📝 고1 수학 심화

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1단계: 좌변은 절댓값이므로 항상 0 이상. 따라서 우변 $x + 2 \ge 0$이 필요 조건이며, $x \ge -2$여야 한다.
2단계 (i) $x^2 - 4 \ge 0$ ($x \le -2$ 또는 $x \ge 2$)일 때: 식은 $x^2 - 4 = x + 2$, $x^2 - x - 6 = 0$, $(x - 3)(x + 2) = 0$, $x = 3$ 또는 $x = -2$. 두 값 모두 해당 조건을 만족하므로 유효.
3단계 (ii) $x^2 - 4 < 0$ ($-2 < x < 2$)일 때: 식은 $-(x^2 - 4) = x + 2$, $x^2 + x - 2 = 0$, $(x + 2)(x - 1) = 0$. $x = -2$는 구간 경계라 (i)에서 이미 셈, 여기서는 제외. $x = 1$만 유효.
4단계: 실근은 $\{-2, 1, 3\}$. 합은 $-2 + 1 + 3 = 2$이다.

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1단계: 주어진 두 참 명제를 연결하면, 삼단논법(가언삼단법)에 의해 $p \to r$도 참이다.
2단계: 한 명제와 그 대우는 진리값이 같다. $p \to r$의 대우는 $\sim r \to \sim p$이므로 ④ 역시 항상 참이다.
3단계: 나머지 선지 분석: ①은 $p \to q$의 '역', ②는 $p \to q$의 '이', ③은 $q \to r$의 '역'. 역과 이는 일반적으로 원명제와 진리값이 일치하지 않으므로 '항상 참'이라 단정할 수 없다. 따라서 답은 ④ 하나뿐.

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1단계 (변수 평행이동): $2x-1 = 2(x-1) + 1$로 변형한다. 따라서 $(2x-1)^7 = (2(x-1)+1)^7$. 2단계 (이항정리 적용): $(2(x-1)+1)^7 = \sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}(2(x-1))^{k}\cdot 1^{7-k} = \sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}2^{k}(x-1)^{k}$. 따라서 $a_k = \binom{7}{k}\cdot 2^k$. 3단계 (특정 계수 계산): $a_3 = \binom{7}{3}\cdot 2^3 = 35 \times 8 = 280$.

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1단계 (기본 관계식): $\omega^3=1$이고 $\omega \neq 1$이므로 $1+\omega+\omega^2=0$. 따라서 $1+\omega^2 = -\omega$, $1+\omega = -\omega^2$, $\omega+\omega^2 = -1$. 2단계 (각 인수 단순화): $1-\omega+\omega^2 = (1+\omega^2)-\omega = -\omega-\omega = -2\omega$. $1+\omega-\omega^2 = (1+\omega)-\omega^2 = -\omega^2-\omega^2 = -2\omega^2$. $1-\omega-\omega^2 = 1-(\omega+\omega^2) = 1-(-1)=2$. 3단계 (곱): $(-2\omega)(-2\omega^2)(2) = 8\omega^3 = 8\cdot 1 = 8$.

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1단계 (판별식): 서로 다른 두 실근이 존재하려면 $\frac{D}{4}=(k+1)^2-(k^2+4)=2k-3>0$, 즉 $k>\frac{3}{2}$. 2단계 (경계값): 두 근이 모두 2보다 크려면 $f(2)>0$. $f(2) = 4-4(k+1)+k^2+4 = k^2-4k+4 = (k-2)^2>0$이므로 $k\neq 2$. 3단계 (축의 위치): 축 $x=k+1$이 2의 오른쪽에 있어야 하므로 $k+1>2 \Rightarrow k>1$. 세 조건 교집합: $k>\frac{3}{2}$ 그리고 $k\neq 2$.

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1단계 (구조 인식): 계수 $1, -4, 6, -4, 1$은 $\binom{4}{0}, -\binom{4}{1}, \binom{4}{2}, -\binom{4}{3}, \binom{4}{4}$이므로 $x^4-4x^3+6x^2-4x+1=(x-1)^4$. 따라서 주어진 식은 $(x-1)^4 + (k-1) = 0$, 즉 $(x-1)^4 = 1-k$. 2단계 (실근 개수 분석): $t=x-1$로 치환. $t^4 = 1-k$. $1-k<0$이면 실근 없음. $1-k=0$이면 $t=0$ 4중근(실근 1개). $1-k>0$이면 $t = \pm(1-k)^{1/4}$로 서로 다른 두 실근. 3단계 (조건): '서로 다른 두 실근'은 $1-k>0$, 즉 $k<1$.

