📝 고1 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 책 선택. 소설 5권 중 3권 $\binom{5}{3}=10$가지, 시집 4권 중 2권 $\binom{4}{2}=6$가지. 총 $10\cdot 6=60$가지.
2단계: 5자리에 소설(N) 3권·시집(P) 2권을 같은 종류가 이웃하지 않게 배치하는 패턴 찾기. 소설이 3권이므로 소설끼리 떨어져 있으려면 자리 $1, 3, 5$에 소설을 배치할 수밖에 없다. 그 사이 자리 $2, 4$에 시집.
3단계: 즉 유일한 패턴은 N-P-N-P-N. 이때 시집끼리도 자동으로 이웃하지 않음.
4단계: 패턴에 대해 선택된 소설 3권의 순서 $3!=6$, 시집 2권의 순서 $2!=2$. 한 조합당 $6\cdot 2=12$가지. 총 $60\cdot 12=720$.

📖 풀이:
1단계: $A$ 해석. $x^2-2ax+a^2-1\leq 0 \Leftrightarrow (x-a)^2\leq 1 \Leftrightarrow a-1\leq x\leq a+1$. 즉 $A=[a-1, a+1]$.
2단계: $B$ 해석. $x^2-x-2>0 \Leftrightarrow (x-2)(x+1)>0 \Leftrightarrow x<-1$ 또는 $x>2$. 즉 $B^c=[-1, 2]$.
3단계: $A\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset B^c=[-1, 2]$. 따라서 $-1\leq a-1$ 그리고 $a+1\leq 2$.
4단계: $a\geq 0$ 그리고 $a\leq 1$, 즉 $0\leq a\leq 1$. 경계 확인: $a=0$이면 $A=[-1,1]\subset[-1,2]$, $a=1$이면 $A=[0,2]\subset[-1,2]$로 양쪽 모두 만족.

📖 풀이:
1단계: $f(1)=a$라 두면 조건 $f(f(1))=1$은 $f(a)=1$과 동치이다. $a\in S$에 따라 경우를 나눈다.
2단계: 경우 A: $a=1$. 즉 $f(1)=1$. 조건 $f(a)=f(1)=1$은 자동 성립. $f(2), f(3), f(4), f(5)$는 각각 $S$의 5개 값 중 자유. $5^4=625$.
3단계: 경우 B: $a\neq 1$. $a\in\{2,3,4,5\}$로 4가지. $f(1)=a$, $f(a)=1$ 두 값이 정해짐. 나머지 3개의 함숫값은 자유로 각각 $5^3=125$. 따라서 $4\cdot 125=500$.
4단계: 총 $625+500=1125$.

📖 풀이:
1단계) 삼차식이 이차식 $x^2+x+1$로 나누어떨어지므로 몫은 일차식이다. 따라서 $f(x)=(x^2+x+1)(x+k)$로 놓을 수 있다.
2단계) 전개하면 $f(x)=x^3+(k+1)x^2+(k+1)x+k$이므로 $a=k+1,\; b=k+1,\; c=k$이다.
3단계) $f(1)=1+(k+1)+(k+1)+k=3k+3=6$에서 $k=1$. 따라서 $a=2,\; b=2,\; c=1$이고 $a+b+c=5$이다.

📖 풀이:
1단계) 통분하면 $\dfrac{\bar{z}}{z}+\dfrac{z}{\bar{z}}=\dfrac{\bar{z}^2+z^2}{z\bar{z}}$. 분모 $z\bar{z}=|z|^2=3^2+4^2=25$.
2단계) $z^2=(3+4i)^2=9+24i-16=-7+24i$, $\bar{z}^2=-7-24i$.
3단계) 분자 $z^2+\bar{z}^2=-14$. 따라서 구하는 값은 $\dfrac{-14}{25}=-\dfrac{14}{25}$.

