📝 고1 수학 심화

📖 풀이:
1단계: $C_2$를 전개하면 $x^2+y^2-6x-8y+9=0$.
2단계: 두 원의 방정식을 빼면 이차항이 사라진다. $(x^2+y^2-25)-(x^2+y^2-6x-8y+9)=0$.
3단계: 정리하면 $6x+8y-34=0$, 즉 $3x+4y=17$. 이 일차식은 두 교점 $P,Q$를 모두 만족하므로 $P,Q$를 지나는 유일한 직선이다.

📖 풀이:
1단계: 식을 정리하면 $\dfrac{(a+1)(b+1)}{ab}=\dfrac{ab+a+b+1}{ab}=\dfrac{ab+2}{ab}=1+\dfrac{2}{ab}$ (여기서 $a+b=1$ 사용).
2단계: $a>0, b>0$이므로 산술·기하 평균 부등식 $\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$에서 $\sqrt{ab}\leq\dfrac{1}{2}$, 즉 $ab\leq\dfrac{1}{4}$.
3단계: 따라서 $\dfrac{2}{ab}\geq 8$이고 $1+\dfrac{2}{ab}\geq 9$. 등호는 $a=b=\dfrac{1}{2}$에서 성립.
4단계: 보기 ②는 등호 조건을 잊고 $\dfrac{2}{ab}\geq 8$ 자체를 답으로 오인하는 함정.

📖 풀이:
1단계: $f(f(x))=x$는 $f$가 자기 자신의 역함수라는 뜻이다. 유리함수 $\dfrac{ax+b}{cx+d}$의 역함수는 $\dfrac{dx-b}{-cx+a}$이므로 같으려면 $a=d$의 부호를 맞추어 $a+d=0$이 되어야 한다.
2단계: 여기서 $d=-3$이므로 $a-3=0$, 즉 $a=3$.
3단계: 검증. $f(x)=\dfrac{3x+2}{x-3}$이면 $f(f(x))=\dfrac{3\cdot\frac{3x+2}{x-3}+2}{\frac{3x+2}{x-3}-3}=\dfrac{3(3x+2)+2(x-3)}{(3x+2)-3(x-3)}=\dfrac{11x}{11}=x$. 성립.

📖 풀이:
1단계: C와 D를 하나의 묶음 [CD]로 본다. 묶음 내부 배열은 CD, DC 두 가지. 이 묶음을 포함한 5개 대상을 원탁에 앉히는 방법은 $(5-1)!=24$. 따라서 'CD 이웃' 경우는 $24\times 2=48$.
2단계: 이 48가지 중에서 'A와 B도 이웃'인 경우를 빼야 한다. [CD]와 [AB] 두 묶음과 E, F까지 4개 대상을 원탁에 앉히는 방법은 $(4-1)!=6$이고, 묶음 내부가 각각 2가지이므로 $6\times 2\times 2=24$.
3단계: 따라서 C,D 이웃이면서 A,B 이웃하지 않는 경우의 수는 $48-24=24$.

📖 풀이:
1단계: 포물선에서 $x^2=y$이므로 원의 식에 대입하면 $y+(y-a)^2=1$. 전개하여 $y^2-(2a-1)y+(a^2-1)=0$을 얻는다.
2단계: 각 $y>0$에 대해 $x=\pm\sqrt{y}$로 두 교점이 생기므로, 교점이 4개이려면 이 이차방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다.
3단계: 세 조건을 모두 만족해야 한다. (가) 실근 조건 $(2a-1)^2-4(a^2-1)>0 \Rightarrow -4a+5>0 \Rightarrow a<\dfrac{5}{4}$. (나) 두 근의 합 $>0$: $2a-1>0 \Rightarrow a>\dfrac{1}{2}$. (다) 두 근의 곱 $>0$: $a^2-1>0 \Rightarrow a<-1$ 또는 $a>1$.
4단계: 교집합을 취하면 $1<a<\dfrac{5}{4}$.

📖 풀이:
1단계: $(x-1)^2$으로 나누어떨어지고 $P(2)=0$이므로 $P(x)=(x-1)^2(x-2)(x-k)$로 쓸 수 있다 (최고차항 1 일치).
2단계: $P(-1)=(-2)^2\cdot(-3)\cdot(-1-k)=12(1+k)=16$에서 $k=\dfrac{1}{3}$.
3단계: $(x-1)^2$ 인수에서 $P(1)=0$이 이미 보장된다. 한편 $P(1)=1+a+b+c+d$이므로 $1+a+b+c+d=0$, 즉 $a+b+c+d=-1$.
4단계: 실제로 $k$를 구하지 않아도 $(x-1)^2$이 인수라는 사실만으로 $a+b+c+d$를 결정할 수 있다는 점이 이 문제의 묘미이다.

