📝 고1 수학 심화

📖 풀이:
1단계: 항등식은 $x$에 어떤 값을 대입해도 성립하므로, 적절한 값을 대입해 계산 부담을 줄인다. $x=1$을 대입하면 좌변 $= (2)(-1)(4) = -8$이고 우변 $= 1 + a + b + c$가 된다. 2단계: 두 값이 같으므로 $1 + a + b + c = -8$, 즉 $a+b+c = -9$. 3단계: 검산을 위해 좌변을 전개하면 $(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$, 이를 $(x+3)$과 곱하면 $x^3 + 2x^2 - 5x - 6$이므로 $a=2, b=-5, c=-6$이고 합은 $-9$로 일치한다.

📖 풀이:
1단계: $(x-1)(x-2)(x-3)$은 3차식이므로 나머지를 $R(x) = ax^2 + bx + c$로 설정한다. 그러면 $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)Q(x) + ax^2 + bx + c$. 2단계: 나머지정리에 의해 $f(1)=R(1)=a+b+c=2$, $f(2)=R(2)=4a+2b+c=5$, $f(3)=R(3)=9a+3b+c=10$이다. 3단계: 두 번째 식에서 첫 번째 식을 빼면 $3a+b = 3$, 세 번째에서 두 번째를 빼면 $5a+b = 5$이다. 두 식을 빼면 $2a = 2$, 즉 $a=1, b=0, c=1$. 따라서 나머지는 $x^2 + 1$이다.

📖 풀이:
1단계: $i$의 거듭제곱은 $i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1$로 주기가 $4$이다. 한 주기 합은 $i + (-1) + (-i) + 1 = 0$. 2단계: 지수 $1$부터 $100$까지는 정확히 $100/4 = 25$주기로 나누어진다. 3단계: 각 주기의 합이 $0$이므로 총합은 $25 \times 0 = 0$.

📖 풀이:
1단계: $\omega$는 $x^2+x+1=0$의 근이므로 $1 + \omega + \omega^2 = 0$이 성립한다. 따라서 $1+\omega = -\omega^2$, $1+\omega^2 = -\omega$로 치환할 수 있다. 2단계: 또한 $\omega^3 = 1$임을 이용한다. $x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$에서 $\omega$가 $x^2+x+1=0$의 근이므로 $\omega^3 - 1 = 0$이다. 3단계: $(1+\omega)^{100} = (-\omega^2)^{100} = \omega^{200} = \omega^{3 \cdot 66 + 2} = \omega^2$. $(1+\omega^2)^{100} = (-\omega)^{100} = \omega^{100} = \omega^{3 \cdot 33 + 1} = \omega$. 합은 $\omega^2 + \omega = -1$ ($\because 1+\omega+\omega^2=0$).

📖 풀이:
1단계: 대칭식의 기본 공식 $(z+\bar{z})^2 = z^2 + 2z\bar{z} + \bar{z}^2$를 떠올린다. 즉 $z^2 + \bar{z}^2 = (z+\bar{z})^2 - 2z\bar{z}$이다. 2단계: 주어진 조건에서 $z + \bar{z} = 4$이므로 $(z+\bar{z})^2 = 16$. 또한 $z\bar{z} = 5$이므로 $2z\bar{z} = 10$. 3단계: 따라서 $z^2 + \bar{z}^2 = 16 - 10 = 6$. 참고로 $z = a + bi$로 놓으면 $z+\bar{z} = 2a = 4$이므로 $a=2$, $z\bar{z} = a^2 + b^2 = 5$이므로 $b^2 = 1$, $b = \pm 1$. 확인: $z = 2 \pm i$에서 $z^2 + \bar{z}^2 = 2(a^2 - b^2) = 2(4-1) = 6$. ✓

📖 풀이:
1단계: 이차방정식 $x^2 - 2ax + a + 2 = 0$이 실근을 갖지 않아야 포물선이 $x$축과 만나지 않는다. 최고차항 계수가 양수이므로 아래로 볼록이고, 판별식 $D < 0$ 조건이다. 2단계: $D/4 = (-a)^2 - 1 \cdot (a+2) = a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1) < 0$. 3단계: 이차부등식 $(a-2)(a+1) < 0$의 해는 두 근 $-1, 2$ 사이이므로 $-1 < a < 2$이다. 함정: 경계에서 $D=0$이면 $x$축에 접하므로 '만남'으로 간주해 제외 (④는 오답).

