📝 고1 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha+\beta+\gamma=6$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=11$, $\alpha\beta\gamma=6$. 2단계: $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}=\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\right)^2-2\left(\frac{1}{\alpha\beta}+\frac{1}{\beta\gamma}+\frac{1}{\gamma\alpha}\right)$. 3단계: $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}=\frac{11}{6}$. $\frac{1}{\alpha\beta}+\frac{1}{\beta\gamma}+\frac{1}{\gamma\alpha}=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{\alpha\beta\gamma}=\frac{6}{6}=1$. 따라서 $\left(\frac{11}{6}\right)^2-2(1)=\frac{121}{36}-\frac{72}{36}=\frac{49}{36}$.

📖 풀이:
1단계: 원 방정식을 표준형으로 고치면 $(x-2)^2+(y-1)^2=4$. 중심 $(2,1)$, 반지름 $r=2$. 2단계: 중심에서 직선 $3x+4y-20=0$까지의 거리는 $d=\frac{|3(2)+4(1)-20|}{\sqrt{9+16}}=\frac{|-10|}{5}=2$. 3단계: $d=2=r$이므로 직선은 원에 접한다. 따라서 원 위의 점과 직선 사이 거리의 최솟값은 $d-r=2-2=0$, 최댓값은 $d+r=2+2=4$이다. 4단계: 최댓값과 최솟값의 합은 $0+4=4$이므로 답은 ①이다.

📖 풀이:
1단계: (ㄱ) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$. 이를 $3(ab+bc+ca)$와 비교하면 $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ 증명하면 됨. $2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$ ✓. 2단계: (ㄴ) 산술-기하 평균 부등식에 의해 $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=3\sqrt[3]{1}=3$ ✓ (등호는 $a=b=c$일 때). 3단계: (ㄷ) 항등식 $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\frac{1}{2}(a+b+c)\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right] \geq 0$ ✓ (양수 조건). 따라서 모두 성립.

📖 풀이:
1단계: 몇 번 반복 계산. $f^1(x)=\frac{x}{x+1}$. $f^2(x)=f\left(\frac{x}{x+1}\right)=\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1}+1}=\frac{x}{2x+1}$. $f^3(x)=f\left(\frac{x}{2x+1}\right)=\frac{\frac{x}{2x+1}}{\frac{x}{2x+1}+1}=\frac{x}{3x+1}$. 2단계: 일반항 추정: $f^n(x)=\frac{x}{nx+1}$. 수학적 귀납법으로 확인: $f^{n+1}(x)=f\left(\frac{x}{nx+1}\right)=\frac{\frac{x}{nx+1}}{\frac{x}{nx+1}+1}=\frac{x}{x+(nx+1)}=\frac{x}{(n+1)x+1}$ ✓. 3단계: $f^{10}(2)=\frac{2}{10(2)+1}=\frac{2}{21}$.

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1단계: $A, B$를 묶어서 하나의 '덩어리'로 취급. 그러면 6개(덩어리 1개 + 나머지 5명)를 원형으로 배열. 2단계: 원순열의 수 = $(6-1)!=5!=120$. 3단계: 덩어리 내부 $A, B$ 순서는 $2!=2$가지 ($AB$ 또는 $BA$). 따라서 총 $120 \times 2 = 240$.

📖 풀이:
1단계: 방정식을 $x^2-2|x|=k$로 변형하고, $y=x^2-2|x|$의 그래프와 수평선 $y=k$의 교점이 3개가 되는 $k$를 찾는다. 2단계: 절댓값을 구간별로 푼다. $x\geq0$일 때 $y=x^2-2x=(x-1)^2-1$ (꼭짓점 $(1,-1)$), $x<0$일 때 $y=x^2+2x=(x+1)^2-1$ (꼭짓점 $(-1,-1)$). 두 식은 $x=0$에서 $y=0$으로 연결되고, $x=0$이 뾰족한 극대점 $(0,0)$이 된다. 3단계: 그래프는 두 골 $(\pm1,-1)$과 가운데 봉우리 $(0,0)$를 가지는 W자 모양이다. $y=k$와의 교점 개수는 $k<-1$이면 0개, $k=-1$이면 2개, $-1<k<0$이면 4개, $k=0$이면 3개, $k>0$이면 2개이다. 4단계: 따라서 교점이 정확히 3개인 경우는 $k=0$이고, 이때 실근은 $x^2-2|x|=0 \Rightarrow |x|(|x|-2)=0$에서 $x=-2,\,0,\,2$의 세 개이다. 답은 ②.