📖 풀이:
1단계) $f(x)=(x-a)^2+a^2-2$의 꼭짓점은 $x=a$. 구간 $[0,3]$에서의 최솟값이 꼭짓점의 위치에 따라 세 경우로 나뉘므로 각각 분석한다.
2단계) (i) $a\le 0$일 때 최솟값은 $f(0)=2a^2-2\ge 0$에서 $a^2\ge 1$, 즉 $a\le -1$. (ii) $0<a<3$일 때 최솟값은 $f(a)=a^2-2\ge 0$에서 $a\ge \sqrt{2}$ (양의 범위이므로). 따라서 $\sqrt{2}\le a<3$.
3단계) (iii) $a\ge 3$일 때 최솟값은 $f(3)=2a^2-6a+7$. 판별식 $36-56<0$이므로 모든 실수에서 양수, 즉 $a\ge 3$ 전체 성립. 세 경우를 합치면 $a\le -1$ 또는 $a\ge \sqrt{2}$.

📖 풀이:
1단계) 두 식을 더하면 $2(x^2+y^2)=26$에서 $x^2+y^2=13$, 빼면 $2xy=12$에서 $xy=6$.
2단계) $(x+y)^2=(x^2+y^2)+2xy=13+12=25$이므로 $x+y=5$ 또는 $x+y=-5$.
3단계) $x+y=5,\; xy=6$이면 $x,y$는 $t^2-5t+6=0$의 두 실근 $2,3$으로 실수해 존재. $x+y=-5,\; xy=6$이면 $t^2+5t+6=0$의 두 실근 $-2,-3$으로 역시 실수해 존재. 따라서 $x+y$의 값은 $\{5,-5\}$이고 총합은 $0$.

📖 풀이:
1단계) $P(x,y)$로 놓으면 $2\overline{AP}=\overline{BP}$에서 $4\overline{AP}^2=\overline{BP}^2$. 즉 $4\{(x-1)^2+y^2\}=(x+2)^2+y^2$.
2단계) 전개하면 $4x^2-8x+4+4y^2=x^2+4x+4+y^2$, 정리하면 $3x^2-12x+3y^2=0$, 즉 $x^2-4x+y^2=0$.
3단계) 완전제곱으로 $(x-2)^2+y^2=4$. 이는 중심 $(2,0)$, 반지름 $2$인 원이므로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\pi\cdot 2^2=4\pi$.

📖 풀이:
1단계) 조건 $p$의 진리집합은 $P=[-1,\;3]$. 조건 $q$는 $(x-a)^2\le 4$와 동치이므로 진리집합은 $Q=[a-2,\;a+2]$.
2단계) '$p$가 $q$이기 위한 충분조건'이란 $p\Rightarrow q$가 참이라는 뜻이므로 $P\subseteq Q$.
3단계) $[-1,3]\subseteq[a-2,a+2]$이려면 $a-2\le -1$ 이고 $a+2\ge 3$. 즉 $a\le 1$ 이고 $a\ge 1$. 두 부등식이 동시에 성립하려면 $a=1$ 뿐이다.

📖 풀이:
1단계) $f$는 $x\ge 1$에서 꼭짓점 $(1,1)$을 갖는 증가함수이므로 역함수 $g$가 존재하고, $f,\;g$는 모두 강증가함수이다.
2단계) 일반적으로 강증가함수 $f$와 그 역함수 $g$의 교점은 직선 $y=x$ 위에 있다. (만약 $f(x)>x$라면 $g$를 취해 $x>g(x)$, 즉 $f(x)>x>g(x)$가 되어 $f(x)=g(x)$와 모순.) 따라서 $f(x)=g(x)\;\Leftrightarrow\;f(x)=x$.
3단계) $x^2-2x+2=x$에서 $x^2-3x+2=0$, $x=1$ 또는 $x=2$. 두 해 모두 정의역 $x\ge 1$을 만족. 따라서 실근의 합은 $1+2=3$.

📖 풀이:
1단계) 전체 경우의 수는 $\dfrac{7!}{2!\cdot 2!\cdot 2!}=\dfrac{5040}{8}=630$. 사건 $A_a,\;A_b,\;A_c$를 각각 '같은 문자 두 개가 이웃한다'로 놓고 포함배제를 적용한다.
2단계) $|A_a|$: $aa$를 하나로 묶으면 6개 단위 (b 2개, c 2개 중복) $\rightarrow \dfrac{6!}{2!\cdot 2!}=180$. 대칭으로 $|A_b|=|A_c|=180$. $|A_a\cap A_b|$: $aa,\;bb$를 묶으면 5단위 (c 2개 중복) $\rightarrow \dfrac{5!}{2!}=60$. 대칭으로 세 교집합 모두 60.
3단계) $|A_a\cap A_b\cap A_c|$: 세 묶음과 $d$까지 4단위 $\rightarrow 4!=24$. 포함배제에 의해 이웃하지 않는 경우 $=630-3\cdot 180+3\cdot 60-24=630-540+180-24=246$.

