📝 고1 수학 심화

📖 풀이:
1단계: $(1+i)^2 = 1+2i+i^2 = 2i$. 큰 지수를 작은 지수로 환원한다. 2단계: $(1+i)^{20} = \{(1+i)^2\}^{10} = (2i)^{10} = 2^{10}\cdot i^{10} = 1024 \cdot i^{10}$. 3단계: $i^{10}=i^{8}\cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$. 따라서 $(1+i)^{20} = 1024 \cdot (-1) = -1024$이고, 이 값 자체가 실수이므로 실수부는 $-1024$이다.

📖 풀이:
1단계: $f(x)=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$. 구간 $[0,5]$에서 꼭짓점 $(2,9)$가 내부에 있고, $f(0)=5$, $f(5)=0$이다. 그래프는 $(0,5)$에서 올라가 $(2,9)$에서 최댓값을 찍고 $(5,0)$까지 내려간다. 2단계: 수평선 $y=k$와의 교점 수를 $k$ 구간별로 분석. $k>9$: 교점 없음. $k=9$: 꼭짓점에서 1개(접점). $5 \le k < 9$: 올라가는 구간과 내려가는 구간에서 각각 1개씩 총 2개. $0 \le k < 5$: 내려가는 구간에서만 1개. $k<0$: 교점 없음. 3단계: 서로 다른 두 점에서 만나는 조건은 $5 \le k < 9$. 경계값 $k=5$에서는 $x=0$과 내려가는 구간의 점 두 곳에서 만나므로 포함된다.

📖 풀이:
1단계: $x=t+1$로 치환하면 원방정식이 $t$에 대한 방정식으로 바뀐다. $(t+1)^3-3(t+1)^2+3(t+1)-2 = (t^3+3t^2+3t+1)-3(t^2+2t+1)+(3t+3)-2 = t^3-1$. 2단계: 따라서 $\alpha-1, \beta-1, \gamma-1$은 방정식 $t^3=1$의 세 근이다. 각각을 $t_1, t_2, t_3$라 하면 세 근 모두 $t_i^3=1$을 만족한다. 3단계: $(\alpha-1)^3+(\beta-1)^3+(\gamma-1)^3 = t_1^3+t_2^3+t_3^3 = 1+1+1 = 3$이다.

📖 풀이:
1단계: 원 $C$의 중심 $O(0,0)$, 반지름 $r=1$. 직선을 $x-y+3=0$으로 고쳐 쓰면 $O$에서 직선까지 거리는 $d=\frac{|0-0+3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. 2단계: $d=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx 2.12 > 1 = r$이므로 원과 직선은 만나지 않는다. 따라서 원 위 점 $P$에서 직선까지 거리의 최댓값은 $d+r=\frac{3\sqrt{2}}{2}+1$, 최솟값은 $d-r=\frac{3\sqrt{2}}{2}-1$이다. 3단계: 합 $=(d+r)+(d-r)=2d=2 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$.

📖 풀이:
1단계: $U$를 배타적인 네 영역 $A\cap B$, $A-B$, $B-A$, $U-(A\cup B)$로 나눈다. 각 영역의 원소 개수는 차례로 $2, 1, 2, 3$이다($n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)=1$, $n(B-A)=n(B)-n(A\cap B)=2$, 나머지는 $8-2-1-2=3$). 2단계: 8개 원소를 이 네 영역에 배치하는 경우를 순차적으로 센다. $A\cap B$에 들어갈 2개 선택: $\binom{8}{2}=28$. 3단계: 남은 6개에서 $A-B$에 들어갈 1개 선택: $\binom{6}{1}=6$. 남은 5개에서 $B-A$에 들어갈 2개 선택: $\binom{5}{2}=10$. 나머지 3개는 자동으로 $U-(A\cup B)$에 들어간다. 총 경우의 수: $28 \times 6 \times 10 = 1680$.

📖 풀이:
1단계: $f(1)=f(3)$이므로 $f$의 대칭축은 $x=\frac{1+3}{2}=2$. 따라서 $f(x)=a(x-2)^2+q$로 쓸 수 있고 꼭짓점의 $y$좌표가 $q$다. 꼭짓점은 $x=2$에서 나오므로 $f(2)=q=5$. 2단계: $f(1)=a(1-2)^2+5=a+5=4$에서 $a=-1$. 따라서 $f(x)=-(x-2)^2+5=-x^2+4x+1$이다. 3단계: $f(x)<0 \Leftrightarrow -x^2+4x+1<0 \Leftrightarrow x^2-4x-1>0$. 이차방정식 $x^2-4x-1=0$의 근은 $x=\frac{4\pm\sqrt{16+4}}{2}=2\pm\sqrt{5}$. $x^2-4x-1$은 아래로 볼록하므로 양수가 되는 구간은 두 근의 바깥쪽. 따라서 해는 $x<2-\sqrt{5}$ 또는 $x>2+\sqrt{5}$.

