📝 고1 수학 일반

📖 풀이:
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{y+x}{xy}=\dfrac{4}{xy}$이다. 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 양수 $x$, $y$에 대하여 $x+y\geq 2\sqrt{xy}$이므로 $4\geq 2\sqrt{xy}$, 즉 $\sqrt{xy}\leq 2$, $xy\leq 4$이다. (등호는 $x=y=2$일 때 성립.) 따라서 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{4}{xy}\geq\dfrac{4}{4}=1$이고, 최솟값은 $1$이다.

📖 풀이:
실수 계수 이차방정식이 허근을 가질 때, 두 근은 서로 켤레복소수 관계이다. 따라서 다른 한 근은 $1-2i$이다.
근과 계수의 관계에 의해
두 근의 합: $(1+2i)+(1-2i)=2=-a$이므로 $a=-2$.
두 근의 곱: $(1+2i)(1-2i)=1^2-(2i)^2=1+4=5=b$이므로 $b=5$.
그러므로 $a+b=-2+5=3$이다.

📖 풀이:
점 $\text{A}(2,-3)$의 대칭점을 $\text{B}(p,q)$라 하면 두 조건이 성립한다.
(i) 선분 $\text{AB}$의 중점 $\left(\dfrac{2+p}{2},\dfrac{-3+q}{2}\right)$이 직선 $y=-x+1$ 위에 있다: $\dfrac{-3+q}{2}=-\dfrac{2+p}{2}+1$. 양변에 $2$를 곱하면 $-3+q=-(2+p)+2=-p$, 즉 $p+q=3$.
(ii) 직선 $\text{AB}$가 직선 $y=-x+1$과 수직이므로 $\text{AB}$의 기울기는 $1$이다: $\dfrac{q-(-3)}{p-2}=1$, 즉 $q+3=p-2$, $p-q=5$.
식 (ii)에서 곧바로 $p-q=5$를 얻는다. (참고로 두 식을 연립하면 $p=4$, $q=-1$.)

📖 풀이:
$t=x^2+x-2$로 치환하면 $t^2-3t-4=0$, 즉 $(t-4)(t+1)=0$이므로 $t=4$ 또는 $t=-1$이다.
(i) $t=4$일 때: $x^2+x-2=4$, $x^2+x-6=0$, $(x+3)(x-2)=0$이므로 $x=-3$ 또는 $x=2$. 두 근의 합은 $-1$.
(ii) $t=-1$일 때: $x^2+x-2=-1$, $x^2+x-1=0$. 판별식 $D=1+4=5>0$이므로 두 실근이 존재하고, 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 $-1$이다.
따라서 모든 실근의 합은 $(-1)+(-1)=-2$이다.

📖 풀이:
조립제법으로 계산한다. 계수 $2, -3, 5, -7$을 나열하고 $x = 2$를 적용한다.
[1] 첫 계수 그대로 내리기: $2$
[2] $2 \times 2 = 4$, $-3 + 4 = 1$
[3] $1 \times 2 = 2$, $5 + 2 = 7$
[4] $7 \times 2 = 14$, $-7 + 14 = 7$
따라서 몫은 $2x^2 + x + 7$, 나머지는 $7$이다.

📖 풀이:
두 근을 $\alpha, \beta$라 하면 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = 6$, $\alpha\beta = k$이다.
공식 $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$을 이용하면
$4^2 = 6^2 - 4k$
$16 = 36 - 4k$
$4k = 20$
$\therefore k = 5$

📖 풀이:
이차부등식 $x^2 + ax + b \leq 0$의 해가 $-2 \leq x \leq 3$이므로, 이차방정식 $x^2 + ax + b = 0$의 두 근은 $-2$와 $3$이다.
근과 계수의 관계에 의해
$-a = (-2) + 3 = 1$, 즉 $a = -1$
$b = (-2) \times 3 = -6$
$\therefore a + b = -1 + (-6) = -7$

📖 풀이:
일반형을 표준형으로 변환하기 위해 완전제곱식을 만든다.
$x^2 - 4x + y^2 + 6y - 3 = 0$
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) - 3 - 4 - 9 = 0$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$
따라서 중심은 $(2, -3)$, 반지름은 $\sqrt{16} = 4$이다.