📖 풀이:
1단계) $(x+y)=4$와의 곱을 이용한다. $\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}\right)(x+y)=1+\dfrac{y}{x}+\dfrac{9x}{y}+9=10+\dfrac{y}{x}+\dfrac{9x}{y}$.
2단계) 산술기하평균 부등식에 의해 $\dfrac{y}{x}+\dfrac{9x}{y}\ge 2\sqrt{\dfrac{y}{x}\cdot\dfrac{9x}{y}}=2\sqrt{9}=6$. 등호는 $\dfrac{y}{x}=\dfrac{9x}{y}$, 즉 $y=3x$일 때 성립.
3단계) 따라서 $\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}\right)\cdot 4\ge 16$에서 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}\ge 4$. 등호는 $y=3x$와 $x+y=4$에서 $x=1,\;y=3$일 때이므로 성립 가능. 최솟값은 $4$.

📖 풀이:
1단계) $(f\circ g)(x)=f(g(x))=2(ax+b)+1=2ax+2b+1$.
2단계) $(g\circ f)(x)=g(f(x))=a(2x+1)+b=2ax+a+b$.
3단계) 두 식이 항상 같으려면 일차항 계수는 이미 같으므로 상수항만 비교: $2b+1=a+b$, 즉 $a=b+1$.

📖 풀이:
1단계) 각 항에 $1$씩 더해 공통분자 $a+b+c$를 만든다. $\dfrac{a}{b+c}+1=\dfrac{a+b+c}{b+c}$. 세 항 모두 같은 방식으로 처리하면 구하는 식 $S$에 대해 $S+3=(a+b+c)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)$.
2단계) 코시-슈바르츠 부등식에 의해 $\{(b+c)+(c+a)+(a+b)\}\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge (1+1+1)^2=9$. 좌변 첫 괄호는 $2(a+b+c)$이므로 $\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\ge \dfrac{9}{2(a+b+c)}$.
3단계) 따라서 $S+3\ge (a+b+c)\cdot\dfrac{9}{2(a+b+c)}=\dfrac{9}{2}$, 즉 $S\ge \dfrac{3}{2}$. 등호는 $b+c=c+a=a+b$, 즉 $a=b=c$일 때 성립하므로 최솟값은 $\dfrac{3}{2}$.

📖 풀이:
1단계) 원 $C$의 중심 $O(0,0)$에서 현에 내린 수선은 그 현의 수직이등분선이므로 중점 $M$을 지난다. 즉 $\overline{OM}\perp$ (현), 그런데 현은 $A$를 지나므로 $\overline{OM}\perp\overline{MA}$.
2단계) $M(x,y)$로 놓으면 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AM}=0$, 즉 $(x,y)\cdot(x-2,\;y)=0$. 전개하면 $x(x-2)+y\cdot y=0$, $x^2-2x+y^2=0$.
3단계) 완전제곱으로 $(x-1)^2+y^2=1$. 이는 선분 $\overline{OA}$를 지름으로 하는 원이다. $A$ 자신도 $x=y=0$ 대입... 아니, $A=(2,0)$ 대입하면 $(2-1)^2+0=1$로 만족하며, 이는 '$A$를 지나는 수직 현'의 중점이 $A$ 자신인 경우에 해당한다. 따라서 자취는 원 $(x-1)^2+y^2=1$ 전체이다.

📖 풀이:
1단계: $f(x+1) - f(x)$의 결과가 $x$의 1차식이므로 $f(x)$는 2차식으로 놓을 수 있다. $f(x) = ax^2 + bx + c$라 하자.
2단계: $f(x+1) - f(x) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c - (ax^2 + bx + c) = 2ax + a + b$. 이를 $2x + 1$과 항등적으로 같게 두면 $2a = 2$, $a + b = 1$이므로 $a = 1$, $b = 0$.
3단계: 초기조건 $f(0) = c = 3$이므로 $f(x) = x^2 + 3$. 따라서 $f(5) = 25 + 3 = 28$이다.