📖 풀이:
1단계: $x=2\cos\theta$ ($0\leq\theta\leq\pi$)로 치환하면 $\sqrt{4-x^2}=2\sin\theta$이므로 $y=2\sin\theta+2\cos\theta=2\sqrt{2}\sin(\theta+\tfrac{\pi}{4})$.
2단계: $\theta\in[0,\pi]$이면 $\theta+\tfrac{\pi}{4}\in[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}]$이고 이 구간에서 $\sin$의 값의 범위는 $[-\tfrac{\sqrt{2}}{2},1]$.
3단계: 따라서 $y$의 범위는 $[2\sqrt{2}\cdot(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}),\ 2\sqrt{2}\cdot 1]=[-2,\ 2\sqrt{2}]$.
검산: 끝점 $x=-2$에서 $y=-2$, $x=2$에서 $y=2$, 내부 최댓값은 $x=\sqrt{2}$에서 $y=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$. 최솟값 $-2$, 최댓값 $2\sqrt{2}$ 확인.

📖 풀이:
1단계: $f(x)$를 이차식 $(x-2)(x+1)$로 나눈 나머지는 일차 이하이므로 $R(x)=ax+b$로 놓는다. 즉 $f(x)=(x-2)(x+1)Q(x)+ax+b$. 2단계: 나머지정리에 의해 $f(2)=2a+b=5$, $f(-1)=-a+b=-4$. 3단계: 두 식을 연립하면 $3a=9$에서 $a=3$, $b=-1$. 따라서 나머지는 $3x-1$이다.

📖 풀이:
1단계: 분모를 실수화한다. $z=\dfrac{1+i}{1-i}\cdot\dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{2i}{2}=i$. 2단계: 허수단위 $i$의 거듭제곱은 $i,-1,-i,1$의 4개가 반복된다. 즉 $i^{4k}=1$. 3단계: $2026=4\cdot 506+2$이므로 $z^{2026}=i^{2026}=i^{2}=-1$.

📖 풀이:
1단계: 그래프가 아래로 볼록하므로 이차항 계수 $a>0$. 2단계: 꼭짓점의 $x$좌표 $-\dfrac{b}{2a}$가 음수이고 $a>0$이므로 $-b<0$, 즉 $b>0$. 3단계: $y$절편 $f(0)=c$가 음수이므로 $c<0$. 따라서 $abc=(+)(+)(-)<0$. 참고로 그래프가 $x$축과 두 점에서 만나므로 $b^2-4ac>0$(④ 거짓).

📖 풀이:
1단계: $x^2-5x+4\le 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-4)\le 0 \Leftrightarrow 1\le x\le 4$. 2단계: $x^2-3x-4\ge 0 \Leftrightarrow (x-4)(x+1)\ge 0 \Leftrightarrow x\le -1$ 또는 $x\ge 4$. 3단계: 두 해집합의 교집합을 구하면 $[1,4]\cap((-\infty,-1]\cup[4,\infty))=\{4\}$. 따라서 해는 $x=4$.

📖 풀이:
1단계: 조건 $p$의 진리집합은 $(x-1)(x-2)\le 0$이므로 $P=[1,2]$. 2단계: 조건 $q$의 진리집합은 $-1\le x-a\le 1$이므로 $Q=[a-1,a+1]$. 3단계: '$p$이면 $q$'(즉 $p \Rightarrow q$)가 참이 될 필요충분조건은 $P\subset Q$. 따라서 $a-1\le 1$이고 $a+1\ge 2$, 즉 $a\le 2$이고 $a\ge 1$. 정리하면 $1\le a\le 2$.

📖 풀이:
1단계: $f(x)=2x-3$은 기울기가 $2$로 $1$이 아니므로 일대일대응이고 역함수가 존재한다. 2단계: 일차함수와 그 역함수의 그래프는 직선 $y=x$에 대해 대칭이며, 기울기가 $1$이 아닌 경우 두 그래프의 교점은 반드시 직선 $y=x$ 위에 있다. 3단계: $f(x)=x$로 놓으면 $2x-3=x \Rightarrow x=3$. 따라서 교점은 $(3,3)$.