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1단계: 6개 구슬 중 염주에 사용할 4개를 선택. 이는 순서 없는 조합이므로 $\binom{6}{4}=15$가지. 2단계: 선택된 서로 다른 4개 구슬로 만드는 염주의 수. 원순열의 수는 $(4-1)!=3!=6$이지만, 염주는 '뒤집어서 같으면 같은 것'으로 보므로 좌·우 반사되는 쌍을 하나로 묶어 $\frac{(4-1)!}{2}=\frac{6}{2}=3$가지. 3단계: 곱의 법칙에 의해 전체 염주의 개수는 $15 \times 3 = 45$.

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1단계: 다항정리에 의해 $(1+x+x^2)^{10} = \sum_{a+b+c=10} \frac{10!}{a!\,b!\,c!} \cdot 1^a \cdot x^b \cdot (x^2)^c$. $x$에 대한 지수는 $b+2c$. 2단계: $x^2$ 항을 얻으려면 $b+2c=2$이고 $a+b+c=10$, $a,b,c \ge 0$ (정수)인 해를 모두 찾는다. 가능한 $(b, c)$는 $(2, 0)$과 $(0, 1)$ 두 경우. 3단계: $(a,b,c)=(8,2,0)$일 때 계수 $\frac{10!}{8!\,2!\,0!}=\frac{90}{2}=45$, $(a,b,c)=(9,0,1)$일 때 계수 $\frac{10!}{9!\,0!\,1!}=10$. 합산 $45+10=55$.

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1단계: 주어진 관계식에 구체적인 값을 연속 대입하여 $f$의 값을 추적한다. $x=0$: $f(1)=\{f(0)\}^2+1=0+1=1$. $x=1$: $f(2)=\{f(1)\}^2+1=1+1=2$. $x=2$: $f(5)=\{f(2)\}^2+1=4+1=5$. $x=5$: $f(26)=\{f(5)\}^2+1=25+1=26$. 2단계: 특별한 값들 $0, 1, 2, 5, 26, \dots$에서 모두 $f(n)=n$이 성립. 이는 $f(x)=x$가 해일 가능성을 강하게 시사한다. 실제로 $f(x)=x$를 대입하면 좌변 $f(x^2+1)=x^2+1$, 우변 $\{f(x)\}^2+1=x^2+1$로 항등식 성립. 3단계: 유일성 확인. $f$가 다항식이고 무한히 많은 점($0,1,2,5,26,677,\dots$)에서 항등함수 $y=x$와 값이 일치하므로, 다항식의 유일성 원리에 의해 $f(x)=x$가 유일한 다항식 해다. 따라서 $f(10)=10$.

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1단계: '$p$가 $q$이기 위한 충분조건'이라는 것은 명제 $p \to q$가 참이라는 의미이며, 이는 진리집합 $P \subset Q$와 동치다. 2단계: $P = \{x \mid 0 < x < 3\} = (0, 3)$, $Q = \{x \mid -1 \le x < a\} = [-1, a)$. $(0, 3) \subset [-1, a)$가 성립할 조건을 구한다. 왼쪽 경계는 $-1 \le 0$으로 이미 성립. 오른쪽 경계는 $(0,3)$의 모든 $x$가 $[-1, a)$에 포함되어야 하므로 $3 \le a$가 필요하다. 3단계: $a=3$일 때 $Q=[-1, 3)$이고 $(0, 3) \subset [-1, 3)$가 성립. $a<3$이면 $a$와 $3$ 사이의 수(예: $x=a$ 근방)가 $P$에는 있으나 $Q$에는 없어 포함이 깨진다. 따라서 $a$의 최솟값은 $3$.

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1단계: $f(x) = (x-2)^2 + (a-4)$로 표준형 변환. 대칭축 $x=2$는 구간 $[0, 3]$ 내부에 있고, $f$는 아래로 볼록이므로 꼭짓점 $x=2$에서 최솟값, 구간의 양 끝 중 한 곳에서 최댓값을 갖는다. 2단계: $f(0)=a$, $f(3)=9-12+a=a-3$. $f(0)>f(3)$이므로 구간에서의 최댓값은 $f(0)=a$. 문제 조건에서 최댓값이 $5$이므로 $a=5$. 3단계: 이때 $f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$이고, 구간 내 최솟값은 꼭짓점 값 $f(2)=1$이다.

