📝 고1 수학 일반

📖 풀이:
$x^4+5x^2+9=x^4+6x^2+9-x^2=(x^2+3)^2-x^2=(x^2+3-x)(x^2+3+x)=(x^2-x+3)(x^2+x+3)$. 따라서 $a=-1,b=3,c=1,d=3$이므로 $a+b+c+d=-1+3+1+3=6$.

📖 풀이:
$x^2+x+1=0$의 양변에 $(x-1)$을 곱하면 $x^3-1=0$이므로 $\omega^3=1$. 따라서 $\omega^{10}=\omega^{3\cdot 3+1}=\omega$, $\omega^{20}=\omega^{3\cdot 6+2}=\omega^2$, $\omega^{30}=\omega^{3\cdot 10}=1$. 합은 $\omega+\omega^2+1$. 그런데 $\omega^2+\omega+1=0$이므로 답은 $0$.

📖 풀이:
$x^2=t$로 치환하면 $t^2-5t+4=0$, 즉 $(t-1)(t-4)=0$이므로 $t=1$ 또는 $t=4$. $x^2=1$에서 $x=\pm 1$, $x^2=4$에서 $x=\pm 2$. 실근은 $-2,-1,1,2$. 곱 $P=(-2)(-1)(1)(2)=4$. 제곱의 합 $S=4+1+1+4=10$. 따라서 $P+S=14$.

📖 풀이:
원의 방정식을 표준형으로 정리하면 $(x-2)^2+(y+3)^2=16$. 중심 $C(2,-3)$, 반지름 $r=4$. 중심과 점 $A(7,1)$ 사이의 거리는 $|CA|=\sqrt{(7-2)^2+(1-(-3))^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$. 점 $A$가 원 밖에 있으므로 ($\sqrt{41}>4$) 거리의 최댓값은 $|CA|+r=\sqrt{41}+4$.

📖 풀이:
나머지정리에 의해 다항식 $f(x)$를 일차식 $x - 2$로 나눈 나머지는 $f(2)$와 같다. $f(2) = 2 \times 8 - 3 \times 4 + 5 \times 2 - 4 = 16 - 12 + 10 - 4 = 10$이므로 나머지는 10이다.

📖 풀이:
$(2+i)(3-2i) = 6 - 4i + 3i - 2i^2 = 6 - i + 2 = 8 - i$이다. 따라서 $a = 8$, $b = -1$이고 $a - b = 8 - (-1) = 9$이다.

📖 풀이:
$A \cap B = \{2, 4\}$이므로 $n(A \cap B) = 2$이다. 포함배제 원리에 의해 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 5 + 4 - 2 = 7$이다.

📖 풀이:
두 눈의 합이 5인 경우는 $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$의 4가지이다. 두 눈의 합이 9인 경우는 $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$의 4가지이다. 두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로(배반) 합의 법칙에 의해 $4 + 4 = 8$가지이다.

📖 풀이:
근호 안의 식이 0 이상이어야 하므로 $x - 2 \geq 0$에서 정의역은 $\{x | x \geq 2\}$이다. 또한 $\sqrt{x-2} \geq 0$이므로 $y = \sqrt{x-2} + 1 \geq 1$이고, 치역은 $\{y | y \geq 1\}$이다.

📖 풀이:
$x = 1$을 대입하면 $1 - 7 + 6 = 0$이므로 $x - 1$이 인수이다. 조립제법으로 $x^3 - 7x + 6 = (x-1)(x^2 + x - 6) = (x-1)(x-2)(x+3)$로 인수분해된다. 따라서 세 실근은 $1, 2, -3$이고 합은 $1 + 2 + (-3) = 0$이다. 또는 근과 계수 관계에 의해 $x^2$의 계수가 0이므로 세 근의 합은 0이다.

📖 풀이:
역 "$x = 1$이면 $x^2 = 1$이다"는 $x = 1$이면 항상 $x^2 = 1$이므로 참이다. 이 "$x^2 \neq 1$이면 $x \neq 1$이다"는 역의 대우이므로 역과 진리값이 같고, 역이 참이므로 이도 참이다. 원명제 "$x^2 = 1$이면 $x = 1$이다"는 $x = -1$일 때 $x^2 = 1$이지만 $x \neq 1$이므로 거짓이고, 대우 "$x \neq 1$이면 $x^2 \neq 1$이다"는 원명제와 진리값이 같으므로 거짓이다. 따라서 참인 것은 역과 이이다.

📖 풀이:
$f^{-1}(11) = a$로 놓으면 $f(a) = 11$이다. $3a + 5 = 11$에서 $a = 2$이다. 또는 $y = 3x + 5$를 $x$에 대해 풀면 $x = \frac{y - 5}{3}$이므로 $f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{3}$이고, $f^{-1}(11) = \frac{11 - 5}{3} = 2$이다.