📖 풀이:
무리함수 $y = \sqrt{ax + b} + c$의 그래프 시작점이 $(2, 1)$이라는 것은 근호 안이 $0$이 되는 $x$의 값에서 함숫값이 $c$가 됨을 의미한다.
[1] 시작점 조건: 근호 안 $= 0$일 때 $x = 2$이므로 $2a + b = 0$ ... (i), 그리고 $c = 1$ ... (ii)
[2] 점 $(6, 3)$ 조건: $3 = \sqrt{6a + b} + 1$이므로 $\sqrt{6a + b} = 2$, 즉 $6a + b = 4$ ... (iii)
[3] (iii) - (i)을 하면 $4a = 4$, $a = 1$. 대입하면 $b = -2$.
$\therefore a + b + c = 1 + (-2) + 1 = 0$

📖 풀이:
원순열에서 한 자리를 고정하여 회전 대칭을 제거한다.
[1] A를 한 자리에 고정한다.
[2] B는 A의 정반대편 자리(마주 보는 자리)에 놓이므로 자리가 1가지로 결정된다.
[3] 나머지 4개 음식을 남은 4자리에 일렬로 배치하면 $4! = 24$가지.
따라서 구하는 방법의 수는 $1 \times 1 \times 24 = 24$

📖 풀이:
수직이등분선은 선분 $AB$의 중점을 지나고 $AB$에 수직인 직선이다.
[1] 중점 $M$의 좌표: $\left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{3 + 1}{2}\right) = (3, 2)$
[2] 선분 $AB$의 기울기: $\frac{1 - 3}{5 - 1} = -\frac{1}{2}$
[3] 수직이등분선의 기울기는 $AB$ 기울기와의 곱이 $-1$이 되어야 하므로 $2$.
[4] 점 $(3, 2)$를 지나고 기울기가 $2$인 직선:
$y - 2 = 2(x - 3)$
$\therefore y = 2x - 4$

📖 풀이:
합성함수 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$이므로 안쪽 $f$를 먼저 계산한 뒤 $g$에 대입한다.
[1] $f(2) = 2 \times 2 + 1 = 5$
[2] $g(5) = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$
$\therefore (g \circ f)(2) = 24$

📖 풀이:
각 부등식을 풀어 공통 범위를 구한다.
[1] 첫 번째: $2x - 1 < 3x + 2 \Rightarrow -3 < x$
[2] 두 번째: $x + 4 \leq k \Rightarrow x \leq k - 4$
[3] 공통 해: $-3 < x \leq k - 4$
[4] 정수 $x$가 정확히 $5$개이려면 정수 $-2, -1, 0, 1, 2$가 포함되고 $3$은 포함되지 않아야 한다.
따라서 $2 \leq k - 4 < 3$, 즉 $6 \leq k < 7$.
$k$가 자연수이므로 $k = 6$

📖 풀이:
선분은 두 점을 선택하여 이으면 결정되며, 선택 순서는 무관하므로 조합으로 계산한다.
$_8C_2 = \dfrac{8 \times 7}{2 \times 1} = \dfrac{56}{2} = 28$
따라서 만들 수 있는 서로 다른 선분의 개수는 $28$이다.