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1단계 (매개점 설정): 원 위의 점을 $P(a,b)$라 하면 $a^2+b^2=4$. 2단계 (중점 좌표): 중점 $M(x,y)$에 대해 $x=\frac{3+a}{2}$, $y=\frac{4+b}{2}$이므로 $a=2x-3$, $b=2y-4$. 3단계 (매개변수 소거): 조건식에 대입. $(2x-3)^2+(2y-4)^2 = 4$. 양변을 4로 나누면 $\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+(y-2)^2 = 1$. 따라서 자취는 중심 $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$, 반지름 1인 원.

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1단계 (쌍별 부등식): 두 양수에 대한 산술-기하 평균 부등식 $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$ (등호 $x=y$)을 세 가지 쌍에 적용한다. $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ (등호 $a=b$). $\frac{b+c}{2} \geq \sqrt{bc}$ (등호 $b=c$). $\frac{c+a}{2} \geq \sqrt{ca}$ (등호 $c=a$). 2단계 (합산): 세 부등식을 더하면 $\frac{2(a+b+c)}{2} = a+b+c \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$. 3단계 (등호 조건 통합): 세 등호가 모두 성립하려면 $a=b$, $b=c$, $c=a$가 동시에 성립해야 하므로 $a=b=c$.

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1단계 (전개): $f(f(x)) = (x^2-2)^2 - 2 = x^4 - 4x^2 + 2$. 따라서 방정식은 $x^4-4x^2-x+2=0$. 2단계 (인수분해): $f(x)=x$의 해, 즉 $x^2-x-2=0$의 해 $x=-1, 2$는 자동으로 $f(f(x))=x$의 해이다. 따라서 $x^2-x-2$가 인수. 다항식 나눗셈으로 $x^4-4x^2-x+2 = (x^2-x-2)(x^2+x-1)$. 검증: $(x^2-x-2)(x^2+x-1) = x^4+x^3-x^2-x^3-x^2+x-2x^2-2x+2 = x^4-4x^2-x+2$ ✓. 3단계 (실근 개수): $x^2-x-2=0 \Rightarrow x=-1, 2$. $x^2+x-1=0 \Rightarrow x = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ (둘 다 실수). 서로 다른 실근 4개.

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1단계 (4의 배수 판정법): 어떤 정수가 4의 배수일 필요충분조건은 끝 두 자리가 4의 배수이다($100=4\times 25$이므로). 2단계 (끝 두 자리 후보 나열): 1~6에서 서로 다른 두 숫자로 만든 두 자리 수 중 4의 배수: $12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64$. 총 $8$가지. 3단계 (앞 두 자리 배치): 끝 두 자리에 사용된 숫자 2개를 제외한 4개 숫자 중 2개를 골라 천의 자리, 백의 자리에 순서대로 배치하는 방법은 $4 \times 3 = 12$가지. 따라서 총 경우의 수는 $8 \times 12 = 96$.

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1단계 ($1$을 곱하기): $x+y=1$이므로 $\frac{1}{x}+\frac{4}{y} = (x+y)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right) = 1 + \frac{4x}{y} + \frac{y}{x} + 4 = 5 + \frac{4x}{y} + \frac{y}{x}$. 2단계 (산술-기하): $\frac{4x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\sqrt{\frac{4x}{y}\cdot\frac{y}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$. 등호는 $\frac{4x}{y} = \frac{y}{x}$, 즉 $y=2x$일 때. 3단계 (등호 검증과 결론): $y=2x$, $x+y=1$이면 $x=\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}$이며 양수 조건 만족. 이때 $\frac{1}{x}+\frac{4}{y} = 3+6 = 9$. 따라서 최솟값은 $9$.

