📝 고1 수학 일반

📖 풀이:
$f(1) = 0$, $f(-1) = 0$이므로 $f(x)$는 $(x-1)$과 $(x+1)$을 인수로 갖는다. $f(x)$가 삼차이고 최고차항 계수가 $1$이므로 $f(x) = (x-1)(x+1)(x-r) = (x^2 - 1)(x - r)$로 둘 수 있다. $f(2) = (4 - 1)(2 - r) = 3(2 - r) = 6$이므로 $2 - r = 2$, 즉 $r = 0$. 따라서 $f(x) = x(x^2 - 1) = x^3 - x$이고, $f(3) = 27 - 3 = 24$.

📖 풀이:
나머지정리에 의해 다항식 $f(x)$를 $x - 2$로 나눈 나머지는 $f(2)$와 같다. $f(2) = 2 \cdot 2^3 - 2^2 + 4 \cdot 2 - 7 = 16 - 4 + 8 - 7 = 13$이다.

📖 풀이:
$\bar{z} = 3 + 2i$이므로 $z + \bar{z} = 6$이다. 또 $z\bar{z} = (3-2i)(3+2i) = 3^2 - (2i)^2 = 9 + 4 = 13$이다. 따라서 $z\bar{z} - (z + \bar{z}) = 13 - 6 = 7$.

📖 풀이:
$p \Rightarrow q$: $x > 2$이면 양수의 제곱이 커지므로 $x^2 > 4$이다 (참). $q \Rightarrow p$: $x^2 > 4$이면 $x > 2$ 또는 $x < -2$이므로 항상 $x > 2$인 것은 아니다. 예를 들어 $x = -3$은 $x^2 = 9 > 4$를 만족하지만 $x > 2$를 만족하지 않으므로 반례가 된다. 따라서 $p$는 $q$의 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

📖 풀이:
두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 합의 법칙을 쓴다. 합이 $7$인 경우: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$의 $6$가지. 합이 $11$인 경우: $(5,6), (6,5)$의 $2$가지. 따라서 구하는 경우의 수는 $6 + 2 = 8$가지이다.

📖 풀이:
두 원 $C_1$, $C_2$의 중심은 각각 $(0,0)$, $(a,0)$이고 반지름은 $r_1 = 2$, $r_2 = 3$이다. 두 원이 외접할 조건은 두 원의 중심 사이의 거리가 두 반지름의 합과 같은 것이므로 $|a| = r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$이다. $a > 0$이므로 $a = 5$.

📖 풀이:
분자를 분모로 나누어 정리하면 $y = \dfrac{3x+5}{x+1} = \dfrac{3(x+1)+2}{x+1} = 3 + \dfrac{2}{x+1}$이다. 즉, $y = \dfrac{2}{x}$의 그래프를 $x$축 방향으로 $-1$, $y$축 방향으로 $3$만큼 평행이동한 그래프이므로 점근선은 $x = -1$, $y = 3$이다. 따라서 두 점근선의 교점은 $(-1, 3)$이다.

📖 풀이:
$f(x) = x^2 - 4x + 7 = (x-2)^2 + 3$이고 꼭짓점의 $x$좌표 $x = 2$가 정의역 $[0, 3]$에 속한다. 따라서 최솟값은 $f(2) = 3$, 즉 $m = 3$. 양 끝값을 비교하면 $f(0) = 7$, $f(3) = 4$이므로 최댓값은 $f(0) = 7$, 즉 $M = 7$. 따라서 $M + m = 7 + 3 = 10$.

📖 풀이:
분자와 분모에 $1+i$를 곱해 분모를 실수화하면 $z = \dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \dfrac{2i}{2} = i$이다. 따라서 $z^{50} = i^{50} = (i^2)^{25} = (-1)^{25} = -1$.

📖 풀이:
절댓값 안의 식의 부호가 바뀌는 $x = \dfrac{1}{2}$, $x = -2$를 기준으로 구간을 나눈다. (i) $x \geq \dfrac{1}{2}$: $(2x-1) + (x+2) = 6$, 즉 $3x + 1 = 6$, $x = \dfrac{5}{3}$ (조건 만족). (ii) $-2 \leq x < \dfrac{1}{2}$: $-(2x-1) + (x+2) = 6$, 즉 $-x + 3 = 6$, $x = -3$ (구간 조건 불만족, 버림). (iii) $x < -2$: $-(2x-1) - (x+2) = 6$, 즉 $-3x - 1 = 6$, $x = -\dfrac{7}{3}$ (조건 만족). 모든 실근의 합은 $\dfrac{5}{3} + \left(-\dfrac{7}{3}\right) = -\dfrac{2}{3}$이다.

📖 풀이:
$(x-1)(x+2)$는 이차식이므로 나머지는 일차 이하의 다항식 $R(x) = ax + b$로 둘 수 있다. 즉, $f(x) = (x-1)(x+2) Q(x) + ax + b$이다. 나머지정리에 의해 $f(1) = a + b = 3$, $f(-2) = -2a + b = -3$. 두 식을 빼면 $3a = 6$, $a = 2$. 첫 식에 대입하면 $b = 1$. 따라서 나머지는 $2x + 1$이다.

📖 풀이:
$P(x, y)$로 두면 $\overline{PA} = 2\overline{PB}$, 즉 $\overline{PA}^2 = 4\overline{PB}^2$이다. $x^2 + (y-3)^2 = 4\{x^2 + (y+3)^2\}$를 전개하면 $x^2 + y^2 - 6y + 9 = 4x^2 + 4y^2 + 24y + 36$. 정리하면 $3x^2 + 3y^2 + 30y + 27 = 0$, 양변을 $3$으로 나누면 $x^2 + y^2 + 10y + 9 = 0$. 완전제곱하면 $x^2 + (y+5)^2 = 16$이다. 따라서 자취는 중심 $(0, -5)$, 반지름 $4$인 원이다.