📖 풀이:
1단계: 복소수의 곱셈에 대한 절댓값 성질 $|zw| = |z||w|$로부터 $|z^2| = |z|^2$이다.
2단계: 우변의 절댓값은 $|3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
3단계: 따라서 $|z|^2 = 5$이고, $|z| \ge 0$이므로 $|z| = \sqrt{5}$이다.

📖 풀이:
1단계: 교점의 $x$좌표는 $x^2 = -x^2 + 4x + a$, 즉 $h(x) = 2x^2 - 4x - a = 0$의 근이다. 두 근이 모두 열린구간 $(0, 3)$에 놓이는 조건을 구한다.
2단계: 이차항 계수가 양수이므로 근의 분포 조건은 네 가지: (i) 서로 다른 두 실근이어야 하므로 $D/4 = 4 + 2a > 0$, $a > -2$. (ii) 축 $x = 1$이 $0 < 1 < 3$ 안에 있음 (항상 성립). (iii) $h(0) > 0$: $-a > 0$, $a < 0$. (iv) $h(3) > 0$: $18 - 12 - a > 0$, $a < 6$.
3단계: 네 조건의 교집합은 $-2 < a < 0$이다. ②는 경계 포함이라 근이 경계에 놓여 '열린구간 안'에서 만난다는 조건을 깨므로 함정이다.

📖 풀이:
1단계: 공통으로 등장하는 $x^2 - x$를 새로운 문자로 치환한다. $t = x^2 - x$라 두면 방정식은 $(t - 1)(t - 3) = 3$, 전개하면 $t^2 - 4t + 3 = 3$, $t^2 - 4t = 0$, $t(t - 4) = 0$. 따라서 $t = 0$ 또는 $t = 4$.
2단계: $t = 0$일 때 $x^2 - x = 0$, $x(x - 1) = 0$이므로 $x = 0, 1$. 두 값 모두 실근이며 합은 $1$.
3단계: $t = 4$일 때 $x^2 - x - 4 = 0$. 판별식 $D = 1 + 16 = 17 > 0$이므로 서로 다른 두 실근을 가지고, 근과 계수의 관계에 의해 근의 합은 $1$.
4단계: 네 실근의 총합은 $1 + 1 = 2$이다.

📖 풀이:
1단계: 기울기가 1인 직선을 $y = x + k$ ($k$는 매개변수)로 나타낸다. 이 직선이 원 $x^2 + y^2 = 10$과 서로 다른 두 점 $A, B$에서 만난다고 하자.
2단계: 원의 중심 $O(0, 0)$에서 현 $AB$에 내린 수선의 발은 현의 중점 $M$이 된다 (원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다).
3단계: $OM$이 현 $AB$에 수직이고 현의 기울기가 $1$이므로 $OM$의 기울기는 $-1$이다. $O$를 지나고 기울기 $-1$인 직선은 $y = -x$. 따라서 $M(x_0, y_0)$은 이 직선 위의 점이므로 $y_0 = -x_0$이다 (단, $M$은 원 내부의 점이어야 하므로 $|x_0| < \sqrt{5}$).

📖 풀이:
1단계: 조건 $p$의 진리집합을 구한다. $x^2 - 5x + 4 \le 0$, $(x - 1)(x - 4) \le 0$이므로 $P = [1, 4]$.
2단계: 조건 $q$의 진리집합은 $|x - a| \le 2$, 즉 $a - 2 \le x \le a + 2$이므로 $Q = [a - 2, a + 2]$.
3단계: 명제 $p \to q$가 참이라는 것은 $P \subset Q$와 동치다. 즉 $[1, 4] \subset [a - 2, a + 2]$이려면 $a - 2 \le 1$ 그리고 $a + 2 \ge 4$.
4단계: 두 부등식을 풀면 $a \le 3$, $a \ge 2$. 따라서 $2 \le a \le 3$이다. (경계 포함: $a = 2$이면 $Q = [0, 4] \supset [1, 4]$, $a = 3$이면 $Q = [1, 5] \supset [1, 4]$로 모두 성립한다.)