📖 풀이:
두 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$를 $m : n$으로 내분하는 점은 $\left(\dfrac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \dfrac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$이다. 따라서 $P = \left(\dfrac{1 \cdot 4 + 2 \cdot (-2)}{1+2}, \dfrac{1 \cdot 7 + 2 \cdot 1}{1+2}\right) = \left(\dfrac{0}{3}, \dfrac{9}{3}\right) = (0, 3)$이다.

📖 풀이:
항등식 $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$를 변형하면 $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$이다. 주어진 값을 대입하면 $x^3 + y^3 = 5^3 - 3 \cdot 4 \cdot 5 = 125 - 60 = 65$이다.

📖 풀이:
$f(x) = x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 + 3$이다. 꼭짓점 $x = 2$가 정의역 $[0, 5]$에 속하므로 최솟값은 $f(2) = 3 = m$이다. 최댓값은 정의역의 양 끝값 중 더 큰 값이다. $f(0) = 7$, $f(5) = 25 - 20 + 7 = 12$이므로 최댓값 $M = 12$. 따라서 $M + m = 12 + 3 = 15$이다.

📖 풀이:
이차식 $x^2 + 2(k-1)x + k + 5$의 최고차항 계수가 양수($+1$)이므로, 모든 실수 $x$에 대해 부등식이 성립하려면 판별식이 음수여야 한다. $\dfrac{D}{4} = (k-1)^2 - (k+5) = k^2 - 2k + 1 - k - 5 = k^2 - 3k - 4 < 0$, 즉 $(k-4)(k+1) < 0$이므로 $-1 < k < 4$이다. 이를 만족하는 정수 $k$는 $0, 1, 2, 3$의 4개이다.

📖 풀이:
$y = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$에서 $x$와 $y$를 바꾸면 $x = \dfrac{2y - 1}{y + 3}$이다. 양변에 $y + 3$을 곱하면 $x(y + 3) = 2y - 1$, $xy + 3x = 2y - 1$이다. $y$에 대해 정리하면 $y(x - 2) = -3x - 1$, $y = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} = \dfrac{3x + 1}{2 - x}$이다. 따라서 $f^{-1}(x) = \dfrac{3x + 1}{2 - x}$이다.

📖 풀이:
집합 $A$의 홀수 원소는 $\{1, 3, 5\}$ (3개), 짝수 원소는 $\{2, 4\}$ (2개)이다. 부분집합 원소의 합이 짝수가 되려면 홀수 원소를 짝수 개 포함해야 한다(홀수를 짝수 개 더하면 짝수). 홀수 원소 선택 방법: $_3C_0 + _3C_2 = 1 + 3 = 4$가지. 짝수 원소는 어떻게 선택해도 합의 홀짝성에 영향을 주지 않으므로 $2^2 = 4$가지. 따라서 총 $4 \times 4 = 16$개이다.

📖 풀이:
분수 함수에 $x=2$를 직접 대입한다. 분자: $2\times 2-3=1$. 분모: $2+1=3$. 따라서 $f(2)=\dfrac{1}{3}$.

📖 풀이:
절댓값 방정식 $|A|=k\,(k>0)$은 $A=k$ 또는 $A=-k$로 푼다. (i) $x-4=3$이면 $x=7$. (ii) $x-4=-3$이면 $x=1$. 따라서 두 해의 합은 $7+1=8$.

📖 풀이:
두 사건이 동시에 일어나므로 곱의 법칙을 적용한다. 소설책을 고르는 방법: $4$가지. 시집을 고르는 방법: $3$가지. 따라서 $4\times 3=12$가지.

📖 풀이:
나머지정리에 의해 다항식 $P(x)$를 $x-a$로 나눈 나머지는 $P(a)$이다. $P(1)=1-2+3+1=3$. 따라서 나머지는 $3$이다.

📖 풀이:
두 점 사이의 거리 공식 $\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$에 대입한다. $\overline{AB}=\sqrt{(2-(-1))^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

📖 풀이:
$g(11)$은 $f(x)=11$이 되는 $x$의 값이다. $3x+2=11$을 풀면 $3x=9$, $x=3$. 따라서 $g(11)=3$. 또는 역함수 식을 직접 구해 보면, $y=3x+2$에서 $x=\dfrac{y-2}{3}$이므로 $g(x)=\dfrac{x-2}{3}$. $g(11)=\dfrac{9}{3}=3$.

📖 풀이:
$P(x)=x^3-4x^2+x+6$이라 하자. $P(-1)=-1-4-1+6=0$이므로 $x+1$을 인수로 갖는다. 조립제법 또는 다항식 나눗셈으로 $P(x)=(x+1)(x^2-5x+6)=(x+1)(x-2)(x-3)$. 따라서 세 근은 $-1,\,2,\,3$이고 음의 실근은 $-1$.