📖 풀이:
$(f \circ g)(x) = f(ax+b) = 2(ax+b) + 3 = 2ax + 2b + 3$이고, $(g \circ f)(x) = g(2x+3) = a(2x+3) + b = 2ax + 3a + b$이다. 모든 $x$에서 두 식이 같으려면 상수항이 같아야 하므로 $2b + 3 = 3a + b$, 즉 $b = 3a - 3$. 또 $g(2) = 2a + b = 7$이므로 두 식을 연립하면 $2a + (3a - 3) = 7$, $5a = 10$, 따라서 $a = 2$, $b = 3$. 그러므로 $a + b = 5$.

📖 풀이:
$t = x^2 - x$로 치환하면 $t^2 - 8t + 12 = 0$, $(t - 2)(t - 6) = 0$이므로 $t = 2$ 또는 $t = 6$이다. (i) $x^2 - x = 2$: $x^2 - x - 2 = 0$, $(x-2)(x+1) = 0$이므로 $x = 2$ 또는 $x = -1$. (ii) $x^2 - x = 6$: $x^2 - x - 6 = 0$, $(x-3)(x+2) = 0$이므로 $x = 3$ 또는 $x = -2$. 모든 실근은 $2, -1, 3, -2$이고 그 합은 $2 + (-1) + 3 + (-2) = 2$이다.

📖 풀이:
두 그래프의 교점의 $x$좌표는 $x^2 - 2x - 3 = x + k$, 즉 $x^2 - 3x - (3+k) = 0$의 실근이다. 서로 다른 두 점에서 만나려면 이 이차방정식의 판별식이 양수여야 한다. $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \{-(3+k)\} = 9 + 4(3+k) = 21 + 4k > 0$, 즉 $k > -\dfrac{21}{4} = -5.25$이다. 따라서 정수 $k$의 최솟값은 $-5$이다.

📖 풀이:
통분하면 $\dfrac{(1+i)^2+(1-i)^2}{(1-i)(1+i)}$. 분모: $1-i^2=1-(-1)=2$. 분자: $(1+2i+i^2)+(1-2i+i^2)=2i+(-2i)=0$. 따라서 값은 $\dfrac{0}{2}=0$.

📖 풀이:
여집합 $A^c=U-A=\{6,7,8\}$. $A^c \cap B$는 두 집합 모두에 속하는 원소: $\{6,8\}$. 원소의 합은 $6+8=14$.

📖 풀이:
먼저 회장을 뽑는 경우의 수는 $6$가지. 회장이 정해진 후 남은 $5$명 중에서 부회장을 뽑는 경우의 수는 $5$가지. 곱의 법칙에 의하여 $6 \times 5=30$. 이는 순열 $_6P_2=30$과 같다.

📖 풀이:
안에서부터 차례로 계산한다. $f(1)=3 \cdot 1+2=5$. $f(f(1))=f(5)=3 \cdot 5+2=17$. $(f \circ f \circ f)(1)=f(f(f(1)))=f(17)=3 \cdot 17+2=53$.

📖 풀이:
근과 계수의 관계에서 $\alpha+\beta=4$, $\alpha\beta=7$. 곱셈공식 $\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$를 이용하면 $4^3-3 \cdot 7 \cdot 4=64-84=-20$.

📖 풀이:
$|A|<k$ ($k>0$)는 $-k<A<k$와 동치이다. 따라서 $|2x-3|<5$는 $-5<2x-3<5$. 각 변에 $3$을 더하면 $-2<2x<8$, 양변을 $2$로 나누면 $-1<x<4$.

📖 풀이:
도형 $f(x,y)=0$을 $x$축 방향 $a$, $y$축 방향 $b$만큼 평행이동하면 $f(x-a,y-b)=0$이 된다. $a=2$, $b=-3$이므로 $x \to x-2$, $y \to y-(-3)=y+3$을 대입. 따라서 $(x-2)^2+(y+3)^2=10$. 새 원의 중심은 $(2,-3)$, 반지름은 그대로 $\sqrt{10}$이다.

📖 풀이:
$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$로 인수분해된다. 부등식 $(x-2)(x-3) \geq 0$의 해는 두 근 $2, 3$의 '바깥' 영역이므로 $x \leq 2$ 또는 $x \geq 3$. 등호가 포함되어 있으므로 경계값 $x=2, 3$도 해에 포함된다.

📖 풀이:
명제 '$p \to q$'의 대우는 '$\sim q \to \sim p$'이다. 결론 $q$인 '$x=0$ 또는 $y=0$'의 부정은 '$x \neq 0$이고 $y \neq 0$' (또는 → 그리고). 가정 $p$인 '$xy=0$'의 부정은 '$xy \neq 0$'. 따라서 대우는 '$x \neq 0$이고 $y \neq 0$이면 $xy \neq 0$이다'.

📖 풀이:
$f^{-1}(3)=k$라 하면 $f(k)=3$이다. 즉 $\dfrac{2k+1}{k-1}=3$. 양변에 $k-1$을 곱하면 $2k+1=3(k-1)=3k-3$. 정리하면 $k=4$. 검산: $f(4)=\dfrac{2 \cdot 4+1}{4-1}=\dfrac{9}{3}=3$. ✓