📝 고1 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 1부터 10까지 중 홀수는 $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ (5개), 짝수는 $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ (5개). 2단계: 세 수의 합이 홀수가 되는 조합은 '홀수 3개' 또는 '홀수 1개와 짝수 2개'의 두 가지 경우이다 (나머지 '홀2짝1', '홀0짝3'은 합이 짝수). 3단계: 홀수 3개: $_5C_3 = 10$. 홀수 1개와 짝수 2개: $_5C_1 \times _5C_2 = 5 \times 10 = 50$. 총 $10 + 50 = 60$.

📖 풀이:
1단계: 코시-슈바르츠 부등식에 의해 $(2x+3y)^2 \le (2^2 + 3^2)(x^2 + y^2) = 13 \cdot 1 = 13$. 2단계: 따라서 $-\sqrt{13} \le 2x+3y \le \sqrt{13}$. 등호는 $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}$일 때 성립하며 실제로 $x^2+y^2=1$ 위의 점 $\left(\pm\dfrac{2}{\sqrt{13}}, \pm\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)$에서 최댓값과 최솟값을 얻는다. 3단계: 최댓값은 $\sqrt{13}$, 최솟값은 $-\sqrt{13}$이므로 곱은 $\sqrt{13} \cdot (-\sqrt{13}) = -13$.

📖 풀이:
$f(x) = x^2 + 2ax + 3a$로 놓자. 두 서로 다른 실근이 모두 $-1$보다 크다는 조건은 세 가지로 정리된다. 1단계 (실근 존재): 판정식 $D/4 = a^2 - 3a > 0$, 즉 $a(a-3) > 0$이므로 $a < 0$ 또는 $a > 3$. 2단계 (경계값 조건): 아래로 볼록하므로 $f(-1) > 0$이어야 함. $f(-1) = 1 - 2a + 3a = 1 + a > 0$, 즉 $a > -1$. 3단계 (축 조건): 대칭축 $x = -a$가 $-1$보다 커야 하므로 $-a > -1$, 즉 $a < 1$. 세 조건 $\{a < 0$ 또는 $a > 3\} \cap \{a > -1\} \cap \{a < 1\}$의 교집합은 $-1 < a < 0$.

📖 풀이:
1단계: 제1사분면에서 x축과 y축에 접하는 원의 중심은 $(r, r)$ 형태이며 반지름은 $r$이다. 원의 방정식은 $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$. 2단계: 점 $(4, 2)$가 원 위에 있으므로 $(4-r)^2 + (2-r)^2 = r^2$. 전개하면 $16 - 8r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$, 즉 $r^2 - 12r + 20 = 0$. 3단계: 인수분해하면 $(r-2)(r-10) = 0$이므로 $r = 2$ 또는 $r = 10$. 두 반지름의 곱은 $2 \times 10 = 20$. (근과 계수의 관계로도 바로 곱이 $20$임을 알 수 있다.)

📖 풀이:
1단계: $A \cap B = \{1, 2\}$이므로 원소 $1, 2$는 $A, B$ 둘 다에 반드시 포함된다 (각 1가지로 고정). 2단계: 나머지 원소 $3, 4, 5, 6$ 각각에 대해, $A \cup B = U$이므로 적어도 한쪽에는 속해야 하고, 동시에 $A \cap B$에는 들어가면 안 되므로 양쪽 모두에 속할 수 없다. 따라서 각 원소는 '$A$에만 속함' 또는 '$B$에만 속함' 중 정확히 한 가지를 선택 (2가지). 3단계: 원소 4개가 각각 독립적으로 2가지 선택을 하므로 순서쌍 $(A, B)$의 개수는 $2^4 = 16$.

📖 풀이:
1단계: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$로 나누어떨어지므로 $P(1)=0$, $P(-1)=0$. 2단계: $P(1) = 1+a+b+c+d = 0$이므로 곧바로 $a+b+c+d = -1$을 얻는다. 3단계: (검산) $P(-1)=0$에서 $1-a+b-c+d=0$이고, $P(2)=12$에서 $16+8a+4b+2c+d=12$, $P(-2)=-12$에서 $16-8a+4b-2c+d=-12$. 이 네 식을 연립하면 $a=2$, $b=-5$, $c=-2$, $d=4$로 $a+b+c+d=-1$이 맞는다.

📖 풀이:
1단계: $i$의 거듭제곱은 $1, i, -1, -i$가 주기 $4$로 반복되고 한 주기의 합은 $1+i-1-i=0$. 2단계: 항의 개수는 $i^0$부터 $i^{2025}$까지 총 $2026$개. $2024 = 506 \times 4$이므로 $i^0 + i^1 + \cdots + i^{2023}$의 합은 $0$. 남은 항은 $i^{2024} + i^{2025} = 1 + i$이다. 3단계: $S = 1+i$이므로 $\bar{S}=1-i$, 따라서 $S \cdot \bar{S} = (1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 2$.