📖 풀이:
1단계: $8$명이 원탁에 앉는 전체 원순열의 수는 $(8-1)!=7!=5040$. 2단계: $A,B$가 이웃하는 경우의 수는 두 사람을 한 덩어리로 묶어 $7$개를 원형으로 배열하므로 $(7-1)!=6!=720$, 덩어리 내부에서 $A,B$의 자리를 바꾸는 경우 $2$를 곱해 $720\times 2=1440$. 3단계: 여사건 원리로 이웃하지 않는 경우의 수는 $5040-1440=3600$.

📖 풀이:
1단계: $m^2\le k<(m+1)^2$인 자연수 $k$에서 $\lfloor\sqrt{k}\rfloor=m$이다. 2단계: 해당 범위의 $k$ 개수는 $(m+1)^2-m^2=2m+1$. $k=1,2,3$일 때 값 $1$ ($3$개), $k=4,\dots,8$일 때 값 $2$ ($5$개), $k=9,\dots,15$일 때 값 $3$ ($7$개). 3단계: 합은 $3\cdot 1+5\cdot 2+7\cdot 3=3+10+21=34$.

📖 풀이:
1단계: 주어진 항등식에 $x=1$을 대입하면 좌변은 $2^{2026}$, 우변은 모든 계수의 합이므로 $a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{2026}=2^{2026}$. 2단계: $x=-1$을 대입하면 좌변은 $0^{2026}=0$, 우변은 부호가 교대하여 $a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots+a_{2026}=0$. 3단계: 두 식을 변끼리 더하면 홀수 차수 항이 모두 소거되어 $2(a_0+a_2+\cdots+a_{2026})=2^{2026}$. 따라서 구하는 값은 $\dfrac{2^{2026}}{2}=2^{2025}$.

📖 풀이:
1단계: $\left(z+\dfrac{1}{z}\right)^2=z^2+2+\dfrac{1}{z^2}$이므로 $z^2+\dfrac{1}{z^2}=(\sqrt{3})^2-2=1$. 2단계: $\left(z^2+\dfrac{1}{z^2}\right)^2=z^4+2+\dfrac{1}{z^4}$이므로 $z^4+\dfrac{1}{z^4}=1^2-2=-1$. 3단계: 항등식 $\left(z^2+\dfrac{1}{z^2}\right)\left(z^4+\dfrac{1}{z^4}\right)=z^6+\dfrac{1}{z^6}+z^2+\dfrac{1}{z^2}$에서 $1\cdot(-1)=\left(z^6+\dfrac{1}{z^6}\right)+1$, 즉 $z^6+\dfrac{1}{z^6}=-2$. 4단계: $\left(z^6+\dfrac{1}{z^6}\right)^2=z^{12}+2+\dfrac{1}{z^{12}}$이므로 $z^{12}+\dfrac{1}{z^{12}}=(-2)^2-2=2$.

📖 풀이:
1단계: 제한 조건을 없애기 위해 $x'=x-2 \ge 0$, $y'=y-1 \ge 0$, $z'=z \ge 0$으로 치환한다. 2단계: 원래 방정식 $x+y+z=10$은 $(x'+2)+(y'+1)+z'=10$, 즉 $x'+y'+z'=7$ (세 변수 모두 음이 아닌 정수)로 바뀐다. 3단계: 서로 다른 $3$개 변수에 합이 $7$이 되도록 음이 아닌 정수값을 분배하는 경우의 수는 중복조합으로 $_3H_7={}_{7+3-1}C_{3-1}={}_9C_2=\dfrac{9\cdot 8}{2}=36$.

📖 풀이:
1단계: 나누는 식 $x^2 - x + 1 = 0$의 근 $\alpha$는 $\alpha^2 = \alpha - 1$을 만족한다. 2단계: $\alpha^3 = \alpha \cdot \alpha^2 = \alpha(\alpha-1) = \alpha^2 - \alpha = (\alpha-1) - \alpha = -1$. 따라서 $\alpha^6 = 1$로 주기 6이 성립한다. 3단계: $2026 = 6 \cdot 337 + 4$이므로 $\alpha^{2026} = (\alpha^6)^{337} \cdot \alpha^4 = \alpha^4 = \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha \cdot (-1) = -\alpha$. 따라서 $f(x)$를 $x^2-x+1$로 나눈 나머지는 $-x$이다.