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1단계: $a^5 - b^5 = (a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$ 공식을 $a=x^2, b=1$에 적용하면 $x^{10} - 1 = (x^2)^5 - 1^5 = (x^2-1)\left((x^2)^4 + (x^2)^3 + (x^2)^2 + x^2 + 1\right)$.
2단계: 따라서 $Q(x) = x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1$.
3단계: $x=1$ 대입하면 $Q(1) = 1+1+1+1+1 = 5$.

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1단계: 교점의 $x$좌표는 $x^2-4x+a = 2x+b$, 즉 $x^2 - 6x + (a-b) = 0$의 두 근 $\alpha, \beta$.
2단계: 두 교점은 $P(\alpha, 2\alpha+b)$, $Q(\beta, 2\beta+b)$. 두 점 사이의 거리의 제곱은 $(\alpha-\beta)^2 + (2\alpha-2\beta)^2 = 5(\alpha-\beta)^2$.
3단계: $|PQ|^2 = 40$이므로 $5(\alpha-\beta)^2 = 40$, $|\alpha-\beta|^2 = 8$, 따라서 $|\alpha - \beta| = 2\sqrt{2}$.

📖 풀이:
1단계: 제한 없이 $1,2,3,4,5$를 나열하는 경우의 수는 $5! = 120$.
2단계: 임의의 순열에서 $1$과 $2$의 상대적 위치는 '$1$이 앞', '$2$가 앞' 두 가지가 대칭이어서 각각 전체의 $\dfrac{1}{2}$. $3$과 $4$에 대해서도 동일.
3단계: $1$과 $2$의 위치 조건은 $3$과 $4$의 위치 조건과 독립이므로 동시 만족 확률은 $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$. 경우의 수 $= 120 \times \dfrac{1}{4} = 30$.

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1단계: $g(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = (x-2)^2 - 1$로 표준화. 두 실근 $1, 3$, 꼭짓점 $(2, -1)$.
2단계: $y = |g(x)|$는 구간 $[1, 3]$에서 포물선이 $x$축 아래로 내려간 부분을 위로 뒤집어 최고점 $(2, 1)$을 가지고, 외부에서는 원래 포물선과 같은 형태.
3단계: 수평선 $y=k$와 교점이 네 개가 되려면 뒤집힌 '산' 내부에서 두 점, 양쪽 외부 포물선에서 각각 한 점씩 만나야 하므로 $0 < k < 1$. $k=1$이면 산 꼭짓점에서 접해 3점, $k=0$이면 축 접촉 2점, $k>1$이면 외부 2점만.

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1단계: 복소수 절댓값의 기본 성질 $|w^2| = |w|^2$ 이용. $|z_1|^2 = |z_1^2| = |3+4i| = \sqrt{3^2+4^2} = 5$이므로 $|z_1| = \sqrt{5}$.
2단계: 마찬가지로 $|z_2|^2 = |z_2^2| = |5-12i| = \sqrt{25+144} = 13$이므로 $|z_2| = \sqrt{13}$.
3단계: 절댓값의 곱셈성 $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{65}$.

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1단계: 원 $C$의 중심은 $(3, 4)$, 반지름 $r = 2$. 원점과 중심 사이 거리는 $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
2단계: $d > r$이므로 원점은 원 밖에 있다. 삼각부등식에 의해 원 위 점 $P$에 대해 $|d - r| \leq |OP| \leq d + r$.
3단계: 최솟값 $= d - r = 3$, 최댓값 $= d + r = 7$. 합 $= 3 + 7 = 10 = 2d$.

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1단계: $x \geq 0$에서 $y = x^2 \geq 0$이므로, $y \geq 0$에 대해 $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$.
2단계: $x < 0$에서 $y = -x^2 \leq 0$이므로, $y < 0$에 대해 $f^{-1}(y) = -\sqrt{-y}$ (원래 $x$가 음수였음에 주의).
3단계: $f^{-1}(9) = \sqrt{9} = 3$ (9 $\geq$ 0 구간). $f^{-1}(-4) = -\sqrt{-(-4)} = -\sqrt{4} = -2$ (-4 < 0 구간). 합 $= 3 + (-2) = 1$.

📖 풀이:
1단계: $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 10 + 6 = 16$이므로 $x + y = \pm 4$.
2단계: $x+y = 4$, $xy = 3$인 경우 $x, y$는 $t^2 - 4t + 3 = 0$의 두 근 $t = 1, 3$. 해 $(1, 3)$, $(3, 1)$로 실수해 존재.
3단계: $x+y = -4$, $xy = 3$인 경우 $x, y$는 $t^2 + 4t + 3 = 0$의 두 근 $t = -1, -3$. 해 $(-1, -3)$, $(-3, -1)$로 실수해 존재. 따라서 $x+y$가 가질 수 있는 값은 $4$와 $-4$ 두 가지, 합은 $0$.