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1단계 (합성함수 계산): $f(f(x)) = \frac{a\cdot\frac{ax+b}{x-1}+b}{\frac{ax+b}{x-1}-1} = \frac{a(ax+b)+b(x-1)}{(ax+b)-(x-1)} = \frac{(a^2+b)x+b(a-1)}{(a-1)x+(b+1)}$. 2단계 (항등식 변형): $f(f(x))=x$이려면 $(a^2+b)x+b(a-1) = x\cdot[(a-1)x+(b+1)] = (a-1)x^2+(b+1)x$. 양변의 $x^2$항 계수 비교: $0 = a-1 \Rightarrow a=1$. 3단계 (검증): $a=1$이면 좌변 $= (1+b)x+0 = (b+1)x$, 우변 $= 0\cdot x^2 + (b+1)x = (b+1)x$. $b\neq -1$이므로 두 식이 일치. 따라서 $a=1$.

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1단계 (교점 방정식): $x^2-4x+3 = mx-1 \Rightarrow x^2-(4+m)x+4 = 0$. 두 근을 $\alpha, \beta$라 하자. 2단계 (두 양근 조건 세 개): (i) 서로 다른 두 실근(판별식): $D=(4+m)^2-16>0 \Rightarrow (m+4)^2>16 \Rightarrow m>0$ 또는 $m<-8$. (ii) 두 근의 합 양수: $\alpha+\beta = 4+m > 0 \Rightarrow m>-4$. (iii) 두 근의 곱 양수: $\alpha\beta = 4 > 0$ (자동 성립). 3단계 (교집합): $(m>0 \text{ 또는 } m<-8)$ 그리고 $m>-4$. $m<-8$은 $m>-4$와 모순. 결과: $m>0$.

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1단계 (조건의 좌표화): $P(x,y)$로 두면 $\overline{PA}^2 = x^2+y^2$, $\overline{PB}^2 = (x-6)^2+y^2$. 거리 비 $1:2$이므로 $\overline{PB}^2 = 4\overline{PA}^2$. 2단계 (전개): $(x-6)^2+y^2 = 4(x^2+y^2)$. $x^2-12x+36+y^2 = 4x^2+4y^2$. 3단계 (정리): $3x^2+3y^2+12x-36=0 \Rightarrow x^2+y^2+4x-12=0 \Rightarrow (x+2)^2+y^2 = 16$. 자취는 중심 $(-2,0)$, 반지름 4인 원.

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(1) $t=x^2+1$로 치환하면 $x^2=t-1$. (2) 우변을 $t$에 대해 정리: $x^4+3x^2+5=(x^2)^2+3(x^2)+5=(t-1)^2+3(t-1)+5=t^2-2t+1+3t-3+5=t^2+t+3$. 따라서 $f(t)=t^2+t+3$. (3) $f(3)=9+3+3=15$.

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(1) 점 $P(x,y)$로 놓고 $2\overline{PA}=\overline{PB}$, 양변 제곱: $4\{(x+3)^2+y^2\}=(x-6)^2+y^2$. (2) 전개 후 정리: $3x^2+3y^2+36x=0 \Rightarrow (x+6)^2+y^2=36$. 즉 중심 $(-6,0)$, 반지름 $6$인 원(아폴로니우스 원). (3) 점 $C(0,8)$에서 중심 $(-6,0)$까지 거리는 $\sqrt{36+64}=10$. $C$는 원 밖의 점이므로 원까지 최소거리 $=10-6=4$.

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(1) $f(x)=x^2-2ax+a+6$의 두 근이 모두 $(1,4)$에 있으려면 네 조건이 동시에 성립: $\,(i)$ $D/4=a^2-(a+6)\geq 0 \Rightarrow (a-3)(a+2)\geq 0 \Rightarrow a\leq -2$ 또는 $a\geq 3$. $\,(ii)$ $f(1)=7-a>0 \Rightarrow a<7$. $\,(iii)$ $f(4)=22-7a>0 \Rightarrow a<\dfrac{22}{7}$. $\,(iv)$ $1<$ 축 $x=a<4$. (2) $(i)$와 $(iv)$의 교집합: $3\leq a<4$. (3) 여기에 $(iii)$을 합치면 $3\leq a<\dfrac{22}{7}$. $(ii)$는 자동 만족. 따라서 구하는 범위는 $3\leq a<\dfrac{22}{7}$.

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(1) $\omega^2+\omega+1=0$에서 $\omega+\omega^2=-1$. 또 $(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=\omega^3-1=0$이므로 $\omega^3=1$. (2) 통분: $\dfrac{1}{1-\omega}+\dfrac{1}{1-\omega^2}=\dfrac{(1-\omega^2)+(1-\omega)}{(1-\omega)(1-\omega^2)}=\dfrac{2-\omega-\omega^2}{(1-\omega)(1-\omega^2)}$. (3) 분자 $=2-(-1)=3$. 분모 $=1-\omega-\omega^2+\omega^3=1-(-1)+1=3$. 따라서 주어진 값은 $\dfrac{3}{3}=1$.