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1단계: 이차방정식이 '서로 다른 두 양의 실근'을 가질 조건은 세 가지를 모두 만족해야 한다. 포물선 관점에서 (1) $D > 0$ (서로 다른 두 실근), (2) 두 근의 합 $> 0$, (3) 두 근의 곱 $> 0$. 2단계: 각 조건 대입. (1) $D/4 = (k+1)^2 - (k^2+3) = 2k - 2 > 0$이므로 $k > 1$. (2) 두 근의 합 $2(k+1) > 0$이므로 $k > -1$. (3) 두 근의 곱 $k^2 + 3 > 0$은 모든 실수 $k$에서 성립. 3단계: 세 조건의 공통 범위는 $k > 1$. 함정: 판별식 조건만 본 학생은 ①($k > -1$)로 갈 수 있으나, 그것은 두 근의 합 조건이다.

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1단계: 삼차방정식 $x^3 + ax^2 + bx + c_0 = 0$의 근과 계수의 관계에서 세 근 $\alpha, \beta, \gamma$에 대해 $\alpha+\beta+\gamma = -a$, $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$, $\alpha\beta\gamma = -c_0$이다. 여기서 $c_0 = 6$이므로 근의 곱 $1 \cdot 2 \cdot c = -6$, 따라서 $c = -3$. 2단계: 근의 합 $1 + 2 + (-3) = 0 = -a$이므로 $a = 0$. 근 둘씩 곱의 합 $1 \cdot 2 + 1 \cdot (-3) + 2 \cdot (-3) = 2 - 3 - 6 = -7 = b$. 3단계: $a + b + c = 0 + (-7) + (-3) = -10$. 함정: 상수항의 부호 처리에서 $\alpha\beta\gamma = -c_0$을 $+c_0$으로 착각하면 $c = 3$이 되어 오답으로 이어진다.

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1단계: 좌변을 인수분해한다. $x^2 - 2kx + k^2 - 4 = (x-k)^2 - 4 = (x-k-2)(x-k+2)$이므로 두 근은 $k-2$와 $k+2$이다. 2단계: '두 근이 모두 $-3$과 $5$ 사이'는 $-3 < k-2$ 그리고 $k+2 < 5$이다 (더 작은 근이 $-3$보다 크고, 더 큰 근이 $5$보다 작음). 각각 정리하면 $k > -1$과 $k < 3$. 3단계: 공통 범위 $-1 < k < 3$에서 정수 $k$는 $0, 1, 2$로 총 $3$개. 함정: 부등호에 등호를 붙이면 경계 점 $-3$이나 $5$가 근이 될 수 있어 '사이'의 의미와 맞지 않으므로 주의해야 한다.

📖 풀이:
1단계: 최고차항의 계수 $a$가 문자이므로 '이차방정식'이 되는지 아닌지로 경우를 나눈다. 경우 1) $a = 0$: 방정식은 $-2x - 1 = 0$인 일차방정식으로 $x = -\dfrac{1}{2}$라는 실근을 가진다. 따라서 $a=0$은 조건을 만족한다. 2단계: 경우 2) $a \neq 0$: 이차방정식이므로 실근 조건은 $D/4 \geq 0$. $D/4 = (a+1)^2 - a(a-1) = a^2 + 2a + 1 - a^2 + a = 3a + 1 \geq 0$이므로 $a \geq -\dfrac{1}{3}$이고 $a \neq 0$. 3단계: 두 경우를 합치면 $a \geq -\dfrac{1}{3}$ (단 $a=0$ 포함). 함정: 경우 1을 빠뜨리면 ④($a \neq 0$이고 $a \geq -\dfrac{1}{3}$)로 오답하기 쉽다.

