}{2}=1+3=4$.

📖 풀이:
1단계 (실험): $f^1(x)=\dfrac{x}{2x+1}$. $f^2(x)=f(f(x))=\dfrac{\frac{x}{2x+1}}{\frac{2x}{2x+1}+1}=\dfrac{x}{2x+(2x+1)}=\dfrac{x}{4x+1}$. 같은 방식으로 $f^3(x)=\dfrac{x}{6x+1}$. 2단계 (일반항 추측 후 귀납 검증): $f^n(x)=\dfrac{x}{2nx+1}$로 추측. $f^{n+1}(x)=f(f^n(x))=\dfrac{\frac{x}{2nx+1}}{\frac{2x}{2nx+1}+1}=\dfrac{x}{2x+2nx+1}=\dfrac{x}{2(n+1)x+1}$이므로 $n+1$일 때도 성립. 3단계 (대입): $f^{10}(1)=\dfrac{1}{2\cdot 10\cdot 1+1}=\dfrac{1}{21}$.