📝 고1 수학 일반

📖 풀이:
농구를 좋아하는 학생의 집합을 $A$, 축구를 좋아하는 학생의 집합을 $B$라 하자. $n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)=25+18-10=33$. 두 종목 모두 좋아하지 않는 학생 수는 전체에서 합집합을 뺀 것이므로 $40-33=7$.

📖 풀이:
직선을 $x-y+k=0$ 꼴로 쓰고, 원의 중심 $(0, 0)$에서 직선까지의 거리가 반지름 $2\sqrt{2}$와 같아야 접한다. $\dfrac{|0-0+k|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=2\sqrt{2}$, 즉 $\dfrac{|k|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$이므로 $|k|=4$, $k=\pm 4$. 두 값의 곱은 $4 \cdot (-4)=-16$.

📖 풀이:
표준형으로 변형하면 $f(x)=(x-2)^2+a-4$. 꼭짓점은 $(2, a-4)$이고 아래로 볼록하다. 정의역 $x \ge 2$는 꼭짓점 오른쪽이므로 $f$는 증가함수가 되어 일대일함수이다. 이때 최솟값은 $x=2$에서 $a-4$이고 $x \to \infty$로 보내면 $f(x) \to \infty$이므로 치역은 $[a-4, \infty)$. 이것이 $[1, \infty)$와 같아야 하므로 $a-4=1$, $a=5$.

📖 풀이:
여사건 활용이 빠르다. 전체 경우의 수는 $9$명 중 $3$명을 뽑는 $_9C_3=\dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1}=84$. 남학생이 한 명도 포함되지 않는 경우(모두 여학생)는 $_4C_3=4$. 따라서 남학생이 적어도 $1$명 포함되는 경우의 수는 $84-4=80$.

📖 풀이:
$t=f(x)$로 치환하면 $f(t)=0$, 즉 $t^2-2t=0$, $t(t-2)=0$이므로 $t=0$ 또는 $t=2$. (1) $f(x)=0$: $x^2-2x=0$, $x=0$ 또는 $x=2$. 두 근의 합은 $2$. (2) $f(x)=2$: $x^2-2x-2=0$이므로 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 $2$. 모든 실근의 합은 $2+2=4$.

📖 풀이:
$P(x, y)$라 하면 $\overline{PA}:\overline{PB}=1:2$에서 $2\overline{PA}=\overline{PB}$, 양변을 제곱하면 $4\overline{PA}^2=\overline{PB}^2$. 즉 $4\{(x+3)^2+y^2\}=(x-3)^2+y^2$. 전개하면 $4x^2+24x+36+4y^2=x^2-6x+9+y^2$이고 정리하면 $3x^2+30x+27+3y^2=0$, 양변을 $3$으로 나누면 $x^2+10x+9+y^2=0$. 완전제곱으로 $(x+5)^2+y^2=16$. 따라서 자취는 중심 $(-5, 0)$, 반지름 $4$인 원이고 그 넓이는 $\pi \cdot 4^2=16\pi$.

📖 풀이:
$9$개의 점에서 $3$개를 고르는 전체 경우의 수는 $_9C_3=\dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1}=84$. 그러나 $3$개의 점이 일직선 위에 있으면 삼각형이 만들어지지 않는다. 일직선 위 $3$점은 (i) 가로 방향 $3$줄, (ii) 세로 방향 $3$줄, (iii) 두 대각선 $2$개로 모두 $3+3+2=8$가지이다. 따라서 삼각형의 개수는 $84-8=76$.

📖 풀이:
1단계: 1, 2는 반드시 포함되므로 고정.
2단계: 3은 반드시 제외되므로 고정.
3단계: 남은 원소 $\{4, 5, 6\}$의 각 원소는 포함 여부를 자유롭게 선택할 수 있다.
4단계: 따라서 부분집합의 개수는 $2^3 = 8$개.