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(1) $C_1$의 중심 $O_1(0,0)$, 반지름 $3$. $C_2$의 중심 $O_2(10,0)$, 반지름 $1$. 중심거리 $|O_1O_2|=10$이고 $10>3+1$이므로 두 원은 서로 떨어져 있다. (2) $\overline{PQ}$의 최댓값은 $P,Q$가 두 중심의 반대쪽 가장자리에 있을 때로 $M=|O_1O_2|+r_1+r_2=10+3+1=14$. (3) 최솟값은 $P,Q$가 두 중심 사이 가까운 쪽 가장자리에 있을 때로 $m=|O_1O_2|-r_1-r_2=10-3-1=6$. 따라서 $M+m=14+6=20$.

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(1) 첫 부등식 $x^2-5x+4<0 \Leftrightarrow (x-1)(x-4)<0 \Leftrightarrow 1<x<4$. 이 구간 안의 정수는 $2$와 $3$뿐. (2) 두 번째 부등식 $(x-a)(x-2)>0$에 $x=2$ 대입: $0>0$은 거짓이므로 $2$는 항상 연립 해에 포함되지 않는다(자동). (3) 남은 정수 $3$이 연립 해에 포함되지 않으려면 $(3-a)(3-2)\leq 0 \Rightarrow 3-a\leq 0 \Rightarrow a\geq 3$. 따라서 구하는 범위는 $a\geq 3$.

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(1) $A\cap B=\{2,4\}$: 원소 $2,4$는 $A$와 $B$에 모두 속함(고정). (2) $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$이고 $A\cap B=\{2,4\}$이므로 원소 $1,3,5,6$은 $A$와 $B$ 중 '정확히 하나'에만 속함. 각 원소마다 'A에만' 또는 'B에만'의 2가지 선택이 있으므로 $2^4=16$가지. (3) 원소 $7,8,9,10$은 $A\cup B$에 속하지 않으므로 $A,B$ 어디에도 속하지 않음(고정). 따라서 순서쌍 $(A,B)$의 수는 $16$.

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(1) 차례로 합성하면 $f_1(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$, $f_2(x)=f(f_1(x))=\dfrac{\frac{x-1}{x+1}-1}{\frac{x-1}{x+1}+1}=\dfrac{-2}{2x}=-\dfrac{1}{x}$. (2) $f_3(x)=f\!\left(-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{-\frac{1}{x}-1}{-\frac{1}{x}+1}=\dfrac{-1-x}{-1+x}=\dfrac{1+x}{1-x}$. $f_4(x)=f\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)=\dfrac{\frac{1+x}{1-x}-1}{\frac{1+x}{1-x}+1}=\dfrac{2x}{2}=x$. 즉 $f_n$은 주기 $4$로 반복. (3) $2025=4\cdot 506+1$이므로 $f_{2025}=f_1=f$. 따라서 $f_{2025}(2)=f(2)=\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$.

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(1) 소피 제르맹 항등식: $n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2)^2-(2n)^2=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)$. (2) 이 값이 소수가 되려면 두 인수 중 하나가 $1$이어야 한다. $n^2+2n+2=(n+1)^2+1\geq 2$(자연수 $n$)이므로 $1$이 될 수 없고, $n^2-2n+2=(n-1)^2+1=1$은 $n=1$에서만 성립. (3) $n=1$일 때 $n^4+4=1+4=5$(소수). $n\geq 2$일 때는 두 인수 모두 $2$ 이상이 되어 합성수. 따라서 해는 $n=1$, 값 $5$.

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(1) $f(x)=x^2-ax+a-1$은 이차항 계수가 양수이므로 아래로 볼록. $f(x)\leq 0$의 해가 단 한 점이 되려면 포물선이 $x$축에 접해야 하고, 이는 $D=0$. (2) $D=a^2-4(a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2$. $D=0 \Rightarrow a=2$. (3) $a=2$일 때 $x^2-2x+1=(x-1)^2\leq 0$은 $x=1$에서만 등호. 따라서 유일해 $x=1$.