📖 풀이:
1단계: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$이므로 $y=x^2-4x+3$은 $x=1, 3$에서 $x$축과 만나고 꼭짓점은 $(2,-1)$. 절댓값을 씌우면 $1 \le x \le 3$ 구간이 $x$축 대칭으로 뒤집혀 꼭짓점 $(2,1)$인 '봉우리'가 생긴다. 2단계: 수평선 $y=k$와의 교점 개수를 따진다. $k<0$이면 $0$개, $k=0$이면 $2$개($x=1,3$), $0<k<1$이면 바깥 포물선에서 $2$개 + 봉우리에서 $2$개 = $4$개, $k=1$이면 바깥 $2$개 + 봉우리 꼭짓점 $1$개 = $3$개, $k>1$이면 바깥 포물선에서만 $2$개. 3단계: 네 점에서 만나는 것은 $0<k<1$일 때뿐이며, 경계값 $k=0$과 $k=1$은 반드시 제외된다.

📖 풀이:
1단계: $f(x) = x^3 - 3x^2 + k$로 놓고 $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$에서 극점은 $x=0$(극대)과 $x=2$(극소). 2단계: 극값은 $f(0)=k$(극댓값), $f(2) = 8-12+k = k-4$(극솟값). 삼차함수가 $x$축과 서로 다른 세 점에서 만나려면 극댓값과 극솟값이 반대 부호여야 하므로 $f(0) \cdot f(2) < 0$, 즉 $k(k-4) < 0$. 3단계: $0 < k < 4$. 경계값 $k=0$이면 $x=0$에서 접하므로 중근이 생겨 서로 다른 세 실근이 아니고, $k=4$이면 $x=2$에서 접한다.

📖 풀이:
1단계: $P(x,y)$라 하고 $\overline{PA} : \overline{PB} = 1:2$를 $2\overline{PA} = \overline{PB}$, 곧 $4\overline{PA}^2 = \overline{PB}^2$로 제곱하여 푼다. 2단계: $4\{(x+2)^2+y^2\} = (x-4)^2+y^2$. 전개하면 $4x^2+16x+16+4y^2 = x^2-8x+16+y^2$, 정리하여 $3x^2+24x+3y^2 = 0$. 3단계: 양변을 $3$으로 나누고 완전제곱하면 $x^2+8x+y^2=0$, $(x+4)^2 + y^2 = 16$. 중심 $(-4,0)$, 반지름 $4$인 원이다.

📖 풀이:
1단계: $f$는 $x \ge 2$에서 단조증가이므로 $f$와 $f^{-1}$의 그래프의 교점은 모두 직선 $y=x$ 위에 있다(증가함수의 고정점 원리). 2단계: 따라서 $f(x) = x$를 푼다. $x^2 - 4x + 6 = x$, $x^2 - 5x + 6 = 0$, $(x-2)(x-3)=0$. 3단계: 정의역 $x \ge 2$를 만족하는 해는 $x=2$, $x=3$ 두 개. 교점은 $(2,2)$, $(3,3)$이며 $x$좌표의 합은 $2+3=5$.

📖 풀이:
1단계: $f(f(x))=x$는 $f$가 자기 자신의 역함수(인볼루션)임을 뜻한다. 이는 $X$의 원소들을 고정점이거나 서로 맞바꾸는 짝($2$-사이클)으로만 분할할 수 있다는 뜻이다. 2단계: $|X|=4$일 때 가능한 분할은 (i) 고정점 $4$개, (ii) $2$-사이클 $1$개 + 고정점 $2$개, (iii) $2$-사이클 $2$개. 3단계: 경우별 개수는 (i) $1$가지, (ii) $2$-사이클이 될 짝을 $\binom{4}{2}=6$가지로 고르면 나머지는 자동 고정, (iii) $4$원소를 순서 없는 두 쌍으로 나누는 수 $\dfrac{1}{2}\binom{4}{2}=3$가지. 총 $1+6+3=10$.

📖 풀이:
1단계: 나누는 식이 이차이므로 나머지는 $ax+b$ 꼴로 두고 $f(x) = (x-1)^2 Q(x) + ax + b$. 2단계: $x=1$을 대입하면 $f(1) = 1 - 10 + 9 = 0 = a+b$. 양변을 미분하고 다시 $x=1$을 대입하면 $f'(x) = 10x^9 - 10$에서 $f'(1) = 10 - 10 = 0 = a$. 따라서 $a = 0$이고 이어서 $b = -a = 0$. 3단계: 나머지는 $0 \cdot x + 0 = 0$. 즉 $f(x)$는 $(x-1)^2$로 나누어떨어진다.

