📝 고1 수학 일반

📖 풀이:
$f(x)$를 이차식 $(x-2)(x+1)$로 나눈 나머지는 일차 이하이므로 $ax+b$로 놓을 수 있다. 즉 $f(x) = (x-2)(x+1)Q(x) + ax + b$이다. $f(2) = 5$에서 $2a + b = 5$, $f(-1) = -4$에서 $-a + b = -4$이다. 두 식을 변끼리 빼면 $3a = 9$, 즉 $a = 3$이고 $b = -1$이다. 따라서 나머지는 $3x - 1$이다.

📖 풀이:
서로 다른 $5$장에서 $3$장을 뽑아 일렬로 나열하는 순열의 수와 같다. 백의 자리에 올 수 있는 경우는 $5$가지, 십의 자리는 $4$가지, 일의 자리는 $3$가지이므로 $_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$이다.

📖 풀이:
$g(7) = a$라 하면 역함수의 정의에 의해 $f(a) = 7$이다. 즉 $3a - 5 = 7$이므로 $3a = 12$, $a = 4$이다. 따라서 $g(7) = 4$이다.

📖 풀이:
$x - 2 = \sqrt{3}$의 양변을 제곱하면 $(x - 2)^2 = 3$이므로 $x^2 - 4x + 4 = 3$, 즉 $x^2 - 4x = -1$이다. 따라서 $x^2 - 4x + 5 = -1 + 5 = 4$이다.

📖 풀이:
이차방정식 $x^2 - 5x + 4 = 0$을 인수분해하면 $(x - 1)(x - 4) = 0$이므로 $x = 1$ 또는 $x = 4$이다. 그래프는 아래로 볼록한 포물선이고 $y \leq 0$인 부분은 두 x절편 사이의 영역이다. 따라서 부등식의 해는 $1 \leq x \leq 4$이다.

📖 풀이:
조립제법을 이용해 $f(x)$를 $x - 3$으로 나누면 몫이 $x^2 + x - 2$, 나머지가 $0$이다. 몫 $x^2 + x - 2$를 다시 인수분해하면 $(x - 1)(x + 2)$이다. 따라서 $f(x) = (x - 3)(x - 1)(x + 2)$이다.

📖 풀이:
$\sqrt{x - 2} + 1 = x - 1$에서 $\sqrt{x - 2} = x - 2$이다. 양변을 제곱하면 $x - 2 = (x - 2)^2$이므로 $(x - 2)\{(x - 2) - 1\} = 0$, 즉 $x = 2$ 또는 $x = 3$이다. 두 값 모두 정의역 $x \geq 2$를 만족하고 우변 $x - 2 \geq 0$도 성립하므로 교점의 좌표는 $(2, 1)$과 $(3, 2)$이다.

📖 풀이:
$7$개 문자 중 $S$가 $3$개, $C$가 $2$개, $U$와 $E$는 각각 $1$개씩이다. 같은 것이 있는 순열의 수는 $\dfrac{7!}{3! \times 2!} = \dfrac{5040}{12} = 420$이다.

📖 풀이:
원 $x^2 + y^2 = r^2$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $x_1 x + y_1 y = r^2$이다. 따라서 $(1, 2)$에서의 접선은 $1 \cdot x + 2 \cdot y = 5$, 즉 $x + 2y = 5$이다. 접점 $(1, 2)$를 대입하면 $1 + 4 = 5$로 식을 만족하므로 검산도 일치한다.

📖 풀이:
$y^2 = 1 - x^2 \geq 0$이므로 $-1 \leq x \leq 1$이다. $f(x) = x + y^2 = x + (1 - x^2) = -x^2 + x + 1$로 놓으면 $f(x) = -\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{5}{4}$이다. $x = \dfrac{1}{2}$는 정의역 $-1 \leq x \leq 1$에 속하므로 이때 최댓값 $\dfrac{5}{4}$를 갖는다.

📖 풀이:
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = a(x^2 + 1) + b = ax^2 + (a + b)$이다. 이 식이 $2x^2 + 5$와 항등식이려면 $x^2$의 계수와 상수항이 각각 같아야 하므로 $a = 2$, $a + b = 5$이다. 따라서 $b = 3$이고 $a + b = 5$이다.

📖 풀이:
$6$명을 원형으로 배열하는 전체 경우의 수는 $(6 - 1)! = 5! = 120$이다. $A, B$가 이웃하는 경우는 두 사람을 한 묶음으로 보면 $5$개를 원형으로 배열하는 경우의 수가 $(5 - 1)! = 4! = 24$이고, 묶음 안에서 $A, B$가 자리를 바꾸는 경우가 $2$가지이므로 $24 \times 2 = 48$이다. 따라서 이웃하지 않는 경우의 수는 $120 - 48 = 72$이다.

📖 풀이:
두 점 $A, B$의 x좌표를 $\alpha, \beta$라 하면 이차방정식 $x^2 - 4x + k = 0$의 두 근이다. 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = 4$, $\alpha\beta = k$이다. $\overline{AB} = |\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{16 - 4k}$이므로 $\sqrt{16 - 4k} = 2\sqrt{2}$이다. 양변을 제곱하면 $16 - 4k = 8$이므로 $k = 2$이다. 이때 판별식 $D = 16 - 4k = 8 > 0$이므로 서로 다른 두 실근 조건도 만족한다.