📖 풀이:
1단계: 좌변을 묶어서 인수분해한다.
$x^3 - x^2 - 4x + 4 = x^2(x-1) - 4(x-1) = (x-1)(x^2-4)$
2단계: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$로 더 인수분해.
$(x-1)(x-2)(x+2) = 0$
3단계: 실근은 $x = 1, 2, -2$.
4단계: 실근의 합은 $1 + 2 + (-2) = 1$.

📖 풀이:
1단계: 명제 $p \Rightarrow q$의 대우는 $\sim q \Rightarrow \sim p$이다.
2단계: 가정 $p$: $x > 0$, 결론 $q$: $x^2 > 0$.
3단계: $\sim q$는 $x^2 \le 0$, $\sim p$는 $x \le 0$.
4단계: 따라서 대우는 "$x^2 \le 0$이면 $x \le 0$이다"이다. ①은 역, ②는 이.

📖 풀이:
1단계: 곱셈공식의 변형 $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$를 이용한다.
2단계: $x+y = 3$, $xy = 1$을 대입.
3단계: $(x+y)^3 = 3^3 = 27$, $3xy(x+y) = 3 \cdot 1 \cdot 3 = 9$.
4단계: $x^3 + y^3 = 27 - 9 = 18$.

📖 풀이:
1단계: 일대일대응이므로 $f(1), f(2), f(3), f(4)$의 값은 $\{1, 2, 3, 4\}$를 한 번씩 모두 차지한다.
2단계: $f(1) = 2$로 고정되어 있으므로 $f(2), f(3), f(4)$는 남은 집합 $\{1, 3, 4\}$의 원소 3개를 한 번씩 사용한다.
3단계: 이는 3개의 원소를 일렬로 배열하는 경우와 같다.
4단계: 따라서 $3! = 6$개.

📖 풀이:
1단계: 무리함수 $y = \sqrt{x-a} + b$의 시작점(정의역의 끝점)은 $(a, b)$이다.
2단계: 시작점이 $(2, 3)$이므로 $a = 2$, $b = 3$.
3단계: 검산: $x = 6$을 대입하면 $y = \sqrt{6-2} + 3 = 2 + 3 = 5$로 점 $(6, 5)$를 통과 ✓.
4단계: 따라서 $a + b = 2 + 3 = 5$.

📖 풀이:
1단계: 이차항의 계수가 양수($1 > 0$)이고 모든 실수에서 부등식이 성립하려면 판별식이 음수여야 한다.
2단계: 판별식의 1/4을 계산. $D/4 = (a-1)^2 - (a^2 - a + 3) < 0$.
3단계: 전개. $(a^2 - 2a + 1) - a^2 + a - 3 = -a - 2 < 0$.
4단계: $-a - 2 < 0$에서 $a > -2$.

📖 풀이:
1단계: $f(x) = x^2 - 2$ ($x \geq 0$)는 증가함수이므로, $y = f(x)$와 $y = f^{-1}(x)$의 교점은 직선 $y = x$ 위에 있다.
2단계: 따라서 교점에서 $f(x) = x$가 성립. $x^2 - 2 = x$.
3단계: $x^2 - x - 2 = 0$이므로 $(x-2)(x+1) = 0$, $x = 2$ 또는 $x = -1$.
4단계: 정의역 조건 $x \geq 0$에 의해 $x = 2$만 해. 교점은 $(2, 2)$.

📖 풀이:
1단계: 원의 중심은 $(0, 0)$, 반지름 $r = 2$.
2단계: 점과 직선 사이의 거리 공식으로 중심에서 직선까지의 거리를 구한다.
$d = \dfrac{|3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 20|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{20}{5} = 4$.
3단계: $d > r$이므로 직선과 원은 만나지 않는다.
4단계: 원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최댓값은 $d + r = 4 + 2 = 6$.