📖 풀이:
1단계: 첫 식에서 $y = k - x$를 두 번째 식에 대입: $x^2 + (k-x)^2 = 4k$. 전개 후 정리하면 $2x^2 - 2kx + k^2 - 4k = 0$, 곧 $x^2 - kx + \dfrac{k^2-4k}{2} = 0$. 2단계: $x$에 대한 이차방정식이 실근을 가지려면 판별식 $\ge 0$. $D = k^2 - 4 \cdot \dfrac{k^2-4k}{2} = k^2 - 2(k^2 - 4k) = -k^2 + 8k$. 3단계: $-k^2+8k \ge 0$, 곧 $k(k-8) \le 0$이므로 $0 \le k \le 8$.

📖 풀이:
1단계: $z^3-1 = (z-1)(z^2+z+1) = 0$에서 허근 $\omega$는 $\omega^2 + \omega + 1 = 0$을 만족한다. 따라서 $\omega^2 = -1 - \omega$. 2단계: $\omega^2 - \omega = (-1-\omega) - \omega = -1 - 2\omega$. 3단계: $(\omega^2 - \omega)^2 = (-1 - 2\omega)^2 = 1 + 4\omega + 4\omega^2 = 1 + 4\omega + 4(-1 - \omega) = 1 + 4\omega - 4 - 4\omega = -3$.

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1단계: $A$를 홀수 원소 $\{1,3,5,7\}$과 짝수 원소 $\{2,4,6,8\}$로 분리(각 $4$개). 짝수 원소는 어떻게 뽑아도 합의 홀짝에 영향을 주지 않고, 합의 홀짝은 오로지 '홀수 원소를 몇 개 뽑았느냐'로 결정된다. 2단계: 원소 합이 짝수 $\Leftrightarrow$ 홀수 원소를 짝수 개 선택. 홀수 원소 $4$개에서 짝수 개($0, 2, 4$개)를 고르는 방법: $\binom{4}{0} + \binom{4}{2} + \binom{4}{4} = 1 + 6 + 1 = 8$. 3단계: 짝수 원소 $4$개는 각각 포함 여부를 자유롭게 정할 수 있으므로 $2^4 = 16$가지. 곱의 법칙으로 $8 \times 16 = 128$.

📖 풀이:
1단계: 인수정리에 의해 $(x-1)$이 인수이므로 $P(1)=0$, 즉 $1+a+b-6=0$에서 $a+b=5$.
2단계: $(x+2)$도 인수이므로 $P(-2)=0$, 즉 $-8+4a-2b-6=0$에서 $2a-b=7$.
3단계: 두 식을 연립하면 $3a=12$이므로 $a=4$, $b=1$. 따라서 $P(x)=x^3+4x^2+x-6$.
4단계: $P(x)$를 $x^2+x-2$로 나누면 몫이 $x+3$이므로 $P(x)=(x-1)(x+2)(x+3)$. 나머지 일차 인수는 $x+3$.

📖 풀이:
1단계: 집합의 분해 $A=(A\cap B)\cup(A-B)$로부터 $A=\{3,6\}\cup\{1,4,7\}=\{1,3,4,6,7\}$.
2단계: $B=(A\cup B)-(A-B)$로부터 $B=\{1,2,3,4,5,6,7\}-\{1,4,7\}=\{2,3,5,6\}$.
3단계: 검증: $A\cap B=\{3,6\}$ 일치, $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ 일치, $A-B=\{1,4,7\}$ 일치.
4단계: 따라서 $n(B)=4$.

📖 풀이:
1단계: 조건 '$\alpha<0<\beta$'는 $f(0)<0$과 동치이므로 $b<0$.
2단계: 조건 '$-2<\alpha$'는 $f(-2)>0$과 동치이므로 $4-2a+b>0$, 즉 $b>2a-4$.
3단계: 조건 '$\beta<3$'은 $f(3)>0$과 동치이므로 $9+3a+b>0$, 즉 $b>-3a-9$.
4단계: 세 부등식의 경계 직선 교점은 $(2,0), (-3,0), (-1,-6)$. 삼각형 넓이는 $\frac{1}{2}|2\cdot 6+(-3)\cdot(-6)+(-1)\cdot 0|=\frac{1}{2}\cdot 30=15$.

