📝 고1 수학 일반

📖 풀이:
일반형 $x^2+y^2+Ax+By+C=0$을 표준형으로 바꾸기 위해 완전제곱식을 만든다. $x^2-6x=(x-3)^2-9$, $y^2+4y=(y+2)^2-4$. 따라서 $(x-3)^2+(y+2)^2=9+4+3=16$. 중심 $(3,-2)$, 반지름 $4$. 그러므로 $a+b+r=3+(-2)+4=5$.

📖 풀이:
먼저 $A\cup B=\{1,2,3,5,7,9\}$이므로 $n(A\cup B)=6$. 전체집합의 원소 개수는 $n(U)=10$. 여집합의 원소 개수 공식 $n(A^c)=n(U)-n(A)$를 적용하면 $n((A\cup B)^c)=10-6=4$. 직접 구해도 $(A\cup B)^c=\{4,6,8,10\}$.

📖 풀이:
$f(x)=t$로 치환하면 $f(t)=3$이다. 먼저 $f(t)=3$을 푼다. $t^2-2t+3=3 \Rightarrow t^2-2t=0 \Rightarrow t(t-2)=0$. 그러므로 $t=0$ 또는 $t=2$. (i) $f(x)=0$인 경우: $x^2-2x+3=0$. 판별식 $D=4-12=-8<0$이므로 실근이 없다. (ii) $f(x)=2$인 경우: $x^2-2x+3=2 \Rightarrow x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0$. 따라서 $x=1$(중근). 모든 실수 $x$의 합은 $1$.

📖 풀이:
세 자리 자연수가 짝수이려면 일의 자리 숫자가 짝수여야 한다. $1$~$9$ 중 짝수는 $2,\,4,\,6,\,8$로 $4$가지. 일의 자리를 정한 뒤, 백의 자리와 십의 자리는 남은 $8$개의 숫자에서 서로 다른 $2$개를 뽑아 순서대로 배열한다(자릿수 위치가 구분되므로 순열). $_8\mathrm{P}_2=8\times 7=56$. 따라서 총 개수는 $4\times 56=224$.

📖 풀이:
$y=\sqrt{x-1}+2$에서 $x$에 대해 푼다. $y-2=\sqrt{x-1}$. 양변을 제곱하면 $(y-2)^2=x-1$이므로 $x=(y-2)^2+1$. 단, 원함수의 치역은 $y\ge 2$이므로 역함수의 정의역은 $x\ge 2$. $x$와 $y$를 바꿔 쓰면 $f^{-1}(x)=(x-2)^2+1$ ($x\ge 2$). 따라서 $a=2$, $b=1$이므로 $a+b=3$.

📖 풀이:
$i$의 거듭제곱은 4주기를 갖는다. $i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1$
• $i^{50}=i^{4\cdot12+2}=i^2=-1$
• $i^{100}=i^{4\cdot25}=1$
• $i^{150}=i^{4\cdot37+2}=i^2=-1$
따라서 $i^{50}+i^{100}+i^{150}=-1+1-1=-1$

📖 풀이:
$f(3)$의 값을 구하려면 $x+1=3$이 되도록 $x$를 정해야 한다.
$x+1=3 \Rightarrow x=2$
주어진 식에 $x=2$를 대입하면
$f(3)=2\cdot2-1=3$

📖 풀이:
$z=2-3i$이므로 $\bar{z}=2+3i$이다.
• $z+\bar{z}=(2-3i)+(2+3i)=4$
• $z\bar{z}=(2-3i)(2+3i)=2^2-(3i)^2=4-(-9)=13$
따라서 $z+\bar{z}+z\bar{z}=4+13=17$

📖 풀이:
$f(x)=-x^2+4x+1=-(x-2)^2+5$로 표준형 변환.
포물선이 위로 볼록하고 꼭짓점은 $(2,5)$이다. $x=2$는 정의역 $[0,4]$ 내부에 있다.
• 꼭짓점에서 최댓값: $f(2)=5$
• 경계값 비교: $f(0)=1,\ f(4)=-16+16+1=1$
따라서 최솟값은 $1$.
최댓값$+$최솟값$=5+1=6$

📖 풀이:
합성함수의 정의에 따라 차례로 계산한다.
• $(g\circ f)(2)=g(f(2))=g(2\cdot2+1)=g(5)=5-3=2$
• $(f\circ g)(2)=f(g(2))=f(2-3)=f(-1)=2\cdot(-1)+1=-1$
따라서 $(g\circ f)(2)-(f\circ g)(2)=2-(-1)=3$

📖 풀이:
직선 $AB$의 기울기 $m_1=\dfrac{8-2}{5-1}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$
수직 조건: $m_1\cdot m_2=-1$이므로 $m_2=-\dfrac{2}{3}$
점 $(3,4)$를 지나고 기울기 $-\dfrac{2}{3}$인 직선:
$y-4=-\dfrac{2}{3}(x-3)$
$y=-\dfrac{2}{3}x+2+4=-\dfrac{2}{3}x+6$

📖 풀이:
삼차방정식 $x^3+px^2+qx+r=0$의 근과 계수의 관계에 의해
• $\alpha+\beta+\gamma=6$
• $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=11$
• $\alpha\beta\gamma=6$
역수의 합을 통분하면
$\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}=\dfrac{\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}=\dfrac{11}{6}$

