📝 고1 수학 일반

📖 풀이:
$x^2+x+1=0$의 양변에 $x-1$을 곱하면 $x^3-1=0$이므로 $\omega^3=1$. 따라서 $\omega^{10}=\omega^{3 \cdot 3+1}=\omega^1=\omega$, $\omega^{20}=\omega^{3 \cdot 6+2}=\omega^2$. 그러므로 $\omega^{10}+\omega^{20}+1=\omega+\omega^2+1$. $\omega$가 원래 방정식의 근이므로 $\omega^2+\omega+1=0$. 따라서 값은 $0$.

📖 풀이:
$t=x^2$으로 치환하면 $t^2-5t+4=0$, 즉 $(t-1)(t-4)=0$이므로 $t=1$ 또는 $t=4$. 다시 대입하면 $x^2=1$에서 $x=\pm 1$, $x^2=4$에서 $x=\pm 2$. 네 실근은 $-2, -1, 1, 2$이고 그 곱은 $(-2) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 2=4$.

📖 풀이:
첫째 부등식: $(x-4)(x+1) \leq 0$이므로 $-1 \leq x \leq 4$. 둘째 부등식: $(x-2)(x-3)>0$이므로 $x<2$ 또는 $x>3$. 두 해의 공통부분은 $-1 \leq x<2$ 또는 $3<x \leq 4$. 첫 구간의 정수: $-1, 0, 1$ (3개). 둘째 구간의 정수: $4$ (1개). 합쳐서 $4$개.

📖 풀이:
나머지정리에 의해, 다항식 $f(x)$를 $x - a$로 나눈 나머지는 $f(a)$이다.
따라서 $x - 3$으로 나눈 나머지는 $f(3)$이다.
$f(3) = 3^3 - 4 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 + 2$
$= 27 - 36 + 15 + 2 = 8$
그러므로 나머지는 $8$이다.

📖 풀이:
유리함수 $y = \dfrac{k}{x - p} + q$ ($k \ne 0$)의 그래프는 $y = \dfrac{k}{x}$의 그래프를 $x$축 방향으로 $p$만큼, $y$축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것이다.
주어진 함수는 $p = 3$, $q = 1$이므로 두 점근선은 $x = 3$, $y = 1$이다.

📖 풀이:
$A^c$는 $U$에서 $A$에 속하지 않는 원소의 집합이다.
$A^c = \{6, 7, 8, 9, 10\}$
$A^c \cap B = \{6, 7, 8, 9, 10\} \cap \{2, 4, 6, 8, 10\} = \{6, 8, 10\}$
따라서 $n(A^c \cap B) = 3$

📖 풀이:
무리함수에서 근호 안의 식은 $0$ 이상이어야 한다.
$6 - 3x \geq 0$
$-3x \geq -6$
양변을 $-3$으로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다.
$x \leq 2$
따라서 정의역은 $\{x \mid x \leq 2\}$이다.

📖 풀이:
$5$개의 자리 중에서 모음 O, E, A가 들어갈 자리 $3$개를 먼저 고른다.
$_5C_3 = 10$(가지)
선택된 세 자리에는 O, E, A가 이 순서대로 들어가므로 한 가지로 정해진다.
나머지 두 자리에 자음 K, R을 배열하는 방법은
$2! = 2$(가지)
따라서 전체 경우의 수는
$10 \times 1 \times 2 = 20$(가지)

📖 풀이:
$y = \dfrac{x - 2}{x + 1}$로 놓고 $x$에 대하여 푼다.
양변에 $x + 1$을 곱하면
$y(x + 1) = x - 2$
$yx + y = x - 2$
$x$항을 한쪽으로 모으면
$yx - x = -2 - y$
$x(y - 1) = -(y + 2)$
$x = \dfrac{-(y + 2)}{y - 1} = \dfrac{y + 2}{1 - y}$
$x$와 $y$를 바꾸면 $f^{-1}(x) = \dfrac{x + 2}{1 - x}$

📖 풀이:
$f(x)$를 이차식 $(x - 2)(x + 1)$로 나눈 나머지는 일차 이하의 식이므로
$f(x) = (x - 2)(x + 1) Q(x) + ax + b$
로 놓을 수 있다.
나머지정리에 의해
$f(2) = 2a + b = 5$ \cdots ㉠
$f(-1) = -a + b = -4$ \cdots ㉡
㉠에서 ㉡을 빼면 $3a = 9$, $a = 3$
㉡에 대입하면 $b = -4 + 3 = -1$
따라서 나머지는 $3x - 1$이다.

📖 풀이:
주어진 방정식을 표준형으로 고친다.
$x^2 - 4x + y^2 + 6y + 9 = 0$
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 4$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$
따라서 중심은 $(2, -3)$, 반지름은 $2$인 원이다.
중심 $(2, -3)$을 원점 $(0, 0)$으로 옮기려면 $x$축 방향으로 $-2$, $y$축 방향으로 $+3$만큼 평행이동하면 된다.