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1단계: $z=a+bi$로 놓으면 $|z-2|=\sqrt{(a-2)^2+b^2}$, $|z+2i|=\sqrt{a^2+(b+2)^2}$. 등식 양변 제곱: $(a-2)^2+b^2=a^2+(b+2)^2$. 전개하면 $a^2-4a+4+b^2=a^2+b^2+4b+4 \Rightarrow -4a=4b \Rightarrow a+b=0$. 2단계: $|z|=\sqrt{2}$에서 $a^2+b^2=2$. $b=-a$ 대입: $2a^2=2 \Rightarrow a=\pm 1$. 3단계: $(a,b)=(1,-1)$ 또는 $(-1, 1)$. 어느 쪽이든 $a+b=0$.

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1단계: 점 $A(1, 0)$와 원 $x^2+y^2=1$의 위치 관계 판별. 중심 $(0,0)$에서 $A$까지 거리 $\sqrt{1+0}=1$=반지름. 즉 $A$는 원 위의 점. 2단계: 외부점에서는 접선 2개, 원 위 점에서는 1개(그 점에서의 접선), 내부점에서는 0개. 3단계: $A(1,0)$은 원 위의 점이므로 접선은 1개. 구체적으로 반지름 $OA$에 수직인 직선 $x=1$.

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1단계: $A \cap B=\{3, 5\}$이므로 $3, 5$는 반드시 $A$와 $B$ 모두에 속함. 나머지 원소 $\{1, 2, 4, 6, 7, 8\}$ 6개는 $A$에만 또는 $B$에만 속해야 함 ($A \cup B=U$이므로 $A \cap B$의 여집합 원소는 $A$ 또는 $B$ 정확히 하나). 2단계: $|A|=5$이고 $A$는 $\{3, 5\}$와 '$A$에만 속하는 원소들'의 합집합. 따라서 '$A$에만 속하는 원소' 개수=$5-2=3$개. 3단계: 6개 원소 중 3개를 $A$ 전용으로 선택하는 방법: $\binom{6}{3}=20$가지. 선택되지 않은 3개는 자동으로 $B$ 전용.

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1단계: 이항정리를 이용하면 $(x+1)^4 - x^4 = 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$이다. 따라서 주어진 차분방정식은 $P(x+1) - P(x) = (x+1)^4 - x^4$로 쓸 수 있다.
2단계: $x = 0, 1, 2, \ldots, 9$를 차례로 대입하여 양변을 더하면 왼쪽은 $P(10) - P(0)$ (텔레스코핑)로 정리되고, 오른쪽은 $\sum_{k=0}^{9}\{(k+1)^4 - k^4\} = 10^4 - 0^4 = 10000$.
3단계: $P(0) = 0$이므로 $P(10) = 10000$. 참고로 이 조건만으로는 $P(x)$가 유일하게 결정되지는 않으나 (일반해는 $P(x) = x^4 + c$), $P(0) = 0$ 조건에서 $P(x) = x^4$로 확정된다.

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1단계: 두 복소수의 기본대칭식 $s = z+\bar{z} = 4$, $p = z\bar{z} = 13$으로 두면, $z$와 $\bar{z}$는 이차방정식 $t^2 - 4t + 13 = 0$의 두 근이다. 판별식이 $16 - 52 = -36 < 0$이므로 $z$는 비실수 복소수로 잘 정의된다.
2단계: 세제곱합 전개식 $z^3 + \bar{z}^3 = (z+\bar{z})^3 - 3z\bar{z}(z+\bar{z}) = s^3 - 3ps$를 사용한다.
3단계: 대입하면 $z^3+\bar{z}^3 = 4^3 - 3\cdot 13 \cdot 4 = 64 - 156 = -92$.