📖 풀이:
1단계: $|z|=1$로 두고 $z = \cos\theta + i\sin\theta$로 놓으면 $z + \dfrac{1}{z} = 2\cos\theta = 1$, 즉 $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$이므로 $\theta = \pm\dfrac{\pi}{3}$. 2단계: 일반적으로 $z^n + \dfrac{1}{z^n} = 2\cos(n\theta)$가 성립한다. 3단계: $z^{100} + \dfrac{1}{z^{100}} = 2\cos(100\theta) = 2\cos\left(\dfrac{100\pi}{3}\right)$. $\dfrac{100\pi}{3} = 33\pi + \dfrac{\pi}{3} = 16 \cdot 2\pi + \pi + \dfrac{\pi}{3}$이므로 $\cos\left(\dfrac{100\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$. 따라서 값은 $2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1$.

📖 풀이:
1단계: x축 교점이 $-1, 3$이므로 $f(x) = a(x+1)(x-3)$로 놓을 수 있다. 꼭짓점 x좌표는 $x=1$이고, $f(1) = a(2)(-2) = -4a$가 $-4$이므로 $a=1$. 따라서 $f(x) = (x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3$. 2단계: 부등식 $f(x) \ge -3$은 $x^2 - 2x - 3 \ge -3$, 즉 $x^2 - 2x \ge 0$으로 정리된다. 3단계: $x(x-2) \ge 0$을 풀면 $x \le 0$ 또는 $x \ge 2$.

📖 풀이:
1단계: 기본 대칭식 $xy+yz+zx$를 구한다. $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$에서 $36 = 14 + 2(xy+yz+zx)$, 즉 $xy+yz+zx = 11$. 2단계: 뉴턴 항등식 $x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)\{(x^2+y^2+z^2) - (xy+yz+zx)\}$를 이용. 우변 $= 6 \cdot (14 - 11) = 18$. 3단계: $x^3+y^3+z^3 = 18 + 3xyz = 18 + 18 = 36$. (검증: $x,y,z$는 $t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = (t-1)(t-2)(t-3) = 0$의 근 $1, 2, 3$이고 $1+8+27 = 36$.)

📖 풀이:
1단계: $P(x, y)$로 놓으면 $\overline{PA}^2 = x^2+y^2$, $\overline{PB}^2 = (x-6)^2+y^2$. 거리 비 $2:1$이므로 제곱비는 $4:1$, 즉 $\overline{PA}^2 = 4\overline{PB}^2$. 2단계: $x^2+y^2 = 4\{(x-6)^2+y^2\} = 4x^2 - 48x + 144 + 4y^2$. 정리하면 $3x^2 - 48x + 144 + 3y^2 = 0$, 양변을 3으로 나누면 $x^2 - 16x + 48 + y^2 = 0$. 3단계: 완전제곱으로 $(x-8)^2 + y^2 = 64 - 48 = 16$. 중심 $(8, 0)$, 반지름 4인 원이므로 넓이는 $\pi \cdot 4^2 = 16\pi$.

📖 풀이:
1단계: $p \to q$가 참이려면 $p$의 진리집합 $P$가 $q$의 진리집합 $Q$의 부분집합이어야 한다. 즉 $P \subseteq Q$. 2단계: $P = \{12, 24, 36, \ldots\}$ (12의 배수 전체), $Q = \{a, 2a, 3a, \ldots\}$. $12 \in Q$이려면 $a$가 12의 약수여야 한다. 또한 $a$가 12의 약수이면 12의 모든 배수가 $a$의 배수가 되므로 $P \subseteq Q$가 성립한다. 3단계: 12의 양의 약수는 $1, 2, 3, 4, 6, 12$이고 이들의 합은 $1+2+3+4+6+12 = 28$.

📖 풀이:
1단계: $f_2(x) = f(f(x)) = \dfrac{\frac{x}{1+x}}{1 + \frac{x}{1+x}} = \dfrac{\frac{x}{1+x}}{\frac{1+2x}{1+x}} = \dfrac{x}{1+2x}$. 2단계: 같은 방법으로 $f_3(x) = f(f_2(x)) = \dfrac{\frac{x}{1+2x}}{1+\frac{x}{1+2x}} = \dfrac{x}{1+3x}$. 귀납적으로 $f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx}$임을 확인. (수학적 귀납법: $f_{n+1}(x) = f(f_n(x)) = \dfrac{\frac{x}{1+nx}}{1+\frac{x}{1+nx}} = \dfrac{x}{1+(n+1)x}$ 성립.) 3단계: $f_{10}(2) = \dfrac{2}{1 + 10 \cdot 2} = \dfrac{2}{21}$.