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1단계: 원 밖의 점에서 원에 그은 접선의 접점을 $T$라 하면, 반지름 $OT$와 접선 $PT$는 서로 수직이다 (접선과 반지름의 수직 성질). 따라서 $\triangle OTP$는 $\angle OTP = 90°$인 직각삼각형이다. 2단계: 중심 $O(0,0)$과 점 $P(3,4)$ 사이의 거리는 $OP = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. 원의 반지름은 $OT = \sqrt{5}$. 3단계: 피타고라스 정리로 접선의 길이는 $PT = \sqrt{OP^2 - OT^2} = \sqrt{25 - 5} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. 함정: 접선의 길이를 중심거리 $OP=5$(보기 ④)나 반지름 $\sqrt{5}$(보기 ①)로 착각하기 쉽다. 반드시 '거리의 제곱에서 반지름의 제곱을 뺀 값'의 제곱근, 즉 $\sqrt{OP^2-OT^2}=\sqrt{25-5}=2\sqrt{5}$를 구해야 한다. 또한 반지름의 제곱 $5$ 대신 반지름 $\sqrt{5}$를 빼는 실수($\sqrt{25-\sqrt{5}}\approx4.77$)도 흔하니 주의한다.

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1단계: 근과 계수의 관계로 $\alpha + \beta = -a$, $\alpha\beta = b$라 하자. 대칭식 공식에 의해 $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = a^2 - 2b = 7$ $\cdots$ (가). $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = -a^3 + 3ab = 10$ $\cdots$ (나). 2단계: (가)에서 $b = \dfrac{a^2 - 7}{2}$를 (나)에 대입. $-a^3 + 3a \cdot \dfrac{a^2-7}{2} = 10$, 양변에 2 곱: $-2a^3 + 3a^3 - 21a = 20$, $a^3 - 21a - 20 = 0$. 인수분해하면 $(a+1)(a-5)(a+4) = 0$이므로 $a = -1, 5, -4$. 3단계: '서로 다른 두 실근' 조건에서 $D = a^2 - 4b > 0$을 각 경우에 점검한다. $a=-1$: $b = -3$, $D = 1 + 12 = 13 > 0$ ✓. $a=5$: $b = 9$, $D = 25 - 36 = -11 < 0$ ✗ (허근). $a=-4$: $b = 9/2$, $D = 16 - 18 = -2 < 0$ ✗. 따라서 $(a, b) = (-1, -3)$, 즉 $a + b = -4$.

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1단계: 조건 해석. $A \cup B = U$이므로 $U$의 모든 원소는 $A$ 또는 $B$에 속한다. 또 $A \cap B = \{3, 7\}$이므로 원소 $3$과 $7$은 반드시 $A$, $B$ 양쪽에 모두 속한다.
2단계: 나머지 원소 분류. $U$의 원소 중 $3, 7$을 제외한 $8$개의 원소는 $A \cap B$에 속하지 않으므로, 각 원소는 '$A$에만 속함' 또는 '$B$에만 속함' 두 가지 상태 중 하나를 택한다.
3단계: 경우의 수. 각 원소의 선택이 독립이므로 $2^8 = 256$.

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1단계: 작은 값 계산으로 규칙 탐색. $f^{1}(2) = \dfrac{2}{3}$, $f^{2}(2) = f\!\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{2/3}{5/3} = \dfrac{2}{5}$, $f^{3}(2) = f\!\left(\dfrac{2}{5}\right) = \dfrac{2/5}{7/5} = \dfrac{2}{7}$.
2단계: 규칙 추정. 분자는 $2$로 고정이고 분모는 $3, 5, 7, \cdots$로 공차 $2$인 등차수열이다. 따라서 $f^{n}(2) = \dfrac{2}{2n+1}$.
3단계: 수학적 귀납으로 확인. $f^{n}(2) = \dfrac{2}{2n+1}$이 성립하면 $f^{n+1}(2) = \dfrac{2/(2n+1)}{2/(2n+1) + 1} = \dfrac{2}{2n+3}$이므로 귀납이 닫힌다.
4단계: $n = 10$ 대입하여 $f^{10}(2) = \dfrac{2}{21}$.