📖 풀이:
1단계: $z^2=2z-4$이므로 $z^3=z\cdot z^2=z(2z-4)=2z^2-4z=2(2z-4)-4z=-8$.
2단계: 따라서 $\left(\dfrac{z}{2}\right)^3=\dfrac{z^3}{8}=-1$이고, 이로부터 $\left(\dfrac{z}{2}\right)^6=1$. 즉 $\dfrac{z}{2}$는 6제곱해서 1이 되는 단위근이다.
3단계: $2025=6\times 337+3$이므로 $\left(\dfrac{z}{2}\right)^{2025}=\left(\dfrac{z}{2}\right)^3=-1$.
4단계: 검산: $z=1+\sqrt{3}i$일 때 $|z|=2$, 편각 $\dfrac{\pi}{3}$. 따라서 $\dfrac{z}{2}$의 편각은 $\dfrac{\pi}{3}$이고 $6\cdot\dfrac{\pi}{3}=2\pi$로 주기 6 확인.

📖 풀이:
1단계: 계수가 $1, -3, 4, -3, 1$로 대칭($x$와 $1/x$ 교환 불변)이므로 양변을 $x^2$으로 나누면 $x^2+\dfrac{1}{x^2}-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+4=0$.
2단계: $t=x+\dfrac{1}{x}$로 치환하면 $x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$. 식은 $t^2-3t+2=0$, 즉 $(t-1)(t-2)=0$.
3단계: $t=1$일 때 $x^2-x+1=0$의 판별식은 $1-4<0$이므로 실근 없음.
4단계: $t=2$일 때 $x^2-2x+1=0$, $(x-1)^2=0$이므로 $x=1$(중근). 서로 다른 실근은 $1$뿐이므로 합은 $1$.

📖 풀이:
1단계: 두 원 $C_1: x^2+y^2-25=0$, $C_2: (x-4)^2+(y-3)^2-16=0$을 전개하면 $C_2: x^2+y^2-8x-6y+9=0$.
2단계: 교점은 두 방정식을 동시에 만족하므로 두 식의 차 $C_1-C_2$도 교점에서 $0$이다.
3단계: $(x^2+y^2-25)-(x^2+y^2-8x-6y+9)=0$, 정리하면 $8x+6y-34=0$.
4단계: 양변을 2로 나누면 $4x+3y=17$. 두 중심 $(0,0)$과 $(4,3)$을 잇는 직선의 기울기 $3/4$과 수직(기울기 곱 $-1$)임을 확인할 수 있다.

📖 풀이:
1단계: 합집합 공식 $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$에서 $20=15+10-n(A\cap B)$이므로 $n(A\cap B)=5$.
2단계: $n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)=15-5=10$.
3단계: $n(B-A)=n(B)-n(A\cap B)=10-5=5$.
4단계: $(A-B)$와 $(B-A)$는 서로소(공통원소 없음)이므로 $n((A-B)\cup(B-A))=10+5=15$. 참고: 이는 $n(A\cup B)-n(A\cap B)=20-5=15$과 일치하며, 대칭차의 또 다른 공식이다.

📖 풀이:
1단계: $y=f(x)$라 놓으면 $f(y)=3$을 먼저 푼다. $y\geq 1$이면 $2y-1=3 \Rightarrow y=2$ (조건 만족). $y<1$이면 $-y+1=3 \Rightarrow y=-2$ (조건 만족). 따라서 $f(x)=2$ 또는 $f(x)=-2$.
2단계: $f(x)=2$ 해결. $x\geq 1$: $2x-1=2 \Rightarrow x=3/2$ (만족). $x<1$: $-x+1=2 \Rightarrow x=-1$ (만족).
3단계: $f(x)=-2$ 해결. $x\geq 1$: $2x-1=-2 \Rightarrow x=-1/2$ (불일치). $x<1$: $-x+1=-2 \Rightarrow x=3$ (불일치). 해 없음.
4단계: 모든 해는 $x=3/2, -1$. 곱은 $\dfrac{3}{2}\cdot(-1)=-\dfrac{3}{2}$.

📖 풀이:
1단계: 1~9 중 홀수는 $\{1,3,5,7,9\}$로 5개, 짝수는 $\{2,4,6,8\}$로 4개.
2단계: 세 수의 합이 짝수가 되려면 (홀수 개수, 짝수 개수) 조합이 (0,3) 또는 (2,1)이어야 한다. 홀수 1개·짝수 2개는 합이 '홀+짝+짝=홀'이 되어 제외. 홀수 3개는 '홀+홀+홀=홀'이므로 제외.
3단계: (홀수 0, 짝수 3): $\binom{5}{0}\binom{4}{3}=1\cdot 4=4$.
4단계: (홀수 2, 짝수 1): $\binom{5}{2}\binom{4}{1}=10\cdot 4=40$.
5단계: 총합 $4+40=44$.