📖 풀이:
1단계: 합집합의 원소 개수 공식 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$을 이용한다.
2단계: $A \cup B \subset U$이므로 $n(A \cup B) \leq n(U) = 30$.
3단계: $18 + 15 - n(A \cap B) \leq 30$, 즉 $n(A \cap B) \geq 33 - 30 = 3$.
4단계: 따라서 $n(A \cap B)$의 최솟값은 $3$. ($A \cup B = U$일 때 달성)

📖 풀이:
나머지정리에 의해 다항식 $f(x)$를 $(x-1)$로 나눈 나머지는 $f(1)$이다.
$f(1) = 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + k = 1 + 2 - 5 + k = -2 + k$
$f(1) = 3$이므로 $-2 + k = 3$, 따라서 $k = 5$이다.

📖 풀이:
근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = 2$, $\alpha\beta = 5$이다.
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 2^2 - 2 \cdot 5 = 4 - 10 = -6$
판별식 $D = 4 - 20 = -16 < 0$이므로 두 근은 서로 켤레인 허근이지만, 근과 계수의 관계는 그대로 성립한다.

📖 풀이:
삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
$\alpha + \beta + \gamma = 6$, $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 11$, $\alpha\beta\gamma = 6$
역수의 합을 통분하면
$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} + \dfrac{1}{\gamma} = \dfrac{\beta\gamma + \gamma\alpha + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma} = \dfrac{11}{6}$
(참고: 실제 근은 $1, 2, 3$이며 $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{11}{6}$로 같다.)

📖 풀이:
원의 중심 $O(0,0)$, 반지름 $r = 2$이다.
점 $P$에서 원의 중심까지의 거리는
$\overline{OP} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26}$
접점을 $T$라 하면 $\overline{OT} = r = 2$이고 $\overline{OT} \perp \overline{PT}$이므로 직각삼각형 $OTP$에서 피타고라스 정리에 의해
$\overline{PT} = \sqrt{\overline{OP}^2 - \overline{OT}^2} = \sqrt{26 - 4} = \sqrt{22}$

📖 풀이:
$A = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$이므로 $n(A) = 6$.
$B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$이므로 $n(B) = 6$.
$A \cap B$는 $20$의 약수이면서 $3$의 배수인 원소이다. $A$의 원소 중 $3$의 배수는 없으므로 $A \cap B = \emptyset$, $n(A \cap B) = 0$.
포함배제의 원리에 의해
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 6 + 6 - 0 = 12$

📖 풀이:
역함수를 구하기 위해 $y = \sqrt{2x - 4}$로 놓고 $x$에 대해 정리한다.
양변을 제곱하면 $y^2 = 2x - 4$ (단, $y \ge 0$).
$x$에 대해 풀면 $2x = y^2 + 4$, 즉 $x = \dfrac{y^2 + 4}{2}$.
$x$와 $y$를 바꾸면 $f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 + 4}{2}$ ($x \ge 0$).
따라서 $a = 4$, $b = 2$이므로 $a + b = 6$이다.

📖 풀이:
첫 번째 부등식: $x^2 - 5x + 6 \le 0$을 인수분해하면 $(x-2)(x-3) \le 0$이므로 $2 \le x \le 3$.
두 번째 부등식: $x^2 - x - 2 > 0$을 인수분해하면 $(x-2)(x+1) > 0$이므로 $x < -1$ 또는 $x > 2$.
두 해의 공통 구간을 구하면, $2 \le x \le 3$과 ($x < -1$ 또는 $x > 2$)의 교집합은 $2 < x \le 3$이다.
($x = 2$는 두 번째 부등식에서 제외된다.)

📖 풀이:
$f(f(x))$를 $f(x) = ax + b$에 대입하여 전개한다.
$f(f(x)) = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a^2 x + ab + b$
이것이 $4x + 9$와 모든 $x$에 대해 같으므로 계수를 비교한다.
$x$의 계수: $a^2 = 4$, 조건 $a > 0$에서 $a = 2$.
상수항: $ab + b = b(a+1) = 9$, 즉 $b(2+1) = 9$이므로 $b = 3$.
따라서 $f(x) = 2x + 3$이고 $f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 7$이다.