📖 풀이:
1단계: $A(\alpha, 0), B(\beta, 0), C(0, q)$로 두면, 근과 계수의 관계로 $\alpha+\beta = -p$, $\alpha\beta = q$이다.
2단계: $\angle C = 90°$ 조건은 $\vec{CA}\cdot\vec{CB} = 0$. 즉 $(\alpha, -q)\cdot(\beta, -q) = \alpha\beta + q^2 = q + q^2 = q(q+1) = 0$. 두 교점이 존재하려면 $q \neq 0$ (아니면 $C=O$이고 $A$ 또는 $B$가 원점과 겹침)이므로 $q = -1$.
3단계: $\overline{CA}=\overline{CB}$에서 $\alpha^2 + q^2 = \beta^2 + q^2$, $\alpha^2 = \beta^2$. $\alpha \neq \beta$이므로 $\alpha = -\beta$, 즉 $p = -(\alpha+\beta) = 0$. 따라서 $p^2 - 2q = 0 - 2(-1) = 2$.

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1단계: $s = x+y$라 두면 항등식 $x^3+y^3 = s^3 - 3xy\cdot s$로 변형된다. 조건을 대입하면 $9 = s^3 - 3\cdot 2\cdot s$, 즉 $s^3 - 6s - 9 = 0$.
2단계: $s = 3$을 대입하면 $27 - 18 - 9 = 0$이므로 참. 인수정리로 $s^3 - 6s - 9 = (s-3)(s^2 + 3s + 3)$.
3단계: 이차인수 $s^2+3s+3$의 판별식은 $9 - 12 = -3 < 0$이므로 실근이 없다. 따라서 실수 $s$는 $s = 3$뿐이다. 추가로 $x, y$가 실수가 되는지 확인: $x, y$는 $t^2 - 3t + 2 = 0$의 근 $t = 1, 2$로 실수. 답은 $3$.

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1단계: 드모르간 법칙에 의해 $A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$이다.
2단계: 여집합 원소 수 공식 $n((A\cup B)^c) = n(U) - n(A \cup B)$.
3단계: 대입하면 $20 - 15 = 5$. (참고: $n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A\cup B) = 10+12-15 = 7$은 여기서는 필요없지만 검산용이다.)

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1단계: 역함수 구하기. $y = \sqrt{x+3}$에서 $y \geq 0$이고 $x+3 = y^2$이므로 $g(y) = y^2 - 3$ (단, $y \geq 0$).
2단계: $g(5) = 5^2 - 3 = 22$. 다르게 보면 $f(x) = 5$인 $x$를 찾는 것: $x+3 = 25$, $x = 22$. 일치.
3단계: 역함수 항등식 $f(g(y)) = y$ (정의역 안에서)에 의해 $f(g(7)) = 7$. 마찬가지로 $g(f(x)) = x$에 의해 $g(f(22)) = 22$. 따라서 합은 $22 + 7 + 22 = 51$.

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1단계: 먼저 세 조를 '구별한다'고 가정하고 순서대로 뽑는다. 2명 조: $\binom{8}{2} = 28$가지. 남은 6명에서 3명 조: $\binom{6}{3} = 20$가지. 나머지 3명은 자동으로 마지막 조: $\binom{3}{3} = 1$가지. 곱하면 $28 \cdot 20 \cdot 1 = 560$.
2단계: 크기가 같은 조 두 개(3명, 3명)는 서로 구별되지 않는다. 어느 조가 먼저인지 순서를 바꿔 세었으므로 $2!$로 나눠야 한다.
3단계: $560 \div 2! = 280$. 따라서 답은 $280$.