📖 풀이:
1단계: 전체 나열 수는 같은 숫자를 구별하지 않을 때 $\dfrac{5!}{2! \cdot 2!} = 30$. 금지 사건을 포함배제 원리로 처리.
2단계: $A$ = '두 개의 $1$이 이웃하는 사건', $B$ = '두 개의 $2$가 이웃하는 사건'이라 하자. $|A|$: 두 $1$을 묶어 '$11$' 한 덩어리로 보면 총 4개($11, 2, 2, 3$) 배열, $\dfrac{4!}{2!} = 12$. 대칭으로 $|B| = 12$. $|A \cap B|$: '$11$', '$22$', '$3$' 세 덩어리 배열, $3! = 6$.
3단계: 포함배제로 $|A \cup B| = 12 + 12 - 6 = 18$. 조건을 만족하는 경우의 수 $= 30 - 18 = 12$.

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1단계: $f(f(x)) = x$이면 $f$는 스스로가 자신의 역함수이므로 일대일 대응(전단사). 이유: $f(a) = f(b) \Rightarrow a = f(f(a)) = f(f(b)) = b$로 단사, 유한집합에서 단사는 전사.
2단계: 이러한 순열은 '고정점'과 '서로 자리를 바꾸는 쌍(2-사이클)'으로만 구성된다. 3개 이상 원소를 순환시키는 사이클이 있으면 $f \circ f$가 항등이 될 수 없다.
3단계: 경우를 2-사이클 개수로 분류: (i) 2-사이클 0개 (모두 고정): $1$개. (ii) 2-사이클 1개 ($4$개 중 $2$개 선택): $\binom{4}{2} = 6$개. (iii) 2-사이클 2개 (남은 2명도 자동으로 쌍): $\dfrac{1}{2}\binom{4}{2} = 3$개. 합계 $1 + 6 + 3 = 10$.

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1단계: $a_k = \binom{n}{k}$이고, 구하는 합 $S = \sum_{k=0}^{n} (k+1)\binom{n}{k} = \sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k} + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$로 분리.
2단계: $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ ($(1+1)^n$에서). 또 $k\binom{n}{k} = n\binom{n-1}{k-1}$이라는 흡수 항등식으로 $\sum_{k=1}^{n} k\binom{n}{k} = n \sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} = n \cdot 2^{n-1}$.
3단계: $S = n \cdot 2^{n-1} + 2^n = n \cdot 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} = (n + 2) \cdot 2^{n-1}$.

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1단계: $f(x)$를 3차식 $(x-1)^2(x+2)$로 나눈 나머지 $R(x)$는 2차 이하이다. $f(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+R(x)$에서 $(x-1)^2(x+2)Q(x)$는 $(x-1)^2$의 배수이므로, $f(x)$를 $(x-1)^2$으로 나눈 나머지와 $R(x)$를 $(x-1)^2$으로 나눈 나머지는 서로 같다. 따라서 $R(x)$를 $(x-1)^2$으로 나눈 나머지도 $3x+2$이고, $R(x)=a(x-1)^2+(3x+2)$ ($a$는 상수)로 둘 수 있다.
2단계: $f(x)$를 $(x+2)$로 나눈 나머지가 $-4$이므로 나머지정리에 의해 $f(-2)=-4$이다. 또 $f(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+R(x)$에 $x=-2$를 대입하면 $f(-2)=R(-2)$이므로 $R(-2)=-4$이다.
3단계: $R(-2)=a(-2-1)^2+(3\cdot(-2)+2)=9a-4=-4$에서 $9a=0$, 즉 $a=0$이다. 따라서 $R(x)=3x+2$이다.
4단계: $R(3)=3\cdot 3+2=11$이다.

📖 풀이:
1단계: $z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$를 극형식으로 나타내면 $|z|=1$, 편각 $\frac{\pi}{4}$. 즉 $z=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}$. 2단계: 드무아브르 정리에 의해 $z^n=\cos\frac{n\pi}{4}+i\sin\frac{n\pi}{4}$. $z^8=1$이므로 주기 8. 3단계: $2026=8\cdot 253+2$이므로 $z^{2026}=z^2=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}=i$. 마찬가지로 $z^{-2026}=z^{-2}=-i$. 따라서 $z^{2026}+z^{-2026}=i+(-i)=0$.