📖 풀이:
1단계: 두 합성함수를 각각 전개한다. $(f \circ g)(x) = f(2x + 3) = a(2x + 3) + b = 2ax + 3a + b$. $(g \circ f)(x) = g(ax + b) = 2(ax + b) + 3 = 2ax + 2b + 3$.
2단계: 두 식이 모든 $x$에서 항등적으로 같으려면 $x$의 계수와 상수항이 모두 같아야 한다. $x$의 계수는 양쪽 다 $2a$로 자동 성립. 상수항 비교 $3a + b = 2b + 3$에서 $b = 3a - 3$.
3단계: 조건 $f(1) = a + b = 5$에 $b = 3a - 3$을 대입하면 $a + 3a - 3 = 5$, $4a = 8$, $a = 2$. 따라서 $b = 3$.
4단계: $a + b = 2 + 3 = 5$이다.

📖 풀이:
1단계: 세 수의 합이 짝수가 되는 조합은 (짝짝짝) 또는 (짝홀홀) 두 경우뿐이다. 1부터 7까지에서 짝수는 $\{2, 4, 6\}$ (3개), 홀수는 $\{1, 3, 5, 7\}$ (4개)이다.
2단계: (짝수 3개 선택): 짝수가 정확히 3개뿐이므로 $\binom{3}{3} = 1$가지. 세 숫자를 일렬로 배열: $3! = 6$. 경우의 수 $1 \times 6 = 6$.
3단계: (짝수 1개 + 홀수 2개 선택): $\binom{3}{1} \times \binom{4}{2} = 3 \times 6 = 18$가지. 배열: $3! = 6$. 경우의 수 $18 \times 6 = 108$.
4단계: 모든 경우의 합은 $6 + 108 = 114$이다. (참고: 1~7 세 수로 만드는 세 자리 수는 총 $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$개이므로, 짝수 합 114 + 홀수 합 96 = 210으로 검산 가능.)

📖 풀이:
1단계: 인수정리에 의해 $x - 1$, $x + 1$, $x - 2$는 모두 $P(x)$의 인수다. $P(x)$는 최고차항 계수가 1인 사차식이므로 네 번째 인수를 $x - r$로 두면 $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - r)$ 꼴로 유일하게 결정된다.
2단계: $P(0) = (-1)(1)(-2)(-r) = -2r = -6$에서 $r = 3$. 따라서 $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3)$.
3단계: 계수의 합을 구하는 지름길은 $P(1) = 1 + a + b + c + d$라는 관찰이다. $P(1) = 0$이므로 $1 + a + b + c + d = 0$, 즉 $a + b + c + d = -1$이다.
4단계: 검산으로 $r = 3$과 $x = 1$ 대입 결과가 일치함을 확인한다.

📖 풀이:
1단계: $f(x) = (x - a)^2 - a^2 + 2a + 3$. 축은 $x = a$이고 아래로 볼록. 구간 $[0, 2]$에서 최솟값은 축의 위치에 따라 세 경우로 나뉜다. 최솟값이 0 이상이면 구간 전체에서 $f \ge 0$이 성립한다.
2단계 (i) $a < 0$: 축이 구간 왼쪽. 최솟값은 $f(0) = 2a + 3 \ge 0$, $a \ge -\frac{3}{2}$. 교집합 $-\frac{3}{2} \le a < 0$.
3단계 (ii) $0 \le a \le 2$: 최솟값은 꼭짓점에서 $f(a) = -a^2 + 2a + 3 \ge 0$. 부호 바꾸면 $a^2 - 2a - 3 \le 0$, $(a - 3)(a + 1) \le 0$, $-1 \le a \le 3$. 교집합 $0 \le a \le 2$.
4단계 (iii) $a > 2$: 최솟값은 $f(2) = 4 - 4a + 2a + 3 = 7 - 2a \ge 0$, $a \le \frac{7}{2}$. 교집합 $2 < a \le \frac{7}{2}$.
5단계: 세 구간을 합치면 $-\frac{3}{2} \le a \le \frac{7}{2}$이다. 함정 ②는 꼭짓점 조건만 쓴 경우로 축이 구간 밖으로 나가는 상황을 놓친 오답이다.