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1단계: 전체 원순열. 서로 다른 $7$개를 원형으로 배열하는 방법의 수는 $(7-1)! = 720$.
2단계: $A$와 $B$가 이웃하는 경우(여사건)를 구한다. $A$, $B$를 하나의 묶음으로 보면 $6$개의 대상을 원형으로 배열하는 방법은 $(6-1)! = 120$이고, 묶음 내부에서 $A$, $B$의 자리 순서가 $2$가지이므로 총 $120 \times 2 = 240$.
3단계: 여사건 제외. $720 - 240 = 480$.

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1단계: 거리 비 조건 식화. $P(x, y)$로 놓으면 $\overline{PA} : \overline{PB} = 1 : 2$에서 $2\overline{PA} = \overline{PB}$이므로 $4 \overline{PA}^2 = \overline{PB}^2$.
2단계: 좌표 대입. $4[(x+2)^2 + y^2] = (x-4)^2 + y^2$
$4x^2 + 16x + 16 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2$
$3x^2 + 24x + 3y^2 = 0$
$x^2 + 8x + y^2 = 0$.
3단계: 표준형 변환. $(x+4)^2 + y^2 = 16$. 중심 $(-4, 0)$, 반지름 $4$인 원.

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1단계: 조건식을 통분. $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a+b}{ab} = 1$이므로 $a + b = ab$. 따라서 $s = a + b$, $p = ab$라 하면 $s = p$.
2단계: 산술평균-기하평균 부등식 적용. 양수 $a$, $b$에 대해 $a + b \geq 2\sqrt{ab}$, 즉 $s \geq 2\sqrt{p} = 2\sqrt{s}$.
3단계: 부등식 정리. $s \geq 2\sqrt{s}$에서 양변이 양수이므로 제곱하면 $s^{2} \geq 4s$, 즉 $s(s - 4) \geq 0$. $s > 0$이므로 $s \geq 4$.
4단계: 등호 성립 조건. $a = b$일 때이고, 이때 $\dfrac{2}{a} = 1$에서 $a = b = 2$, $a+b = 4$. 따라서 최솟값은 $4$.

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1단계: 역함수의 성질. 함수 $y = f(x)$와 역함수 $y = g(x)$의 그래프는 직선 $y = x$에 대칭이다. $f$가 증가함수이므로 두 곡선의 교점은 직선 $y = x$ 위에 놓인다.
2단계: 방정식 $f(x) = x$. $x^2 - 2 = x$, 즉 $x^2 - x - 2 = 0$. 인수분해하면 $(x - 2)(x + 1) = 0$이므로 $x = 2$ 또는 $x = -1$.
3단계: 정의역 제약 적용. $f$의 정의역이 $x \geq 0$이므로 $x = -1$은 제외된다. 따라서 교점은 $(2, 2)$.

📖 풀이:
1단계: 변수 변환. $x, y, z$가 양의 정수이므로 $x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$로 놓으면 $x', y', z' \geq 0$ (음이 아닌 정수).
2단계: 변환된 방정식. 원 식에 대입하면 $x' + y' + z' + 3 = 10$, 즉 $x' + y' + z' = 7$.
3단계: 중복조합 적용. 서로 다른 $3$종류의 변수에 $7$을 음이 아닌 정수로 분배하는 방법의 수는 $_{3}H_{7} = {}_{3+7-1}C_{7} = {}_{9}C_{7} = {}_{9}C_{2} = \dfrac{9 \cdot 8}{2} = 36$.

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1단계: 원의 방정식 차. 두 원의 방정식을 각각 $f_{1}(x, y) = x^{2} + y^{2} - 10 = 0$, $f_{2}(x, y) = x^{2} + y^{2} - 2x + 4y = 0$로 두고, 두 식을 빼면 $x^{2}$과 $y^{2}$ 항이 소거된다.
2단계: $f_{1} - f_{2} = -10 - (-2x + 4y) = 2x - 4y - 10 = 0$, 즉 $x - 2y - 5 = 0$.
3단계: 의미 확인. 이 일차식은 $C_{1}$과 $C_{2}$의 두 교점이 공통으로 만족하는 식이므로, 이 직선이 바로 공통현의 방정식이다. 따라서 $x - 2y = 5$.