📖 풀이:
먼저 $2A = 4x^2 - 6x + 2$를 구한다. 그러면 $2A - B = (4x^2 - 6x + 2) - (-x^2 + 4x + 2) = 4x^2 - 6x + 2 + x^2 - 4x - 2 = 5x^2 - 10x$. 동류항끼리 정리하면 답은 ②.

📖 풀이:
$i^1, i^2, i^3, i^4 = i, -1, -i, 1$이고 그 합은 $0$이다. 거듭제곱은 4를 주기로 반복되므로 $i + i^2 + \cdots + i^8 = 0$. 남는 것은 $i^9 + i^{10}$이고 $i^9 = i^{4 \cdot 2 + 1} = i$, $i^{10} = i^{4 \cdot 2 + 2} = i^2 = -1$이다. 따라서 합은 $i + (-1) = -1 + i$.

📖 풀이:
함수가 실수 전체에서 정의되려면 모든 실수 $x$에 대하여 함숫값이 하나로 정해져야 한다. ①, ②, ④는 임의의 실수 $x$에 대해 함숫값이 정의된다. 그러나 ③ $f(x) = \dfrac{1}{x}$는 $x = 0$에서 분모가 0이 되어 정의되지 않으므로 실수 전체의 집합에서 정의된 함수가 아니다.

📖 풀이:
조립제법을 이용한다. 계수 $1, -4, 5, -2$를 나열하고 나누는 수 $1$을 적용한다. 첫 항 $1$을 그대로 내리고 $1 \times 1 = 1$, $-4 + 1 = -3$. 다시 $-3 \times 1 = -3$, $5 + (-3) = 2$. $2 \times 1 = 2$, $-2 + 2 = 0$(나머지). 따라서 몫의 계수는 $1, -3, 2$이고 몫은 $x^2 - 3x + 2$.

📖 풀이:
부등식 $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$은 그래프에서 $y \geq 0$인 $x$의 범위를 묻는 것과 같다. 양변에 $-1$을 곱하면 부등호 방향이 바뀌어 $x^2 - 4x + 3 \leq 0$, 즉 $(x-1)(x-3) \leq 0$이므로 $1 \leq x \leq 3$. 그래프에서 곡선이 x축 위 또는 x축에 있는 구간이다.

📖 풀이:
$\bar{z} = 1 - 2i$이다. 켤레복소수의 곱은 실수가 되어 $z\bar{z} = (1+2i)(1-2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - (-4) = 5$. 또 $z + \bar{z} = (1+2i) + (1-2i) = 2$. 따라서 $z\bar{z} + (z + \bar{z}) = 5 + 2 = 7$.

📖 풀이:
두 식에서 $y$를 소거하면 $x + 1 = x^2 - 1$, 정리하면 $x^2 - x - 2 = 0$. 인수분해 $(x-2)(x+1) = 0$이므로 $x = 2$ 또는 $x = -1$이다. 따라서 $x_1 + x_2 = 2 + (-1) = 1$. (근과 계수의 관계로 두 근의 합은 $-\dfrac{-1}{1} = 1$로도 즉시 구할 수 있다.)

📖 풀이:
$f(x) = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x-2)^2 + 5$로 표준형 변환. 위로 볼록, 꼭짓점 $(2, 5)$. 정의역 $0 \leq x \leq 3$에 꼭짓점 $x = 2$가 포함되므로 최댓값은 $f(2) = 5$. 양 끝의 함숫값 $f(0) = 1$, $f(3) = -9 + 12 + 1 = 4$ 중 작은 값이 최솟값이므로 최솟값은 $f(0) = 1$. 따라서 치역은 $\{y \mid 1 \leq y \leq 5\}$.

📖 풀이:
8개의 문자 중 A가 2개, L이 3개로 같은 문자가 있다. 같은 것이 있는 순열 공식에 따라 $\dfrac{8!}{2! \, 3!} = \dfrac{40320}{2 \times 6} = \dfrac{40320}{12} = 3360$.

📖 풀이:
역함수의 정의에 의해 $f^{-1}(0) = a$이면 $f(a) = 0$이다. 방정식 $a^2 - 4a + 3 = 0$, 즉 $(a-1)(a-3) = 0$의 해는 $a = 1$ 또는 $a = 3$이다. 정의역 조건 $x \geq 2$에 의해 $a = 3$만 적합. 한편 $f(x) = (x-2)^2 - 1$로 표준형이며 $x \geq 2$에서 단조증가하므로 일대일대응이고, 역함수가 잘 정의된다.

📖 풀이:
원과 직선이 접할 조건은 '원의 중심에서 직선까지의 거리 = 반지름'이다. 원의 중심은 $(0, 0)$, 반지름은 $5$. 직선 $3x + 4y - k = 0$에 대한 점과 직선의 거리 공식: $\dfrac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|k|}{5}$. 이 값이 $5$이므로 $|k| = 25$. $k$가 양수이므로 $k = 25$.

📖 풀이:
이차항 계수 $1 > 0$이므로 $x^2 - 2ax + 4$의 그래프는 아래로 볼록. 모든 실수 $x$에 대해 양수가 되려면 그래프가 x축과 만나지 않아야 하며, 이는 판별식이 음수일 조건과 동치다. $\dfrac{D}{4} = a^2 - 4 < 0$, 즉 $a^2 < 4$이므로 $-2 < a < 2$. 이 범위의 정수는 $-1, 0, 1$로 총 $3$개.