📖 풀이:
두 학생 A, B를 한 묶음으로 보면 $5$개의 묶음을 원탁에 배열하는 원순열이 된다.
원순열의 수는
$(5 - 1)! = 4! = 24$(가지)
묶음 안에서 A, B의 자리를 바꾸는 경우의 수는
$2! = 2$(가지)
따라서 구하는 경우의 수는
$24 \times 2 = 48$(가지)

📖 풀이:
분자를 분모로 나누어 표준형으로 변형한다.
$y = \dfrac{ax + 1}{x + b} = \dfrac{a(x + b) + 1 - ab}{x + b} = a + \dfrac{1 - ab}{x + b}$
점근선은 $x = -b$, $y = a$이다.
조건에서 $-b = -2$이므로 $b = 2$
$y = 3$이므로 $a = 3$
따라서 $a + b = 3 + 2 = 5$

📖 풀이:
절댓값 안의 식이 $0$이 되는 $x = 1$, $x = -2$를 기준으로 구간을 나눈다.
(i) $x < -2$일 때: $-(x - 1) - (x + 2) \leq 5$
$-2x - 1 \leq 5$, $x \geq -3$
조건과 합치면 $-3 \leq x < -2$
(ii) $-2 \leq x < 1$일 때: $-(x - 1) + (x + 2) \leq 5$
$3 \leq 5$ (항상 성립)
조건 그대로 $-2 \leq x < 1$
(iii) $x \geq 1$일 때: $(x - 1) + (x + 2) \leq 5$
$2x + 1 \leq 5$, $x \leq 2$
조건과 합치면 $1 \leq x \leq 2$
(i), (ii), (iii)의 합집합은 $-3 \leq x \leq 2$이다.

📖 풀이:
$P(x + 1) - P(x)$가 일차식이므로 $P(x)$는 이차식이다.
$P(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$)로 놓으면
$P(x + 1) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c$
$= ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)$
따라서
$P(x + 1) - P(x) = 2ax + (a + b)$
이것이 $2x + 3$과 항등식으로 같아야 하므로
$2a = 2$에서 $a = 1$
$a + b = 3$에서 $b = 2$
또 $P(0) = c = 1$이므로
$P(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
따라서 $P(5) = (5 + 1)^2 = 36$

📖 풀이:
$(x-1)(x+2)$로 나눈 나머지는 일차 이하이므로 $R(x)=ax+b$로 놓는다. 나머지정리에 의해 $P(1)=R(1)=a+b=3$, $P(-2)=R(-2)=-2a+b=-3$이다. 두 식을 빼면 $3a=6$이므로 $a=2$, $b=1$이다. 따라서 $R(x)=2x+1$이고 $R(0)=1$이다.

📖 풀이:
분모의 켤레복소수 $1+i$를 분모와 분자에 곱하여 분모를 실수화한다. $z=\dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{3+3i+i+i^2}{1-i^2}=\dfrac{2+4i}{2}=1+2i$. 실수부는 $1$, 허수부는 $2$이므로 합은 $1+2=3$이다.

📖 풀이:
여집합은 전체집합의 원소 중 $A$에 속하지 않는 원소들의 집합이므로 $A^c=U-A=\{2,4,6,8\}$이다. 따라서 모든 원소의 합은 $2+4+6+8=20$이다.

📖 풀이:
$\text{MATHEMATICS}$에는 $\text{M}$이 $2$개, $\text{A}$가 $2$개, $\text{T}$가 $2$개, 그리고 $\text{H, E, I, C, S}$가 각 $1$개씩 들어 있다. 같은 것이 있는 순열의 공식에 의해 경우의 수는 $\dfrac{11!}{2!\cdot 2!\cdot 2!}=\dfrac{39916800}{8}=4989600$이다.

📖 풀이:
조립제법으로 계수 $1, -2, -5, 6$을 $3$으로 나눈다. $1$을 내리고, $1\times 3=3$을 더해 $-2+3=1$. $1\times 3=3$을 더해 $-5+3=-2$. $-2\times 3=-6$을 더해 $6+(-6)=0$. 따라서 몫 $Q(x)=x^2+x-2$, 나머지 $R=0$이다. $Q(2)=4+2-2=4$이므로 $Q(2)+R=4+0=4$이다.

📖 풀이:
절댓값 안의 식의 부호가 바뀌는 $x=-1$과 $x=2$를 기준으로 구간을 나눈다.
(i) $x\geq 2$일 때: $(x-2)+(x+1)=2x-1=7$이므로 $x=4$ (적합).
(ii) $-1\leq x<2$일 때: $-(x-2)+(x+1)=3$이고 $3\neq 7$이므로 해가 없다.
(iii) $x<-1$일 때: $-(x-2)-(x+1)=-2x+1=7$이므로 $x=-3$ (적합).
따라서 모든 해의 합은 $4+(-3)=1$이다.

📖 풀이:
두 직선이 수직이려면 기울기의 곱이 $-1$이어야 한다. 주어진 직선의 기울기가 $2$이므로 구하는 직선의 기울기는 $-\dfrac{1}{2}$이다. 점 $(1,3)$을 지나므로 점-기울기형으로 $y-3=-\dfrac{1}{2}(x-1)$, 정리하면 $y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{7}{2}$이다. 따라서 $a=-\dfrac{1}{2}$, $b=\dfrac{7}{2}$이고 $a+b=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{2}=3$이다.

📖 풀이:
$g(4)=k$라 하면 $f(k)=4$이다. $\dfrac{3k+1}{k-2}=4$에서 $3k+1=4(k-2)=4k-8$, 정리하면 $k=9$이다.
[다른 풀이] $y=\dfrac{3x+1}{x-2}$를 $x$에 대해 풀면 $y(x-2)=3x+1$, $x(y-3)=2y+1$, $x=\dfrac{2y+1}{y-3}$이다. $x$와 $y$를 바꾸면 $g(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$이고 $g(4)=\dfrac{9}{1}=9$이다.

📖 풀이:
$x^2-4x-5=(x-5)(x+1)\leq 0$이므로 $-1\leq x\leq 5$.
$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)>0$이므로 $x<-1$ 또는 $x>3$.
두 해를 수직선 위에 나타내고 공통부분을 찾으면 $3<x\leq 5$이다. ($x=3$은 둘째 부등식이 등호를 포함하지 않으므로 제외, $x=5$는 첫째 부등식이 등호를 포함하므로 포함.)