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1단계: 좌변 전개. $z^{2} = (a + bi)^{2} = a^{2} - b^{2} + 2abi$.
2단계: 실수부와 허수부 비교. $-5 + 12i$와 같으려면 $a^{2} - b^{2} = -5$이고 $2ab = 12$, 즉 $ab = 6$.
3단계: 연립 해결. $b = 6/a$를 첫 식에 대입하면 $a^{2} - \dfrac{36}{a^{2}} = -5$. 양변에 $a^{2}$을 곱하면 $a^{4} + 5a^{2} - 36 = 0$. $a^{2} = t$로 치환: $t^{2} + 5t - 36 = (t - 4)(t + 9) = 0$. $t \geq 0$이므로 $t = 4$, $a = \pm 2$.
4단계: $a = 2$일 때 $b = 3$, $a = -2$일 때 $b = -3$이므로 $z = 2 + 3i$ 또는 $z = -2 - 3i$.

📖 풀이:
1단계: 접선의 일반형. 점 $(0, -2)$를 지나는 직선의 방정식을 $y = mx - 2$로 둔다.
2단계: 접함의 조건. 접선과 포물선의 연립 $x^{2} - 4x + 7 = mx - 2$, 즉 $x^{2} - (m + 4)x + 9 = 0$이 중근을 가져야 한다. 판별식 $D = (m + 4)^{2} - 36 = 0$.
3단계: 접선 기울기 구하기. $(m + 4)^{2} = 36$이므로 $m + 4 = \pm 6$, 즉 $m = 2$ 또는 $m = -10$. 따라서 두 접선의 기울기의 합은 $2 + (-10) = -8$.

📖 풀이:
1단계: 절댓값 관찰. 식 $x^{2} - 2|x| - 3$에서 $x^{2} = |x|^{2}$이므로 $t = |x|$ ($t \geq 0$)로 치환하면 $t^{2} - 2t - 3 \leq 0$.
2단계: $t$에 관한 이차부등식. $(t - 3)(t + 1) \leq 0$이므로 $-1 \leq t \leq 3$.
3단계: $t \geq 0$ 조건 교집합. $0 \leq t \leq 3$, 즉 $0 \leq |x| \leq 3$.
4단계: $x$ 영역으로 환원. $|x| \leq 3$이므로 $-3 \leq x \leq 3$.

📖 풀이:
1단계: 합의 홀짝 판단. 부분집합의 합의 홀짝은 그 집합에 포함된 홀수 원소의 개수의 홀짝에 의해서만 결정된다. 짝수 원소를 몇 개 넣든 합의 홀짝에는 영향이 없다.
2단계: 홀수 원소 선택. 집합에 있는 홀수 원소는 $\{1, 3, 5, 7, 9\}$, 총 $5$개. 합이 짝수가 되려면 홀수 원소의 개수가 짝수여야 하므로 선택 방법은 ${}_{5}C_{0} + {}_{5}C_{2} + {}_{5}C_{4} = 1 + 10 + 5 = 16$.
3단계: 짝수 원소 선택. 짝수 원소 $\{2, 4, 6, 8, 10\}$은 각 원소에 대해 독립적으로 포함/불포함을 택할 수 있으므로 $2^{5} = 32$.
4단계: 곱의 법칙. $16 \times 32 = 512$.

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1단계: $x^4+4x^2+16 = (x^2+4)^2-(2x)^2 = (x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$로 인수분해된다($(x^2+4)^2=x^4+8x^2+16$에서 $4x^2=(2x)^2$를 분리). 2단계: 각 이차식의 판별식을 확인: $x^2+2x+4$는 $D_1=4-16=-12<0$, $x^2-2x+4$는 $D_2=4-16=-12<0$이므로 두 이차식 모두 실근이 없고, 네 근은 모두 허수이다. 3단계: 근과 계수의 관계로 $x^2+2x+4=0$의 두 근의 곱은 $4$, $x^2-2x+4=0$의 두 근의 곱도 $4$. 따라서 전체 네 근의 곱은 $4 \times 4 = 16$이다.