📖 풀이:
(i) $k=0$일 때: $-2x+2>0 \Rightarrow x<1$. 모든 실수에서 성립하지 않으므로 부적합.
(ii) $k\ne 0$일 때: 모든 실수 $x$에서 부등식이 성립하려면 이차항 계수가 양수이고 판별식이 음수여야 한다.
• 조건 1: $k>0$
• 조건 2: $D/4=(k-1)^2-k(k+2)<0$
$\quad k^2-2k+1-k^2-2k<0$
$\quad -4k+1<0 \Rightarrow k>\dfrac{1}{4}$
두 조건의 공통 범위는 $k>\dfrac{1}{4}$

📖 풀이:
$y=\sqrt{x+3}-1$로 놓고 $x$에 대해 푼다.
$y+1=\sqrt{x+3}$ (단, 좌변이 $0$ 이상이려면 $y\ge -1$)
양변 제곱: $(y+1)^2=x+3$
$x=(y+1)^2-3$
$x$와 $y$를 바꾸면 $f^{-1}(x)=(x+1)^2-3$
원함수 $f$의 치역이 $\{y\,|\,y\ge -1\}$이므로 역함수의 정의역은 $x\ge -1$

📖 풀이:
원의 중심 $O(0,0)$에서 직선 $3x+4y-30=0$까지의 거리:
$d=\dfrac{|3\cdot0+4\cdot0-30|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{30}{5}=6$
반지름 $r=5$이고 $d=6>r=5$이므로 원과 직선은 만나지 않는다.
원 위의 점에서 직선까지 거리는
• 최댓값: $d+r=6+5=11$
• 최솟값: $d-r=6-5=1$
따라서 합은 $11+1=12$

📖 풀이:
단어 'PARALLEL'에는 다음 문자가 있다.
• A: 2개
• L: 3개
• P, R, E: 각 1개
총 8개의 문자 중 같은 것이 있는 순열의 수는
$\dfrac{8!}{2!\cdot 3!}=\dfrac{40320}{2\cdot 6}=\dfrac{40320}{12}=3360$

📖 풀이:
이차방정식 $x^2-2x+a=0$의 두 실근을 $\alpha,\beta$ ($\alpha<\beta$)라 하자.
근과 계수의 관계: $\alpha+\beta=2,\ \alpha\beta=a$
두 교점 사이의 거리는 $|\beta-\alpha|=4$이므로
$(\beta-\alpha)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=4-4a=16$
$-4a=12 \Rightarrow a=-3$
검증: $a=-3$일 때 판별식 $D=4-4(-3)=16>0$이므로 서로 다른 두 실근 존재. ✓

📖 풀이:
합성함수의 정의에 의해 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$이다. $f(x) = 3x+1$이므로 $g$의 입력 자리에 $3x+1$을 대입한다. 따라서 $g(3x+1) = (3x+1) - 2 = 3x - 1$이다.

📖 풀이:
합집합의 원소 개수 공식 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$를 이용한다. 값을 대입하면 $n(A \cup B) = 12 + 8 - 3 = 17$이다. 공통원소를 두 번 더했으므로 한 번 빼주는 것이 핵심이다.

📖 풀이:
$|2x-3| = 5$이므로 $2x - 3 = 5$ 또는 $2x - 3 = -5$로 두 경우로 나누어 푼다. 첫째 경우: $2x = 8$, $x = 4$. 둘째 경우: $2x = -2$, $x = -1$. 따라서 두 근의 합은 $4 + (-1) = 3$이다.

📖 풀이:
원명제 '$x = 2 \Rightarrow x^2 = 4$'는 참이다. 역: '$x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$'는 거짓이다 ($x = -2$일 때 $x^2 = 4$이지만 $x \neq 2$). 이: '$x \neq 2 \Rightarrow x^2 \neq 4$'는 거짓이다 ($x = -2$이면 $x \neq 2$이지만 $x^2 = 4$). 대우: '$x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq 2$'는 참이다 (원명제와 진리값이 같음).

📖 풀이:
첫째 부등식을 푼다. $x^2 - 3x - 4 < 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) < 0 \Rightarrow -1 < x < 4$. 둘째 부등식을 푼다. $x^2 - 1 > 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) > 0 \Rightarrow x < -1$ 또는 $x > 1$. 두 해의 공통 범위는 $1 < x < 4$이다. 이 범위 안의 정수는 $x = 2, 3$이므로 총 2개이다.

📖 풀이:
$y = \frac{1}{2}x + 3$으로 놓고 $x$에 대하여 푼다. $\frac{1}{2}x = y - 3 \Rightarrow x = 2(y - 3) = 2y - 6$. 이제 $x$와 $y$를 서로 바꾸어 쓰면 $y = 2x - 6$이다. 따라서 $f^{-1}(x) = 2x - 6$.

📖 풀이:
집합 $A$를 구한다. $x^2 - 8x + 7 \leq 0 \Rightarrow (x-1)(x-7) \leq 0 \Rightarrow 1 \leq x \leq 7$. 집합 $B$를 구한다. $(x-a)^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq x - a \leq 2 \Rightarrow a - 2 \leq x \leq a + 2$. $B \subset A$이려면 구간 $[a-2, a+2]$가 구간 $[1, 7]$에 포함되어야 한다. 따라서 양 끝 조건 $a - 2 \geq 1$이고 $a + 2 \leq 7$, 즉 $a \geq 3$이고 $a \leq 5$이므로 $3 \leq a \leq 5$이다.

📖 풀이:
1단계: $f(x) = ax + b$이므로 $(f \circ f)(x) = f(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2 x + ab + b$. 2단계: 항등식 $a^2 x + (ab + b) = 9x + 4$에서 계수 비교. 3단계: $a^2 = 9$이고 $a > 0$이므로 $a = 3$. 4단계: $ab + b = b(a+1) = 4b = 4$이므로 $b = 1$. 5단계: 따라서 $a + b = 3 + 1 = 4$.