📖 풀이:
$f(x) = x^2 - 2kx + k + 6$이라 하면, 두 실근이 모두 $1$보다 크려면 다음 세 조건을 모두 만족해야 한다.
[1] 판별식 $D \geq 0$ (실근 존재):
$\dfrac{D}{4} = k^2 - (k + 6) \geq 0 \Rightarrow k^2 - k - 6 \geq 0 \Rightarrow (k - 3)(k + 2) \geq 0$
$\therefore k \leq -2$ 또는 $k \geq 3$
[2] $f(1) > 0$ (경계값에서 함숫값 양수):
$1 - 2k + k + 6 > 0 \Rightarrow 7 - k > 0 \Rightarrow k < 7$
[3] 축의 방정식 $x = k > 1$ (축이 경계 오른쪽):
$k > 1$
세 조건 공통 범위: $k \geq 3$ 그리고 $k < 7$ 그리고 $k > 1$
$\therefore 3 \leq k < 7$

📖 풀이:
우변을 전개하여 좌변과 계수를 비교한다.
$(x - 1)(x^2 + cx + 5) = x^3 + cx^2 + 5x - x^2 - cx - 5$
$= x^3 + (c - 1)x^2 + (5 - c)x - 5$
좌변 $x^3 + 2x^2 + ax + b$와 계수 비교하면
[1] $x^2$ 계수: $c - 1 = 2 \Rightarrow c = 3$
[2] $x$ 계수: $5 - c = a \Rightarrow a = 5 - 3 = 2$
[3] 상수항: $b = -5$
$\therefore a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0$

📖 풀이:
$(2+i)(3-i)=6-2i+3i-i^2=6+i+1=7+i$. 따라서 $(7+i)-(1-2i)=7-1+(1+2)i=6+3i$. $a=6, b=3$이므로 $a+b=9$.

📖 풀이:
$f(1)=2(1)-1=1$, $f(2)=2(2)-1=3$, $f(3)=2(3)-1=5$. 치역은 $\{1,3,5\}$이고, 원소의 합은 $1+3+5=9$.

📖 풀이:
출발 도시는 5가지 중 1가지를 선택하므로 5가지. 도착 도시는 출발 도시를 제외한 4가지 중 1가지를 선택하므로 4가지. 곱의 법칙에 의해 $5\times 4=20$. 이는 $_5P_2$와 같습니다.

📖 풀이:
$f(x)=-(x-2)^2+5$이므로 꼭짓점은 $(2,5)$. $0\le x\le 3$에 $x=2$가 포함되므로 최댓값은 $f(2)=5$. 양 끝점 $f(0)=1$, $f(3)=-9+12+1=4$. 최솟값은 $f(0)=1$. 따라서 $M+m=5+1=6$.

📖 풀이:
$|2x-1|<5$는 $-5<2x-1<5$와 동치. 각 변에 1을 더하면 $-4<2x<6$, 2로 나누면 $-2<x<3$. 이 범위의 정수는 $-1,0,1,2$로 4개.

📖 풀이:
내분점 공식 $P=\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$에서 $m=2,n=1$. $x_P=\frac{2\cdot 5+1\cdot(-1)}{3}=\frac{9}{3}=3$, $y_P=\frac{2\cdot(-4)+1\cdot 2}{3}=\frac{-6}{3}=-2$. 따라서 $P(3,-2)$.

📖 풀이:
$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$이므로 $(A\cup B)^c=\{7,8\}$. $A\cap B=\{3,4\}$. 따라서 $(A\cup B)^c \cup (A\cap B)=\{3,4,7,8\}$. 원소의 합은 $3+4+7+8=22$.

📖 풀이:
$x$축과 만나려면 $y=0$이어야 한다. $-\sqrt{x-1}+3=0$에서 $\sqrt{x-1}=3$. 양변을 제곱하면 $x-1=9$이므로 $x=10$. 정의역 $x\ge 1$ 조건도 만족.

📖 풀이:
$f(x)=(x-1)^2+k-1$이므로 최솟값은 $k-1=5$에서 $k=6$. 따라서 $f(x)=x^2-2x+6$. 부등식 $x^2-2x+6\le 9$는 $x^2-2x-3\le 0$, 즉 $(x+1)(x-3)\le 0$. 해는 $-1\le x\le 3$.