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1단계: 원의 중심 $C(1, 2)$, 반지름 $r = \sqrt{5}$. 점 $A$와 중심 사이의 거리 $d = \overline{CA} = \sqrt{(5-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
2단계: $d = 5 > \sqrt{5} = r$이므로 $A$는 원 바깥에 있다. 원 위의 점 $P$에 대해 삼각부등식으로 $d - r \leq \overline{PA} \leq d + r$. 등호는 $P$가 선분 $CA$(또는 그 연장) 위에 있을 때 성립.
3단계: 최댓값 $= d + r = 5 + \sqrt{5}$, 최솟값 $= d - r = 5 - \sqrt{5}$. 합 $= 10$.

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1단계: $2a + 3b = k$는 기울기 $-2/3$인 평행직선 계열이다. 원 위의 점 $(a, b)$가 이 직선 위에 있으려면, 원과 직선이 공유점을 가져야 하므로 원점에서 직선까지의 거리가 반지름 $2$ 이하이어야 한다.
2단계: 점과 직선의 거리 공식: $\dfrac{|k|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \dfrac{|k|}{\sqrt{13}} \leq 2$. 따라서 $|k| \leq 2\sqrt{13}$.
3단계: $k$의 최댓값은 $2\sqrt{13}$이며, 이때 직선은 원에 접하고 접점 $P$는 원점에서 법선 방향 $(2, 3)/\sqrt{13}$에 반지름 $2$ 만큼 간 위치 $P = \left(\dfrac{4}{\sqrt{13}}, \dfrac{6}{\sqrt{13}}\right)$. 검산: $2\cdot\dfrac{4}{\sqrt{13}} + 3\cdot\dfrac{6}{\sqrt{13}} = \dfrac{26}{\sqrt{13}} = 2\sqrt{13}$. ✓

📖 풀이:
1단계: $ab+bc+ca$를 먼저 구한다. 항등식 $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$에서 $36 = 14 + 2(ab+bc+ca)$, 따라서 $ab+bc+ca = 11$.
2단계: 세제곱합 공식 $a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)\{(a^2+b^2+c^2) - (ab+bc+ca)\}$를 쓴다. 오른쪽에 대입하면 $6 \cdot (14 - 11) = 18$.
3단계: 따라서 $a^3+b^3+c^3 = 18 + 3abc = 18 + 18 = 36$.
(검산: $a, b, c$는 $t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = 0$의 근이고 인수분해하면 $(t-1)(t-2)(t-3) = 0$. 즉 $\{a,b,c\} = \{1, 2, 3\}$. $1^3+2^3+3^3 = 36$. ✓)

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1단계: 원명제 '$p \to q$'의 대우는 '$\sim q \to \sim p$'이다. 여기서 $p$: '$n^2$은 $3$의 배수이다', $q$: '$n$은 $3$의 배수이다'.
2단계: $\sim q$는 '$n$은 $3$의 배수가 아니다', $\sim p$는 '$n^2$은 $3$의 배수가 아니다'. 따라서 대우는 '$n$이 $3$의 배수가 아니면 $n^2$은 $3$의 배수가 아니다'.
3단계: 대우 증명의 구조는 '가정 $\sim q$에서 출발하여 결론 $\sim p$를 끌어낸다'. 즉 가정은 $n$이 $3$의 배수가 아니다, 결론은 $n^2$이 $3$의 배수가 아니다. 실제 증명은 $n = 3k \pm 1$로 쓰고 $n^2 = 9k^2 \pm 6k + 1 = 3(3k^2\pm 2k) + 1$이므로 $n^2$을 $3$으로 나눈 나머지가 $1$이 되어 $3$의 배수가 아니다로 마무리한다. ①은 가정·결론이 $q \to p$ 꼴이므로 원명제의 역명제이고, ③은 $\sim p \to \sim q$ 꼴이므로 원명제의 이명제이며 이는 원명제(순명제) $p \to q$ 자체가 아니다. ④는 원명제의 가정 $p$에서 결론의 부정 $\sim q$로 가는, 논리적으로 성립하지 않는 잘못된 쌍이다.

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1단계 ($f$ 한 번): $f(x) = (x+3)(x-1) = 0$의 해는 $x = -3$ 또는 $x = 1$. 따라서 $f(f(f(x))) = 0$은 $f(f(x)) = -3$ 또는 $f(f(x)) = 1$로 환원된다.
2단계 ($f$ 두 번): $f(y) = -3$은 $y^2+2y = 0$, 즉 $y(y+2)=0$이므로 $y = 0, -2$. $f(y) = 1$은 $y^2+2y-4 = 0$이므로 $y = -1 \pm \sqrt{5}$. 즉 $f(x) \in \{0, -2, -1+\sqrt{5}, -1-\sqrt{5}\}$ 네 값.
3단계 ($f$ 세 번): 각 $v$에 대해 $f(x) = v$, 즉 $x^2 + 2x - (3+v) = 0$의 판별식은 $D = 4 + 4(3+v) = 16 + 4v$. 네 값 $v$에 대해 $D$는 각각 $16, 8, 12+4\sqrt{5}, 12-4\sqrt{5}$. 마지막 값이 양수인지 확인: $12 - 4\sqrt{5} \approx 12 - 8.94 > 0$. 모두 양수이므로 각 $v$마다 서로 다른 두 실근이 나오고 총 $4 \times 2 = 8$개. 또한 네 개의 $v$ 값이 모두 다르고, $f$가 꼭짓점 $x = -1$에서 최소값 $-4$를 가지므로 $v > -4$인 이상 서로 다른 $v$의 해는 서로 겹치지 않아 중복 제거도 불필요하다.

📖 풀이:
1단계: $(x-1)(x-2)(x-3)$은 3차식이므로 나머지 $R(x)=ax^2+bx+c$로 놓는다.
2단계: $P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+R(x)$이므로 $R(1)=P(1)=2$, $R(2)=P(2)=5$, $R(3)=P(3)=10$.
3단계: 세 식을 연립하면 $a+b+c=2$, $4a+2b+c=5$, $9a+3b+c=10$. 차례로 빼면 $3a+b=3$, $5a+b=5$이고 $a=1,b=0,c=1$.
4단계: $R(x)=x^2+1$이므로 $R(4)=16+1=17$.

📖 풀이:
1단계: $x^2+x+1$은 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$의 인수이므로 $\omega^3=1$이고 $1+\omega+\omega^2=0$이다.
2단계: $99=3\cdot 33$, $100=3\cdot 33+1$, $101=3\cdot 33+2$이므로 $\omega^{99}=1$, $\omega^{100}=\omega$, $\omega^{101}=\omega^2$.
3단계: 따라서 $\omega^{99}+\omega^{100}+\omega^{101}=1+\omega+\omega^2=0$.

📖 풀이:
1단계: 그래프에서 $f(t)>0$인 구간은 $t<-1$ 또는 $t>3$이다.
2단계: $t=x^2-1$로 치환하면 $x^2-1<-1$ 또는 $x^2-1>3$을 만족해야 한다.
3단계: $x^2-1<-1 \Rightarrow x^2<0$은 해가 없고, $x^2-1>3 \Rightarrow x^2>4 \Rightarrow x<-2$ 또는 $x>2$.
4단계: 따라서 답은 $x<-2$ 또는 $x>2$. 보기 ③은 $f(x)>0$의 해(함정)이므로 주의.

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1단계: 세 근을 $\alpha,\beta,\gamma$라 하면 근과 계수의 관계에서 $\alpha+\beta+\gamma=6$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=11$, $\alpha\beta\gamma=6$.
2단계: $(\alpha+\beta+\gamma)^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$를 이용.
3단계: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=6^2-2\cdot 11=36-22=14$.
검증: 인수분해하면 $(x-1)(x-2)(x-3)=0$이므로 근은 $1,2,3$이고 $1+4+9=14$. 일치.